Un espacio vectorial topológico cuya topología puede definirse mediante una métrica.
En análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , un espacio vectorial topológico (TVS) metrizable (resp. pseudometrizable ) es un TVS cuya topología es inducida por una métrica (resp. pseudométrica ). Un espacio LM es un límite inductivo de una secuencia de TVS metrizables localmente convexos .
Pseudometría y métricas.
Una pseudométrica en un conjunto es un mapa que satisface las siguientes propiedades:
- ;
- Simetría : ;
- Subaditividad :
Una pseudométrica se llama métrica si satisface:
- Identidad de los indiscernibles : para todossientonces
ultrapseudométrico
Una pseudométrica se llama ultrapseudométrica o pseudométrica fuerte si satisface:
- Desigualdad triangular fuerte / ultramétrica :
Espacio pseudométrico
Un espacio pseudométrico es un par que consta de un conjunto y un espacio pseudométrico tal que su topología es idéntica a la topología inducida por Llamamos a un espacio pseudométrico espacio métrico (resp. espacio ultrapseudométrico ) cuando es una métrica (resp. ultrapseudométrico) .
Topología inducida por una pseudométrica.
Si es una pseudométrica en un conjunto , entonces colección de bolas abiertas :
topología -topología pseudométrica- Convención : Si es un espacio pseudométrico y se trata como un espacio topológico , entonces, salvo que se indique lo contrario, se debe suponer que está dotado de la topología inducida por
Espacio pseudometrizable
Un espacio topológico se llama pseudometrizable (resp. metrizable , ultrapseudometrizable ) si existe una pseudométrica (resp. métrica, ultrapseudométrica) que sea igual a la topología inducida por
Pseudometría y valores sobre grupos topológicos.
Un grupo topológico aditivo es un grupo aditivo dotado de una topología, llamada topología de grupo , bajo la cual la suma y la negación se convierten en operadores continuos.
Una topología en un espacio vectorial real o complejo se llama topología vectorial o topología TVS si hace que las operaciones de suma de vectores y multiplicación escalar sean continuas (es decir, si se convierte en un espacio vectorial topológico ).
Cada espacio vectorial topológico (TVS) es un grupo topológico conmutativo aditivo, pero no todas las topologías de grupo son topologías vectoriales. Esto se debe a que, a pesar de hacer que la suma y la negación sean continuas, una topología de grupo en un espacio vectorial puede no lograr que la multiplicación escalar sea continua. Por ejemplo, la topología discreta en cualquier espacio vectorial no trivial hace que la suma y la negación sean continuas, pero no que la multiplicación escalar sea continua.
Pseudometría invariante de traducción
Si es un grupo aditivo entonces decimos que un pseudométrico es invariante de traducción o simplemente invariante si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:
- Invariancia de traducción :;
Valor/G-seminorma
Si es un grupo topológico, el valor o G-seminorma ( G significa Grupo) es un mapa de valor real con las siguientes propiedades:
- No negativo :
- Subaditivo : ;
- Simétrico :
donde llamamos a una G-seminorma una norma G si satisface la condición adicional:
- Total / Definido Positivo : Si entonces
Propiedades de los valores
Si es un valor en un espacio vectorial entonces:
- y para todos y enteros positivos
- El conjunto es un subgrupo aditivo de
Equivalencia en grupos topológicos
Grupos topológicos pseudometrizables
Teorema - Si es un grupo topológico conmutativo aditivo , entonces los siguientes son equivalentes:
- es inducido por una pseudométrica; (es decir, es pseudometrizable);
- es inducido por una pseudométrica invariante en la traducción;
- el elemento de identidad tiene una base de vecindad contable.
Si es Hausdorff, entonces la palabra "pseudométrica" en la declaración anterior puede reemplazarse por la palabra "métrica". Un grupo topológico conmutativo es metrizable si y sólo si es Hausdorff y pseudometrizable.
Una pseudométrica invariante que no induce una topología vectorial
Sea un espacio vectorial real o complejo no trivial (es decir ) y sea la métrica trivial invariante de traducción definida por y tal que
La topología que induce a es la topología discreta , que se convierte en un grupo topológico conmutativo bajo suma pero no no forma una topología vectorial porque está desconectada , pero cada topología vectorial está conectada. Lo que falla es que la multiplicación escalar no es continua en
Este ejemplo muestra que una (pseudo)métrica invariante de traducción no es suficiente para garantizar una topología vectorial, lo que nos lleva a definir paranormas y F -seminormas.
Secuencias aditivas
Una colección de subconjuntos de un espacio vectorial se llama aditiva si para cada uno existe alguno tal que
Continuidad de la suma en 0 : si es un grupo (como lo son todos los espacios vectoriales), es una topología y está dotado de la topología del producto , entonces el mapa de suma (es decir, el mapa ) es continuo en el origen de si y solo si el El conjunto de vecindades del origen en es aditivo. Esta afirmación sigue siendo cierta si la palabra "vecindario" se reemplaza por "vecindario abierto".
En consecuencia, todas las condiciones anteriores son necesarias para que una topología forme una topología vectorial. Las secuencias aditivas de conjuntos tienen la propiedad particularmente buena de que definen funciones subaditivas continuas de valor real no negativas . Luego, estas funciones se pueden usar para probar muchas de las propiedades básicas de los espacios vectoriales topológicos y también mostrar que un TVS de Hausdorff con una base contable de vecindades es metrizable. El siguiente teorema es cierto de manera más general para grupos topológicos aditivos conmutativos .
Teorema : Sea una colección de subconjuntos de un espacio vectorial tal que y para todos.
Para todos, sea
Definir por si y en caso contrario dejar
Entonces es subaditivo (es decir ) y así sucesivamente en particular
Si todos son conjuntos simétricos entonces y si todos están balanceados entonces para todos los escalares tales que y todos
Si es un espacio vectorial topológico y si todos son vecinos del origen entonces es continuo, donde si además es Hausdorff y forma una base de vecindades equilibradas del origen en entonces es una métrica que define la topología vectorial en
Paranormas
Si es un espacio vectorial sobre números reales o complejos, entonces una paranorma es una seminorma G (definida anteriormente) que satisface cualquiera de las siguientes condiciones adicionales, cada una de las cuales comienza con "para todas las secuencias en y todas las secuencias convergentes de escalares ":
- Continuidad de la multiplicación : si es un escalar y son tales que y entonces
- Ambas condiciones:
- si y si es tal que entonces ;
- si entonces para cada escalar
- Ambas condiciones:
- si y para algún escalar entonces ;
- si entonces
- Continuidad separada :
- si para algún escalar entonces para cada ;
- si es un escalar, y entonces .
Una paranorma se llama total si además satisface:
- Total / Positivo definido : implica
Propiedades de las paranormas
Si es una paranorma en un espacio vectorial , entonces el mapa definido por es una pseudométrica invariante a la traducción que define una topología vectorial en
Si es una paranorma en un espacio vectorial entonces:
- el conjunto es un subespacio vectorial de
- con
- Si una paranorma satisface y escalar entonces es absolutamente homogeneidad (es decir, se mantiene la igualdad) y por lo tanto es una seminorma .
Ejemplos de paranormas
- Si es una pseudométrica invariante de traducción en un espacio vectorial que induce una topología vectorial en (es decir, es un TVS), entonces el mapa define una paranorma continua en ; además, la topología que define esta paranorma es
- Si hay una paranorma, también lo es el mapa
- Cada múltiplo escalar positivo de una paranorma (resp. paranorma total) es nuevamente una paranorma (resp. paranorma total).
- Toda seminorma es una paranorma.
- La restricción de una paranorma (resp. paranorma total) a un subespacio vectorial es una paranorma (resp. paranorma total).
- La suma de dos paranormas es una paranorma.
- Si y son paranormas on, entonces también lo es Además, y esto convierte el conjunto de paranormas on en una red condicionalmente completa .
- Cada uno de los siguientes mapas de valor real son paranormas en :
- Los mapas de valor real y no son paranormas en
- Si es una base de Hamel en un espacio vectorial , entonces el mapa de valor real que envía (donde todos menos un número finito de escalares son 0) es una paranorma que satisface para todos y escalares
- La función es una paranorma que no está equilibrada pero que, sin embargo, es equivalente a la norma habitual. Tenga en cuenta que la función es subaditiva.
- Sea un espacio vectorial complejo y denotemos considerado como un espacio vectorial sobre Cualquier paranorma en también es una paranorma en
F -seminormas
Si es un espacio vectorial sobre números reales o complejos, entonces una F -seminorma (que significa Fréchet ) es una aplicación de valor real con las siguientes cuatro propiedades:
- No negativo :
- Subaditivo : para todos
- Equilibrado :paratodos los escalaressatisfactorios
- Esta condición garantiza que cada conjunto de la forma o para algunos sea un conjunto equilibrado .
- por cada como
- La secuencia puede ser reemplazada por cualquier secuencia positiva que converja al cero.
Una F -seminorma se llama F -norma si además satisface:
- Total / Positivo definido : implica
Una F -seminorma se llama monótona si satisface:
- Monótono : para todos los distintos de cero y todos los reales y tales que
F -espacios seminormes
Un espacio F -seminorme (resp. F -espacio normado ) es un par que consta de un espacio vectorial y un F -seminorma (resp. F -norma) en
Si y son espacios F -seminormados, entonces un mapa se llama incrustación isométrica si
Cada incrustación isométrica de un espacio F -seminormado en otro es una incrustación topológica , pero lo contrario no es cierto en general.
Ejemplos de F -seminormas
- Cada múltiplo escalar positivo de una F -seminorma (resp. F -norma, seminorma) es nuevamente una F -seminorma (resp. F -norma, seminorma).
- La suma de un número finito de F -seminormas (resp. F -normas) es una F -seminorma (resp. F -norma).
- Si y son F -seminormas en entonces también lo es su supremo puntual. Lo mismo ocurre con el supremo de cualquier familia finita no vacía de F -seminormas en
- La restricción de una F -seminorma (resp. F -norma) a un subespacio vectorial es una F -seminorma (resp. F -norma).
- Una función de valor real no negativo es una seminorma si y solo si es una seminorma F convexa , o de manera equivalente, si y solo si es una seminorma G equilibrada convexa. En particular, cada seminorma es una F -seminorma.
- Para cualquier mapa definido por
es una norma F que no es una norma. - Si es un mapa lineal y si es una F -seminorma entonces es una F -seminorma en
- Sea un espacio vectorial complejo y denotemos considerado como un espacio vectorial sobre Cualquier F -seminorma en también es una F -seminorma en
Propiedades de F -seminormas
Cada F -seminorma es una paranorma y cada paranorma es equivalente a alguna F -seminorma.
Cada F -seminorma en un espacio vectorial es un valor en En particular, y para todos
Topología inducida por una sola F -seminorma
Topología inducida por una familia de F -seminormas
Supongamos que es una colección no vacía de F -seminormas en un espacio vectorial y para cualquier subconjunto finito y cualquier let
El conjunto forma una base de filtro que también forma una base de vecindad en el origen para una topología vectorial denotada por Cada uno es un subconjunto equilibrado y absorbente de Estos conjuntos satisfacen
- es la topología vectorial más gruesa para hacer que cada uno sea continuo.
- es Hausdorff si y sólo si para cada distinto de cero existe algo tal que
- Si es el conjunto de todas las F -seminormas continuas, entonces
- Si es el conjunto de todos los supremos puntuales de subconjuntos finitos no vacíos de entonces es una familia dirigida de F -seminormas y
combinación frechet
Supongamos que es una familia de funciones subaditivas no negativas en un espacio vectorial.
La combinación de Fréchet de se define como el mapa de valor real
Como F -seminorma
Supongamos que es una secuencia creciente de seminormas y sea la combinación de Fréchet de
Entonces es una F -seminorma que induce la misma topología localmente convexa que la familia de seminormas.
Dado que es creciente, una base de vecindades abiertas del origen consta de todos los conjuntos de la forma como rangos de todos los números enteros positivos y rangos de todos los números reales positivos.
La traducción pseudométrica invariante inducida por esta F -seminorma es
Esta métrica fue descubierta por Fréchet en su tesis de 1906 para los espacios de secuencias reales y complejas con operaciones puntuales.
Como paranorma
Si cada uno es una paranorma, entonces también lo es y, además, induce la misma topología que la familia de paranormas.
Esto también es cierto para las siguientes paranormas sobre :
Generalización
La combinación de Fréchet se puede generalizar mediante el uso de una función de remetrización acotada.
ALa función de remetrización acotadaes una aplicación continua, no negativa y no decrecienteque tiene un rango acotado, essubaditiva(es decir, para todos) y satisfacesi y solo si
Ejemplos de funciones de remetrización acotadas incluyen y
Si es una función pseudométrica (respectivamente, métrica) y es una función de remetrización acotada, entonces es una pseudométrica acotada (respectivamente, métrica acotada) que es uniformemente equivalente a
Supongamos que una familia de F -seminorma no negativa en un espacio vectorial es una función de remetrización acotada y es una secuencia de números reales positivos cuya suma es finita. Entonces
FFCaracterizaciones
De (pseudo)métricas inducidas por (semi)normas
Una pseudométrica (resp. métrica) es inducida por una seminorma (resp. norma) en un espacio vectorial si y solo si es invariante de traducción y absolutamente homogénea , lo que significa que para todos los escalares y todos, en cuyo caso la función definida por es una seminorma (resp. norma) y la pseudométrica (resp. métrica) inducida por es igual a
De TVS pseudometrizables
Si es un espacio vectorial topológico (TVS) (donde tenga en cuenta en particular que se supone que es una topología vectorial), entonces lo siguiente es equivalente:
- es pseudometrizable (es decir, la topología vectorial es inducida por una pseudometría en ).
- Tiene una base vecinal contable en el origen.
- La topología on es inducida por una pseudométrica invariante a la traducción on
- La topología está inducida por una F -seminorma.
- La topología está inducida por una paranorma.
De TVS metrizables
Si es un TVS entonces lo siguiente es equivalente:
- es metrizable.
- es Hausdorff y pseudometrizable.
- es Hausdorff y tiene una base vecinal contable en el origen.
- La topología es inducida por una métrica invariante de traducción en
- La topología está inducida por una norma F.
- La topología está inducida por una norma F monótona .
- La topología está inducida por una paranorma total.
Teorema de Birkhoff-Kakutani : sies un espacio vectorial topológico, entonces las tres condiciones siguientes son equivalentes: [17] [nota 1]
- El origen está cerrado y existe una base contable de barrios para en
- es metrizable (como espacio topológico).
- Hay una métrica invariante de traducción que induce en la topología cuál es la topología dada en
Según el teorema de Birkhoff-Kakutani, se deduce que existe una métrica equivalente que es invariante a la traducción.
De TVS pseudometrizables localmente convexos
Si es TVS entonces lo siguiente es equivalente:
- es localmente convexo y pseudometrizable.
- tiene una base de vecindad contable en el origen que consta de conjuntos convexos.
- La topología de es inducida por una familia contable de seminormas (continuas).
- La topología de es inducida por una secuencia creciente contable de seminormas (continuas) (creciente significa que para todos
- La topología de es inducida por una F -seminorma de la forma:
¿Dónde están las seminormas (continuas) en
Cocientes
Sea un subespacio vectorial de un espacio vectorial topológico.
- Si es un TVS pseudometrizable entonces también lo es
- Si es un TVS pseudometrizable completo y es un subespacio vectorial cerrado de entonces está completo.
- Si TVS es metrizable y es un subespacio vectorial cerrado de entonces es metrizable.
- Si es una F -seminorma entonces el mapa definido por
es una F -seminorma en que induce la topología de cociente habitual en Si además hay una F -norma en y si es un subespacio vectorial cerrado de entonces es una F -norma en
Ejemplos y condiciones suficientes
- Todo espacio seminormado es pseudometrizable con una pseudométrica canónica dada por para todos .
- Si es TVS pseudométrico con una traducción pseudométrica invariante, entonces define una paranorma. Sin embargo, si es una traducción pseudométrica invariante en el espacio vectorial (sin la condición de suma que es pseudométrica TVS ), entonces no necesita ser ni una F -seminorma ni una paranorma.
- Si un TVS tiene una vecindad limitada del origen, entonces es pseudometrizable; lo contrario es en general falso.
- Si un TVS de Hausdorff tiene una vecindad limitada del origen, entonces es metrizable.
- Supongamos que es un espacio DF o un espacio LM . Si es un espacio secuencial , entonces es metrizable o es un espacio Montel DF.
Si Hausdorff es TVS localmente convexo, entonces con la topología fuerte , es metrizable si y solo si existe un conjunto contable de subconjuntos acotados de tal que cada subconjunto acotado de esté contenido en algún elemento de
El espacio dual fuerte de un espacio localmente convexo metrizable (como un espacio de Fréchet [23] ) es un espacio DF .
El dual fuerte de un espacio DF es un espacio de Fréchet .
El dual fuerte de un espacio reflexivo de Fréchet es un espacio bornológico .
El bidual fuerte (es decir, el espacio dual fuerte del espacio dual fuerte) de un espacio localmente convexo metrizable es un espacio de Fréchet.
Si es un espacio localmente convexo metrizable, entonces su dual fuerte tiene una de las siguientes propiedades, si y solo si tiene todas estas propiedades: (1) bornológica , (2) infrabarrilada , (3) barricada .
Normalidad
Un espacio vectorial topológico es seminormable si y sólo si tiene una vecindad acotada convexa del origen. Además, un TVS es normal si y sólo si es Hausdorff y seminormable.
Cada TVS metrizable en un espacio vectorial de dimensión finita es un TVS completo localmente convexo normal , siendo TVS-isomorfo al espacio euclidiano . En consecuencia, cualquier TVS metrizable que no sea normalizable debe ser de dimensión infinita.
Si es un TVS localmente convexo metrizable que posee un sistema fundamental contable de conjuntos acotados, entonces es normal.
Si es un espacio localmente convexo de Hausdorff , entonces los siguientes son equivalentes:
- es normal .
- tiene una vecindad delimitada (von Neumann) del origen.
- el fuerte espacio dual de es normal.
y si este espacio localmente convexo también es metrizable, entonces se puede añadir a esta lista lo siguiente:
- el fuerte espacio dual de es metrizable.
- el espacio dual fuerte de es un espacio localmente convexo de Fréchet-Urysohn . [23]
En particular, si un espacio localmente convexo metrizable (como un espacio de Fréchet ) no es normable, entonces su espacio dual fuerte no es un espacio de Fréchet-Urysohn y, en consecuencia, este espacio localmente convexo de Hausdorff completo tampoco es metrizable ni normable.
Otra consecuencia de esto es que si es un TVS reflexivo localmente convexo cuyo dual fuerte es metrizable entonces es necesariamente un espacio reflexivo de Fréchet, es un espacio DF , ambos y son necesariamente completos espacios palmeados distinguidos ultrabornológicos de Hausdorff y, además, es normal si y sólo si es normal si y sólo si es Fréchet-Urysohn si y sólo si es metrizable. En particular, dicho espacio es un espacio de Banach o ni siquiera es un espacio de Fréchet-Urysohn.
Conjuntos acotados métricamente y conjuntos acotados
Supongamos que es un espacio pseudométrico y
el conjunto está acotado métricamente o acotado si existe un número real tal que para todos ; el más pequeño se denomina entonces diámetro o diámetro de
Si está acotado en un TVS pseudometrizable, entonces está acotado métricamente; lo contrario es en general falso, pero es cierto para los TVS metrizables localmente convexos .
Propiedades de TVS pseudometrizables.
- Cada TVS localmente convexo metrizable es un espacio cuasibarril , un espacio bornológico y un espacio de Mackey .
- Cada TVS pseudometrizable completo es un espacio de barril y un espacio de Baire (y por lo tanto no escaso). Sin embargo, existen espacios de Baire metrizables que no están completos .
- Si es un espacio metrizable localmente convexo, entonces el dual fuerte de es bornológico si y solo si tiene cañón , si y solo si tiene infrabarril .
- Si es un TVS pseudometrizable completo y es un subespacio vectorial cerrado de entonces está completo.
- El dual fuerte de un TVS metrizable localmente convexo es un espacio palmeado .
- Si y son TVS metrizables completos (es decir, espacios F ) y si es más grueso que entonces ; Ya no se garantiza que esto sea cierto si alguno de estos TVS metrizables no está completo. Dicho de otra manera, si y son ambos espacios F pero con diferentes topologías, entonces ninguno de y contiene al otro como un subconjunto. Una consecuencia particular de esto es, por ejemplo, que if es un espacio de Banach y es algún otro espacio normado cuya topología inducida por normas es más fina (o alternativamente, es más basta) que la de (es decir, if o if para alguna constante ), entonces la única manera de que pueda ser un espacio de Banach (es decir, también estar completo) es si estas dos normas y son equivalentes ; si no son equivalentes, entonces no puede ser un espacio de Banach. Como otra consecuencia, si es un espacio de Banach y es un espacio de Fréchet , entonces el mapa es continuo si y sólo si el espacio de Fréchet es el TVS (aquí, el espacio de Banach se considera como un TVS, lo que significa que su norma es " olvidado " pero se recuerda su topología).
- Un espacio localmente convexo metrizable es normal si y sólo si su espacio dual fuerte es un espacio localmente convexo de Fréchet-Urysohn . [23]
- Cualquier producto de TVS completos metrizables es un espacio de Baire .
- Un producto de TVS metrizables es metrizable si y solo si todos, pero a lo sumo contablemente, muchos de estos TVS tienen dimensión
- Un producto de TVS pseudometrizables es pseudometrizable si y solo si todos, pero a lo sumo contablemente, muchos de estos TVS tienen la topología trivial.
- Cada TVS pseudometrizable completo es un espacio de barril y un espacio de Baire (y por lo tanto no escaso).
- La dimensión de un TVS metrizable completo es finita o incontable.
Lo completo
Todo espacio vectorial topológico (y más generalmente, un grupo topológico ) tiene una estructura uniforme canónica , inducida por su topología, que permite aplicarle las nociones de completitud y continuidad uniforme. Si es un TVS metrizable y es una métrica que define la topología de, entonces es posible que esté completo como TVS (es decir, en relación con su uniformidad), pero la métrica no es una métrica completa (tales métricas existen incluso para ). Por lo tanto, si se trata de un TVS cuya topología es inducida por un espacio pseudométrico, entonces la noción de completitud de (como TVS) y la noción de completitud del espacio pseudométrico no siempre son equivalentes. El siguiente teorema da una condición para cuando son equivalentes:
Si es un subespacio vectorial cerrado de un TVS pseudometrizable completo, entonces el espacio cociente está completo.
Si es un subespacio vectorial completo de un TVS metrizable y si el espacio cociente está completo entonces también lo es Si no está completo entonces, pero no está completo, el subespacio vectorial de
Un grupo topológico separable de Baire es metrizable si y sólo si es cósmico. [23]
Subconjuntos y subsecuencias
- Sea un espacio vectorial topológico metrizable localmente convexo separable y sea su compleción. Si es un subconjunto acotado de entonces existe un subconjunto acotado de tal que
- Cada subconjunto totalmente acotado de un TVS metrizable localmente convexo está contenido en el casco equilibrado convexo cerrado de alguna secuencia que converge a
- En un TVS pseudometrizable, cada bornívoro es un vecindario del origen.
- Si es una métrica invariante de traducción en un espacio vectorial , entonces para todos y cada uno de los enteros positivos
- Si es una secuencia nula (es decir, converge al origen) en un TVS metrizable entonces existe una secuencia de números reales positivos que divergen de tal manera que
- Un subconjunto de un espacio métrico completo es cerrado si y sólo si es completo. Si un espacio no está completo, entonces hay un subconjunto cerrado de ese espacio que no está completo.
- Si es un TVS metrizable localmente convexo , entonces para cada subconjunto acotado de existe un disco acotado de modo que tanto y el espacio normado auxiliar inducen la misma topología de subespacio en
Serie generalizada
Como se describe en la sección de series generalizadas de este artículo , para cualquier familia de vectores indexados de un TVS es posible definir su suma como el límite de la red de sumas parciales finitas donde el dominio está dirigido por
Si y por ejemplo, entonces la serie generalizada converge si y sólo si converge incondicionalmente en el sentido habitual (que para números reales equivale a convergencia absoluta ). Si una serie generalizada converge en un TVS metrizable, entonces el conjunto es necesariamente contable (es decir, finito o contablemente infinito ); [prueba 1]
en otras palabras, todos, excepto como mucho un número contable, serán cero, por lo que esta serie generalizada es en realidad una suma de, como máximo, un número contable de términos distintos de cero.
mapas lineales
Si es un TVS pseudometrizable y asigna subconjuntos acotados de a subconjuntos acotados de, entonces es continuo.
Existen funcionales lineales discontinuos en cualquier TVS pseudometrizable de dimensión infinita. Por lo tanto, un TVS pseudometrizable es de dimensión finita si y sólo si su espacio dual continuo es igual a su espacio dual algebraico .
Si es un mapa lineal entre TVS y es metrizable, entonces los siguientes son equivalentes:
- es continuo;
- es un mapa acotado (localmente) (es decir, mapas (von Neumann) de subconjuntos acotados de a subconjuntos acotados de );
- es secuencialmente continuo ;
- la imagen debajo de cada secuencia nula es un conjunto acotado donde, por definición, una secuencia nula es una secuencia que converge al origen.
- asigna secuencias nulas a secuencias nulas;
Mapas abiertos y casi abiertos.
- Teorema : Si es un TVS pseudometrizable completo, es un TVS de Hausdorff y es una sobreyección lineal cerrada y casi abierta, entonces es un mapa abierto.
- Teorema : si es un operador lineal sobreyectivo de un espacio localmente convexo a un espacio en forma de barril (por ejemplo, cada espacio pseudometrizable completo es en forma de barril), entonces es casi abierto .
- Teorema : si es un operador lineal sobreyectivo de un TVS a un espacio de Baire , entonces está casi abierto.
- Teorema : Supongamos que es un operador lineal continuo de un TVS pseudometrizable completo a un TVS de Hausdorff. Si la imagen de no es exigua , entonces es un mapa abierto sobreyectivo y es un espacio metrizable completo .
Propiedad de ampliación de Hahn-Banach
Un subespacio vectorial de un TVS tiene la propiedad de extensión si cualquier funcional lineal continua en puede extenderse a una funcional lineal continua en
Digamos que un TVS tiene la propiedad de extensión de Hahn-Banach ( HBEP ) si cada subespacio vectorial de tiene la extensión propiedad.
El teorema de Hahn-Banach garantiza que todo espacio localmente convexo de Hausdorff tiene el HBEP. Para TVS completamente metrizables existe un proceso inverso:
Teorema (Kalton) : todo TVS metrizable completo con la propiedad de extensión de Hahn-Banach es localmente convexo.
Si un espacio vectorial tiene dimensiones incontables y si lo dotamos de la topología vectorial más fina, entonces este es un TVS con HBEP que no es localmente convexo ni metrizable.
Ver también
Notas
- ^ De hecho, esto es cierto para el grupo topológico, ya que la prueba no utiliza multiplicaciones escalares.
- ^ No se supone que sea invariante en la traducción.
Pruebas
- ^ Supongamos que la red converge a algún punto en un TVS metrizable donde recordemos que el dominio de esta red es el conjunto dirigido.
Como toda red convergente, esta red convergente de sumas parciales es una red de Cauchy , que para esta red en particular significa (por definición) que para en cada vecindad del origen existe un subconjunto finito de tal que para todos los superconjuntos finitos
esto implica que para cada (tomando y ). Como es metrizable, tiene una base de vecindad contable en el origen, cuya intersección es necesariamente (ya que es un TVS de Hausdorff). Para cada entero positivo, elija un subconjunto finito tal que para cada
If pertenezca entonces pertenezca a
Así, para cada índice que no pertenezca al conjunto contable
Referencias
- ^ Köthe 1983, sección 15.11
- ^ abcd Gabriyelyan, SS "Sobre espacios topológicos y grupos topológicos con ciertas redes locales contables (2014)
- ^ Klee, VL (1952). «Métricas invariantes en grupos (solución de un problema de Banach)» (PDF) . Proc. América. Matemáticas. Soc . 3 (3): 484–487. doi : 10.1090/s0002-9939-1952-0047250-4 .
Bibliografía
- Berberiano, Sterling K. (1974). Conferencias sobre Análisis Funcional y Teoría del Operador . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 15. Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC 878109401.
- Bourbaki, Nicolás (1987) [1981]. Espacios vectoriales topológicos: capítulos 1 a 5 . Elementos matemáticos . Traducido por Eggleston, HG; Madan, S. Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC 17499190.
- Bourbaki, Nicolás (1950). "Sur sures espaces vectoriels topologiques". Annales de l'Institut Fourier (en francés). 2 : 5-16 (1951). doi : 10.5802/aif.16 . SEÑOR 0042609.
- Edwards, Robert E. (1995). Análisis funcional: teoría y aplicaciones . Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138.
- Grothendieck, Alejandro (1973). Espacios vectoriales topológicos . Traducido por Chaljub, Orlando. Nueva York: Gordon y Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098.
- Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.
- Khaleelulla, SM (1982). Contraejemplos en espacios vectoriales topológicos . Apuntes de conferencias de matemáticas . vol. 936. Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370.
- Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Espacios vectoriales topológicos I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 159. Traducido por Garling, DJH Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. SEÑOR 0248498. OCLC 840293704.
- Köthe, Gottfried (1979). Espacios vectoriales topológicos II . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 237. Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9. OCLC 180577972.
- Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
- Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie Internacional en Matemática Pura y Aplicada. vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Ciencias/Ingeniería/Matemáticas . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
- Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Espacios vectoriales topológicos . Tratados de Cambridge en Matemáticas. vol. 53. Cambridge Inglaterra: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250.
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
- Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Prensa académica. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365.
- Swartz, Charles (1992). Una introducción al análisis funcional . Nueva York: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067.
- Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
- Wilansky, Albert (2013). Métodos modernos en espacios vectoriales topológicos . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.
- Husain, Taqdir (1978). Cañón en espacios vectoriales topológicos y ordenados . Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09096-7. OCLC 4493665.