Espacio Fréchet-Urysohn

Propiedad del espacio topológico

En el campo de la topología , un espacio de Fréchet-Urysohn es un espacio topológico con la propiedad de que para cada subconjunto el cierre de in es idéntico al cierre secuencial de in. Los espacios de Fréchet-Urysohn son un tipo especial de espacio secuencial . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$

La propiedad lleva el nombre de Maurice Fréchet y Pavel Urysohn .

Definiciones

Sea un espacio topológico . El cierre secuencial de in es el conjunto: ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {scl} S:&=[S]_{\operatorname {seq} }:=\left\{x\in X~:~{\text{ there exists a sequence }}s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq S{\text{ in }}S{\text{ such that }}s_{\bullet }\to x{\text{ in }}(X,\tau )\right\}\end{alignedat}}}$$

donde o puede escribirse si se necesita claridad. ${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {scl} _{(X,\tau )}S}$

Se dice que un espacio topológico es un espacio de Fréchet-Urysohn si ${\displaystyle (X,\tau )}$

$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=\operatorname {scl} _{X}S}$$

para cada subconjunto donde denota el cierre de en ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

Conjuntos secuencialmente abiertos/cerrados

Supongamos que cualquier subconjunto de una secuencia eventualmente está en si existe un número entero positivo tal que para todos los índices ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x_{i}\in S}$ ${\displaystyle i\geq N.}$

El conjunto se llama secuencialmente abierto si cada secuencia que converge a un punto de eventualmente está en ; Normalmente, si se entiende entonces se escribe en lugar de ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {scl} S}$ ${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}S.}$

El conjunto se llama secuencialmente cerrado si o equivalentemente, si siempre es una secuencia en convergente a entonces también debe ser en El complemento de un conjunto secuencialmente abierto es un conjunto secuencialmente cerrado, y viceversa. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=\operatorname {scl} _{X}S,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$

Dejar

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {SeqOpen} (X,\tau ):&=\left\{S\subseteq X~:~S{\text{ is sequentially open in }}(X,\tau )\right\}\\&=\left\{S\subseteq X~:~S=\operatorname {SeqInt} _{(X,\tau )}S\right\}\\\end{alignedat}}}$$

denota el conjunto de todos los subconjuntos secuencialmente abiertos de donde se puede denotar si se entiende la topología . El conjunto es una topología que es más fina que la topología original. Cada subconjunto abierto (o cerrado) de es secuencialmente abierto (o cerrado secuencialmente), lo que implica que ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle \operatorname {SeqOpen} X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \operatorname {SeqOpen} (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \tau \subseteq \operatorname {SeqOpen} (X,\tau ).}$$

Fuerte espacio Fréchet-Urysohn

Un espacio topológico es un espacio fuerte de Fréchet-Urysohn si para cada punto y cada secuencia de subconjuntos del espacio tales que existe una secuencia tal que para cada y en Las propiedades anteriores pueden expresarse como principios de selección . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in \bigcap _{n}{\overline {A_{n}}},}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a_{i}\in A_{i}}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to x}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

Contraste con espacios secuenciales

Cada subconjunto abierto de es secuencialmente abierto y cada conjunto cerrado es secuencialmente cerrado. Sin embargo, lo contrario en general no es cierto. Los espacios para los cuales los inversos son verdaderos se llaman espacios secuenciales ; es decir, un espacio secuencial es un espacio topológico en el que todo subconjunto secuencialmente abierto es necesariamente abierto, o de manera equivalente, es un espacio en el que todo subconjunto secuencialmente cerrado está necesariamente cerrado. Todo espacio de Fréchet-Urysohn es un espacio secuencial pero hay espacios secuenciales que no son espacios de Fréchet-Urysohn. ${\displaystyle X}$

Los espacios secuenciales (respectivamente, los espacios de Fréchet-Urysohn) pueden verse/interpretarse exactamente como aquellos espacios donde, para cualquier subconjunto dado, el conocimiento de qué secuencias convergen a qué punto(s) de (y cuáles no) es suficiente para determinar si not está cerrado (respectivamente, es suficiente para determinar el cierre de in ). ^{[nota 1]} Por lo tanto, los espacios secuenciales son aquellos espacios para los cuales las secuencias in se pueden usar como una "prueba" para determinar si un subconjunto dado está abierto (o equivalentemente, cerrado) en ; o dicho de otra manera, los espacios secuenciales son aquellos espacios cuyas topologías pueden caracterizarse completamente en términos de convergencia de secuencia. En cualquier espacio que no sea secuencial, existe un subconjunto para el cual esta "prueba" da un " falso positivo ". ^{[nota 2]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Caracterizaciones

Si es un espacio topológico entonces son equivalentes: ${\displaystyle (X,\tau )}$

1. ${\displaystyle X}$es un espacio de Fréchet-Urysohn.
2. Definición: para cada subconjunto ${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}S~=~\operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle S\subseteq X.}$
3. ${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}S~\supseteq ~\operatorname {cl} _{X}S}$para cada subconjunto ${\displaystyle S\subseteq X.}$
   • Esta afirmación es equivalente a la definición anterior porque siempre es válida para cada ${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}S~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle S\subseteq X.}$
4. Cada subespacio de es un espacio secuencial . ${\displaystyle X}$
5. Para cualquier subconjunto que no está cerrado y para cada existe una secuencia que converge a ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in \left(\operatorname {cl} _{X}S\right)\setminus S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x.}$
   • Contraste esta condición con la siguiente caracterización de un espacio secuencial :

   Para cualquier subconjunto que no esté cerrado, existe alguno para el cual existe una secuencia que converge a ^[1] ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in \left(\operatorname {cl} _{X}S\right)\setminus S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x.}$

   • Esta caracterización implica que todo espacio de Fréchet-Urysohn es un espacio secuencial.

La siguiente caracterización muestra que entre los espacios secuenciales de Hausdorff, los espacios de Fréchet-Urysohn son exactamente aquellos para los cuales siempre se puede encontrar una " secuencia diagonal convergente cofinal ", similar al principio diagonal que se utiliza para caracterizar topologías en términos de redes convergentes . En la siguiente caracterización, se supone que toda convergencia tiene lugar en ${\displaystyle (X,\tau ).}$

Si es un espacio secuencial de Hausdorff , entonces es un espacio de Fréchet-Urysohn si y sólo si se cumple la siguiente condición: si es una secuencia que converge a algunos y si para cada es una secuencia que converge a donde estas hipótesis pueden resumirse en siguiente diagrama ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(x_{l}\right)_{l=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle l\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle \left(x_{l}^{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{l},}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{11}&x_{1}^{1}~\;~&x_{1}^{2}~\;~&x_{1}^{3}~\;~&x_{1}^{4}~\;~&x_{1}^{5}~~&\ldots ~~&x_{1}^{i}~~\ldots ~~&\to ~~&x_{1}\\[1.2ex]&x_{2}^{1}~\;~&x_{2}^{2}~\;~&x_{2}^{3}~\;~&x_{2}^{4}~\;~&x_{2}^{5}~~&\ldots ~~&x_{2}^{i}~~\ldots ~~&\to ~~&x_{2}\\[1.2ex]&x_{3}^{1}~\;~&x_{3}^{2}~\;~&x_{3}^{3}~\;~&x_{3}^{4}~\;~&x_{3}^{5}~~&\ldots ~~&x_{3}^{i}~~\ldots ~~&\to ~~&x_{3}\\[1.2ex]&x_{4}^{1}~\;~&x_{4}^{2}~\;~&x_{4}^{3}~\;~&x_{4}^{4}~\;~&x_{4}^{5}~~&\ldots ~~&x_{4}^{i}~~\ldots ~~&\to ~~&x_{4}\\[0.5ex]&&&\;\,\vdots &&&&\;\,\vdots &&\;\,\vdots \\[0.5ex]&x_{l}^{1}~\;~&x_{l}^{2}~\;~&x_{l}^{3}~\;~&x_{l}^{4}~\;~&x_{l}^{5}~~&\ldots ~~&x_{l}^{i}~~\ldots ~~&\to ~~&x_{l}\\[0.5ex]&&&\;\,\vdots &&&&\;\,\vdots &&\;\,\vdots \\&&&&&&&&&\,\downarrow \\&&&&&&&&~~&\;x\\\end{alignedat}}}$$

${\displaystyle \iota ,\lambda :\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \left(x_{\lambda (n)}^{\iota (n)}\right)_{n=1}^{\infty }\to x.}$

(Es suficiente considerar sólo secuencias con rangos infinitos (es decir, infinitas) porque si es finita, entonces Hausdorffness implica que necesariamente es eventualmente constante con valor, en cuyo caso la existencia de las aplicaciones con las propiedades deseadas se verifica fácilmente para este caso especial. (incluso si no es un espacio de Fréchet-Urysohn). ${\displaystyle \left(x_{l}\right)_{l=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left\{x_{l}:l\in \mathbb {N} \right\}}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \iota ,\lambda :\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

Propiedades

Todo subespacio de un espacio de Fréchet-Urysohn es Fréchet-Urysohn. ^[2]

Todo espacio de Fréchet-Urysohn es un espacio secuencial, aunque la implicación opuesta no es cierta en general. ^{[3] [4]}

Si un espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff es un espacio de Fréchet-Urysohn, entonces es igual a la topología final inducida por el conjunto de todos los arcos en los que, por definición, hay caminos continuos que también son incrustaciones topológicas . ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Arc} \left([0,1];X\right)}$ ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle [0,1]\to (X,\tau )}$

Ejemplos

Todo primer espacio contable es un espacio de Fréchet-Urysohn. En consecuencia, cada segundo espacio contable , cada espacio metrizable y cada espacio pseudometrizable es un espacio de Fréchet-Urysohn. También se deduce que todo espacio topológico en un conjunto finito es un espacio de Fréchet-Urysohn. ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$

Espacios duales continuos metrizables

Un espacio vectorial topológico localmente convexo (TVS) metrizable (por ejemplo, un espacio de Fréchet ) es un espacio normal si y sólo si su espacio dual fuerte es un espacio de Fréchet-Urysohn, ^[5] o de manera equivalente, si y sólo si es un espacio vectorial topológico normalable espacio. ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$

Espacios secuenciales que no son Fréchet-Urysohn

Límite directo de espacios euclidianos de dimensión finita

El espacio de secuencias reales finitas es un espacio secuencial de Hausdorff que no es Fréchet-Urysohn. Para que todo número enterose identifiqueexplícitamentecon el conjuntodonde este último es un subconjunto del espacio de sucesiones de números realesyse identifican juntos. En particular,puede identificarse como un subconjunto dey, más generalmente, como un subconjuntode cualquier número entero. Sea ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle n\geq 1,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \{\left(0,0,0,\ldots \right)\}=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,0,\ldots \right)~:~x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} \right\},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} };}$ ${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,0,\ldots \right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\subseteq \mathbb {R} ^{n+k}}$ ${\displaystyle k\geq 0.}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\mathbb {R} ^{\infty }:=\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }~:~{\text{ all but finitely many }}x_{i}{\text{ are equal to }}0\right\}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\mathbb {R} ^{n}.\end{alignedat}}}$$

topología euclidiananorma euclidianapertenece ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle n\geq 1,}$ ${\displaystyle S\cap \mathbb {R} ^{n}=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)~:~\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)\in S\right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle v_{\bullet }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau \right)}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v_{\bullet }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau \right)}$ ${\displaystyle n\geq 1,}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle S:=\mathbb {R} ^{\infty }\,\setminus \,\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau \right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle (0,0,0,\ldots )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau \right).}$

$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }=\operatorname {cl} _{\mathbb {R} ^{\infty }}S~\neq ~\operatorname {scl} _{\mathbb {R} ^{\infty }}S=\mathbb {R} ^{\infty }\setminus \{(0,0,0,\ldots )\}.}$$

${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau \right)}$

Montel DF-espacios

Todo espacio Montel DF de dimensión infinita es un espacio secuencial pero no un espacio de Fréchet-Urysohn.

El espacio de Schwartz y el espacio de funciones suaves ${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$

Los siguientes espacios ampliamente utilizados son ejemplos destacados de espacios secuenciales que no son espacios de Fréchet-Urysohn. Denotemos el espacio de Schwartz y denotemos el espacio de funciones suaves en un subconjunto abierto donde ambos espacios tienen sus topologías de espacio Fréchet habituales, como se define en el artículo sobre distribuciones . Ambos , además de los espacios duales fuertes de ambos espacios, son espacios ultrabornológicos de Montel nucleares completos , lo que implica que estos cuatro espacios localmente convexos también son espacios reflexivos normales paracompactos ^[7] . Los espacios duales fuertes de ambos y son espacios secuenciales, pero ninguno de estos duales es un espacio de Fréchet-Urysohn . ^{[8] [9]} ${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$

Ver también

• Axioma de contabilidad  : propiedad de ciertos objetos matemáticos (generalmente en una categoría) que afirma la existencia de un conjunto contable con ciertas propiedades. Sin tal axioma, tal conjunto probablemente no existiría.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Primer espacio contable  : espacio topológico donde cada punto tiene una base de vecindad contable
• Límite de una secuencia  – Valor al que tiende una secuencia infinita
• Mapa de cobertura de secuencia
• Espacio secuencial  - Espacio topológico caracterizado por secuencias

Notas

1. Por supuesto, si puede determinar todos los superconjuntos de que están cerrados, entonces puede determinar el cierre de. Entonces, esta interpretación supone que solo puede determinar si está cerrado o no (y que esto no es posible con ningún otro subconjunto) ; Dicho de otra manera, no se puede aplicar esta "prueba" (de si un subconjunto está abierto/cerrado) a una infinidad de subconjuntos simultáneamente (por ejemplo, no se puede usar algo parecido al axioma de elección ). Es en los espacios de Fréchet-Urysohn donde se puede determinar la clausura de un conjunto sin que sea necesario considerar un subconjunto distinto de éste, pero no siempre es posible en espacios que no son de Fréchet-Urysohn. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S;}$
2. Aunque esta "prueba" (que intenta responder "¿este conjunto está abierto (o cerrado)?") podría dar un "falso positivo", nunca puede dar un " falso negativo "; esto se debe a que cada subconjunto abierto (o cerrado) es necesariamente secuencialmente abierto (o cerrado secuencialmente), por lo que esta "prueba" nunca indicará "falso" para ningún conjunto que realmente esté abierto (o cerrado). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Citas

1. Arkhangel'skii, AV y Pontryagin LS,  Topología general I, definición 9 p.12
2. Engelking 1989, Ejercicio 2.1.H (b)
3. Engelking 1989, ejemplo 1.6.18
4. Mamá, Dan (19 de agosto de 2010). «Una nota sobre el espacio de los Arens» . Consultado el 1 de agosto de 2013 .
5. Gabriyelyan, SS "Sobre espacios topológicos y grupos topológicos con ciertas redes locales contables (2014)
6. Tréves 2006, pag. 201.
7. "Espacio vectorial topológico". Enciclopedia de Matemáticas . Enciclopedia de Matemáticas . Consultado el 6 de septiembre de 2020 . Es un espacio de Montel, por tanto paracompacto y, por tanto, normal.
8. Gabriyelyan, Saak "Propiedades topológicas de los espacios LF estrictos y duales fuertes de los espacios LF estrictos de Montel" (2017)
9. T. Shirai, Sur les Topologies des Espaces de L. Schwartz, Proc. Académico de Japón. 35 (1959), 31-36.

Referencias

• Arkhangel'skii, AV y Pontryagin, LS, Topología general I , Springer-Verlag, Nueva York (1990) ISBN 3-540-18178-4 . 
• Booth, PI y Tillotson, A., Categorías monoidales cerradas, cartesianas cerradas y convenientes de espacios topológicos Pacific J. Math., 88 (1980) págs.
• Engelking, R., Topología general , Heldermann, Berlín (1989). Edición revisada y completa.
• Franklin, SP, "Espacios en los que bastan las secuencias", Fondo. Matemáticas. 57 (1965), 107-115.
• Franklin, SP, "Espacios en los que las secuencias son suficientes II", Fondo. Matemáticas. 61 (1967), 51-56.
• Goreham, Anthony, "Convergencia secuencial en espacios topológicos"
• Steenrod, NE, Una categoría conveniente de espacios topológicos , Michigan Math. J., 14 (1967), 133-152.
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.