Espacio palmeado

En matemáticas , particularmente en análisis funcional , un espacio entrelazado es un espacio vectorial topológico diseñado con el objetivo de permitir que los resultados del teorema de mapeo abierto y el teorema del grafo cerrado se cumplan para una clase más amplia de mapas lineales cuyos codominios son espacios entrelazados. Un espacio se llama palmeado si existe una colección de conjuntos , llamados web , que satisfacen ciertas propiedades. Las redes fueron investigadas por primera vez por De Wilde.

Web

Sea un espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff . A $X$ web es una colección estratificada dediscosque satisfacen los siguientes requisitos de absorbencia y convergencia.^[1]

Estrato 1 : El primer estrato debe consistir en una secuencia de discos de tal manera que su unión absorba $D_{1},D_{2},D_{3},\ldots$ $X$ $\bigcup _{i\in \mathbb {N} }D_{i}$ $X.$
Estrato 2 : Para cada disco en el primer estrato, debe existir una secuencia de discos tal que para cada : $D_{i}$ $D_{i1},D_{i2},D_{i3},\ldots$ $X$ $D_{i}$ $D_{ij}\subseteq \left({\tfrac {1}{2}}\right)D_{i}\quad {\text{ for every }}j$ y absorbe Los conjuntos formarán el segundo estrato. $\cup _{j\in \mathbb {N} }D_{ij}$ $D_{i}.$ $\left(D_{ij}\right)_{i,j\in \mathbb {N} }$
Estrato 3 : A cada disco en el segundo estrato, asigne otra secuencia de discos que satisfagan propiedades definidas de manera análoga; explícitamente, esto significa que para cada : $D_{ij}$ $D_{ij1},D_{ij2},D_{ij3},\ldots$ $X$ $D_{i,j}$ $D_{ijk}\subseteq \left({\tfrac {1}{2}}\right)D_{ij}\quad {\text{ for every }}k$ y absorbe Los conjuntos forman el tercer estrato. $\cup _{k\in \mathbb {N} }D_{ijk}$ $D_{ij}.$ $\left(D_{ijk}\right)_{i,j,k\in \mathbb {N} }$

Continúe este proceso para definir estratos. Es decir, utilice la inducción para definir estrato en términos de estrato. $4,5,\ldots .$ $n+1$ $n.$

ALa hebra es una secuencia de discos, donde el primer disco se selecciona del primer estrato, por ejemplo,y el segundo se selecciona de la secuencia con la que estaba asociado, etc. También requerimos que sise selecciona una secuencia de vectores de una cadena (quepertenecen al primer disco de la cadena,que pertenecen al segundo, etc.), la serieconverja. $D_{i},$ $D_{i},$ $(x_{n})$ $x_{1}$ $x_{2}$ $\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$

Un espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff en el que se puede definir una red se denomina espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff.espacio palmeado .

Ejemplos y condiciones suficientes

Teorema ^[2] (de Wilde 1978) : un espacio vectorial topológico es un espacio de Fréchet si y sólo si es a la vez un espacio reticulado y un espacio de Baire . $X$

Todos los siguientes espacios están palmeados:

Espacios de Fréchet . ^[2]
Límites proyectivos y límites inductivos de secuencias de espacios palmeados.
Un subespacio vectorial secuencialmente cerrado de un espacio palmeado. ^[3]
Productos contables de espacios palmeados. ^[3]
Un cociente de Hausdorff de un espacio palmeado. ^[3]
La imagen de un espacio palmeado bajo un mapa lineal secuencialmente continuo si esa imagen es Hausdorff . ^[3]
La bornologificación de un espacio palmeado.
El espacio dual continuo de un espacio metrizable localmente convexo dotado de una fuerte topología dual está reticulado. ^[2]
Si es el límite inductivo estricto de una numerosa familia de espacios metrizables localmente convexos, entonces el espacio dual continuo con la topología fuerte está entrelazado. ^[4] $X$ $X$
- Así, en particular, los duales fuertes de los espacios metrizables localmente convexos están entrelazados. ^[5]
Si es un espacio palmeado, entonces cualquier topología localmente convexa de Hausdorff más débil que esta topología (palmada) también es palmeada. ^[3] $X$

Teoremas

Teorema del gráfico cerrado ^[6] : Sea un mapa lineal entre TVS que está secuencialmente cerrado (lo que significa que su gráfico es un subconjunto secuencialmente cerrado de ). Si es un espacio palmeado y es un espacio ultrabornológico (como un espacio de Fréchet o un límite inductivo de espacios de Fréchet), entonces es continuo. $A:X\to Y$ $X\times Y$ $Y$ $X$ $A$

Teorema del grafo cerrado : cualquier aplicación lineal cerrada desde el límite inductivo de los espacios localmente convexos de Baire hasta un espacio palmeado localmente convexo es continua.

Teorema de mapeo abierto : cualquier mapa lineal sobreyectivo continuo desde un espacio localmente convexo palmeado hasta un límite inductivo de espacios localmente convexos de Baire está abierto.

Teorema de mapeo abierto ^[6] : cualquier mapa lineal sobreyectivo continuo desde un espacio palmeado localmente convexo hacia un espacio ultrabornológico está abierto.

Teorema de mapeo abierto ^[6] : si la imagen de un operador lineal cerrado desde el espacio palmeado localmente convexo al espacio localmente convexo de Hausdorff no es escasa , entonces es un mapa abierto sobreyectivo. $A:X\to Y$ $X$ $Y$ $Y$ $A:X\to Y$

Si los espacios no son localmente convexos, entonces existe una noción de red donde el requisito de ser un disco se reemplaza por el requisito de estar equilibrado . Para tal noción de web tenemos los siguientes resultados:

Teorema del grafo cerrado : cualquier mapa lineal cerrado desde el límite inductivo de los espacios vectoriales topológicos de Baire hasta un espacio vectorial topológico palmeado es continuo.

Ver también

Mapa lineal casi abierto – Mapa que satisface una condición similar a la de ser un mapa abierto.
Espacio en barril : tipo de espacio vectorial topológico
Gráfico cerrado : gráfico de un mapa cerrado en el espacio del producto.
Teorema de gráfico cerrado (análisis funcional) : teoremas que conectan la continuidad con el cierre de gráficos
Operador lineal cerrado : gráfico de un mapa cerrado en el espacio del producto.
Mapa lineal discontinuo
Espacio F : espacio vectorial topológico con una métrica invariante de traducción completa
Espacio de Fréchet : un espacio vectorial topológico localmente convexo que también es un espacio métrico completo
Teorema del punto fijo de Kakutani : teorema del punto fijo para funciones con valores establecidos
Espacio vectorial topológico metrizable : un espacio vectorial topológico cuya topología puede definirse mediante una métrica.
Teorema de mapeo abierto (análisis funcional) : condición para que un operador lineal esté abierto
Teorema de Ursescu : generalización de grafo cerrado, mapeo abierto y teorema de acotación uniforme

Citas

^ Narici y Beckenstein 2011, pag. 470-471.
^ abc Narici y Beckenstein 2011, pag. 472.
^ abcde Narici y Beckenstein 2011, pag. 481.
^ Narici y Beckenstein 2011, pag. 473.
^ Narici y Beckenstein 2011, págs. 459–483.
^ abc Narici y Beckenstein 2011, págs.

Referencias

De Wilde, Marc (1978). Teoremas de grafos cerrados y espacios palmeados . Londres: Pitman.
Khaleelulla, SM (1982). Contraejemplos en espacios vectoriales topológicos . Apuntes de conferencias de matemáticas . vol. 936. Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370.
Kriegl, Andreas; Micor, Peter W. (1997). El entorno conveniente del análisis global (PDF) . Encuestas y monografías matemáticas. vol. 53. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-0780-4. OCLC 37141279.
Kriegl, Andreas; Micor, Peter W. (1997). "El entorno conveniente del análisis global" . Encuestas y monografías matemáticas. Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 557–578. ISBN 9780821807804.
Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.