Conjunto absorbente

Conjunto que se puede "inflar" para alcanzar cualquier punto

En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas, un conjunto absorbente en un espacio vectorial es un conjunto que se puede "inflar" o "ampliar" para que eventualmente siempre incluya cualquier punto dado del espacio vectorial. Los términos alternativos son conjunto radial o absorbente . Cada entorno del origen en cada espacio vectorial topológico es un subconjunto absorbente. ${\displaystyle S}$

Definición

Notación para escalares

Supóngase que es un espacio vectorial sobre el campo de los números reales o complejos y para cualquier sea la bola abierta (respectivamente, la bola cerrada ) de radio en centrado en Defina el producto de un conjunto de escalares con un conjunto de vectores como y defina el producto de con un solo vector como ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle -\infty \leq r\leq \infty ,}$ $${\displaystyle B_{r}=\{a\in \mathbb {K} :|a|<r\}\quad {\text{ and }}\quad B_{\leq r}=\{a\in \mathbb {K} :|a|\leq r\}}$$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle K\subseteq \mathbb {K} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle KA=\{ka:k\in K,a\in A\},}$ ${\displaystyle K\subseteq \mathbb {K} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Kx=\{kx:k\in K\}.}$

Preliminares

Núcleo equilibrado y casco equilibrado

Se dice que un subconjunto de es ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$equilibrado sipara todosy todos los escalaresque satisfacenesta condición se puede escribir de manera más sucinta comoy se cumple si y solo si ${\displaystyle as\in S}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|\leq 1;}$ ${\displaystyle B_{\leq 1}S\subseteq S,}$ ${\displaystyle B_{\leq 1}S=S.}$

Dado un conjunto, el conjunto equilibrado más pequeño que contiene denotado por se llama ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} T,}$casco equilibrado demientras que el conjunto equilibrado más grande contenido dentrodenotado porse llama ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle \operatorname {balcore} T,}$núcleo equilibrado de Estos conjuntos se dan mediante las fórmulas y (estas fórmulas muestran que la envoltura equilibrada y el núcleo equilibrado siempre existen y son únicos). Un conjuntoestá equilibrado si y solo si es igual a su envoltura equilibrada () o a su núcleo equilibrado (), en cuyo caso los tres conjuntos son iguales: ${\displaystyle T.}$ $${\displaystyle \operatorname {bal} T~=~{\textstyle \bigcup \limits _{|c|\leq 1}}c\,T=B_{\leq 1}T}$$ $${\displaystyle \operatorname {balcore} T~=~{\begin{cases}{\textstyle \bigcap \limits _{|c|\geq 1}}c\,T&{\text{ if }}0\in T\\\varnothing &{\text{ if }}0\not \in T,\\\end{cases}}}$$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T=\operatorname {bal} T}$ ${\displaystyle T=\operatorname {balcore} T}$ ${\displaystyle T=\operatorname {bal} T=\operatorname {balcore} T.}$

Si es cualquier escalar entonces mientras que si es distinto de cero o si entonces también ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle \operatorname {bal} (c\,T)=c\,\operatorname {bal} T=|c|\,\operatorname {bal} T}$$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle 0\in T}$ $${\displaystyle \operatorname {balcore} (c\,T)=c\,\operatorname {balcore} T=|c|\,\operatorname {balcore} T.}$$

Un conjunto que absorbe a otro

Si y son subconjuntos de entonces se dice que ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$absorber si cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle S}$

1. Definición : Existe un real tal que para cada escalar que satisface O dicho de manera más sucinta, para algún ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle S\,\subseteq \,c\,A}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |c|\geq r.}$ ${\displaystyle S\;\subseteq \;{\textstyle \bigcap \limits _{|c|\geq r}}c\,A}$ ${\displaystyle r>0.}$
   • Si el campo escalar es entonces intuitivamente, " absorbe ", lo que significa que si se "escala" o "infla" perpetuamente (refiriéndose a como ), entonces eventualmente (para todos los positivos suficientemente grandes), todos contendrán y, de manera similar, también deben contener eventualmente para todos los negativos suficientemente grandes en magnitud. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle tA}$ ${\displaystyle t\to \infty }$ ${\displaystyle t>0}$ ${\displaystyle tA}$ ${\displaystyle S;}$ ${\displaystyle tA}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle t<0}$
   • Esta definición depende de la norma canónica del campo escalar subyacente (es decir, del valor absoluto ), lo que vincula esta definición a la topología euclidiana habitual en el campo escalar. En consecuencia, la definición de un conjunto absorbente (que se da a continuación) también está vinculada a esta topología. ${\displaystyle |\cdot |}$
2. Existe un real tal que para cada escalar distinto de cero ^{[nota 1]} que satisface O dicho de manera más sucinta, para algún ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle c\,S\,\subseteq \,A}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle |c|\leq r.}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{0<|c|\leq r}}c\,S\,\subseteq \,A}$ ${\displaystyle r>0.}$
   • Como esta unión es igual a donde está la bola cerrada con el origen eliminado, esta condición puede reformularse como: para algunos ${\displaystyle \left(B_{\leq r}\setminus \{0\}\right)S,}$ ${\displaystyle B_{\leq r}\setminus \{0\}=\{c\in \mathbb {K} :0<|c|\leq r\}}$ ${\displaystyle \left(B_{\leq r}\setminus \{0\}\right)S\,\subseteq \,A}$ ${\displaystyle r>0.}$
   • La desigualdad no estricta se puede reemplazar por la desigualdad estricta, que es la siguiente caracterización. ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \,<\,,}$
3. Existe un real tal que para cada escalar distinto de cero ^{[nota 1]} que satisface O dicho de manera más sucinta, para algún ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle c\,S\,\subseteq \,A}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle |c|<r.}$ ${\displaystyle \left(B_{r}\setminus \{0\}\right)S\subseteq \,A}$ ${\displaystyle r>0.}$
   • Aquí está la bola abierta con el origen eliminado y ${\displaystyle B_{r}\setminus \{0\}=\{c\in \mathbb {K} :0<|c|<r\}}$ ${\displaystyle \left(B_{r}\setminus \{0\}\right)S\,=\,{\textstyle \bigcup \limits _{0<|c|<r}}c\,S.}$

Si es un conjunto equilibrado , esta lista se puede ampliar para incluir: ${\displaystyle A}$

4. Existe un escalar distinto de cero tal que ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle S\;\subseteq \,c\,A.}$
   • En tal caso, se podrá suprimir el requisito . ${\displaystyle 0\in A}$ ${\displaystyle c\neq 0}$
5. Existe un escalar distinto de cero ^{[nota 1]} tal que ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle c\,S\,\subseteq \,A.}$

Si (una condición necesaria para ser un conjunto absorbente, o para ser un vecindario del origen en una topología), entonces esta lista se puede ampliar para incluir: ${\displaystyle 0\in A}$ ${\displaystyle A}$

6. Existe tal que para cada escalar que satisface O, dicho de manera más sucinta, ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle c\,S\;\subseteq \,A}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |c|<r.}$ ${\displaystyle B_{r}\;S\,\subseteq \,A.}$
7. Existe tal que para cada escalar que satisface O, dicho de manera más sucinta, ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle c\,S\;\subseteq \,A}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |c|\leq r.}$ ${\displaystyle B_{\leq r}S\,\subseteq \,A.}$
   • La inclusión es equivalente a (ya que ). Porque esto puede reescribirse, lo que da la siguiente declaración. ${\displaystyle B_{\leq r}S\,\subseteq \,A}$ ${\displaystyle B_{\leq 1}S\,\subseteq \,{\tfrac {1}{r}}A}$ ${\displaystyle B_{\leq r}=r\,B_{\leq 1}}$ ${\displaystyle B_{\leq 1}S\,=\,\operatorname {bal} \,S,}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} \,S\,\subseteq \,{\tfrac {1}{r}}A,}$
8. Existe tal que ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} \,S\,\subseteq \,r\,A.}$
9. Existe tal que ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} \,S\,\subseteq \,\operatorname {balcore} (r\,A).}$
10. Existe tal que ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \;\;\;\;\;\;S\,\subseteq \,\operatorname {balcore} (r\,A).}$
    • Las siguientes caracterizaciones se derivan de las anteriores y del hecho de que para cada escalar la envoltura equilibrada de satisface y (ya que ) su núcleo equilibrado satisface ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \,\operatorname {bal} (c\,A)=c\,\operatorname {bal} A=|c|\,\operatorname {bal} A\,}$ ${\displaystyle 0\in A}$ ${\displaystyle \,\operatorname {balcore} (c\,A)=c\,\operatorname {balcore} A=|c|\,\operatorname {balcore} A.}$
11. Existe tal que En palabras, un conjunto es absorbido por si está contenido en algún múltiplo escalar positivo del núcleo equilibrado de ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \;\;\,S\,\subseteq \,r\,\operatorname {balcore} A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$
12. Existe tal que ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle r\,S\subseteq \,\;\;\;\;\operatorname {balcore} A.}$
13. Existe un escalar distinto de cero ^{[nota 1]} tal que En palabras, el núcleo equilibrado de contiene algún múltiplo escalar distinto de cero de ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle c\,S\,\subseteq \,\operatorname {balcore} A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S.}$
14. Existe un escalar tal que En palabras, se puede escalar para contener la envoltura equilibrada de ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S\,\subseteq \,c\,A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S.}$
15. Existe un escalar tal que ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S\,\subseteq \,\operatorname {balcore} (c\,A).}$
16. Existe un escalar tal que En palabras, se puede escalar de modo que su núcleo equilibrado contenga ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \;\;\;\;\;\;S\,\subseteq \,\operatorname {balcore} (c\,A).}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S.}$
17. Existe un escalar tal que ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \;\;\;\;\;\;S\,\subseteq \,c\,\operatorname {balcore} A.}$
18. Existe un escalar tal que En palabras, el núcleo equilibrado de se puede escalar para contener la envoltura equilibrada de ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S\,\subseteq \,c\,\operatorname {balcore} (A).}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S.}$
19. El núcleo equilibrado absorbe el casco equilibrado (de acuerdo a cualquier condición definitoria de "absorbe" distinta a ésta). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$

Si es así, esta lista se puede ampliar para incluir: ${\displaystyle 0\not \in S}$ ${\displaystyle 0\in A}$

20. ${\displaystyle A\cup \{0\}}$absorbe (de acuerdo a cualquier condición definitoria de "absorbe" distinta de ésta). ${\displaystyle S}$
    • En otras palabras, puede reemplazarse por en las caracterizaciones anteriores si (o trivialmente, si ). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\cup \{0\}}$ ${\displaystyle 0\not \in S}$ ${\displaystyle 0\in A}$

Un conjunto que absorbe un punto

Se dice que un conjuntoabsorber un punto si absorbe elconjunto singletonUn conjuntoabsorbe el origen si y solo si contiene el origen; es decir, si y solo si Como se detalla a continuación, se dice que un conjuntoabsorbe ensi absorbe cada punto de ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{x\}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 0\in A.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Esta noción de un conjunto que absorbe a otro también se utiliza en otras definiciones: un subconjunto de un espacio vectorial topológico se denomina acotado si es absorbido por cada entorno del origen. Un conjunto se denomina bornívoro si absorbe cada subconjunto acotado. ${\displaystyle X}$

Primeros ejemplos

Todo conjunto absorbe al conjunto vacío, pero el conjunto vacío no absorbe ningún conjunto no vacío. El conjunto singleton que contiene el origen es el único subconjunto singleton que se absorbe a sí mismo. ${\displaystyle \{\mathbf {0} \}}$

Supongamos que es igual a o Si es el círculo unitario (centrado en el origen ) junto con el origen, entonces es el único conjunto no vacío que absorbe. Además, no existe ningún subconjunto no vacío de que sea absorbido por el círculo unitario. Por el contrario, cada entorno del origen absorbe cada subconjunto acotado de (y, en particular, absorbe cada subconjunto/punto singular). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle A:=S^{1}\cup \{\mathbf {0} \}}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \{\mathbf {0} \}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{1}.}$ ${\displaystyle X}$

Conjunto absorbente

Un subconjunto de un espacio vectorial sobre un campo se denomina ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$Se dice que el subconjunto absorbente (o absorbente ) de ${\displaystyle X}$absorbiendo en ${\displaystyle X}$ si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes (aquí ordenadas de manera que cada condición sea una consecuencia fácil de la anterior, empezando por la definición):

1. Definición : absorbe cada punto de es decir, para cada absorbe ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{x\}.}$
   • Así, en particular, no puede ser absorbente si Todo conjunto absorbente debe contener el origen. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 0\not \in A.}$
2. ${\displaystyle A}$absorbe cada subconjunto finito de ${\displaystyle X.}$
3. Para cada existe un real tal que para cualquier escalar que satisfaga ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x\in cA}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {K} }$ ${\displaystyle |c|\geq r.}$
4. Para cada existe un real tal que para cualquier escalar que satisfaga ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle cx\in A}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {K} }$ ${\displaystyle |c|\leq r.}$
5. Para cada existe un real tal que ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B_{r}x\subseteq A.}$
   • Aquí está la bola abierta de radio en el campo escalar centrado en el origen y ${\displaystyle B_{r}=\{c\in \mathbb {K} :|c|<r\}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle B_{r}x=\left\{cx:c\in B_{r}\right\}=\{cx:c\in \mathbb {K} {\text{ and }}|c|<r\}.}$
   • La bola cerrada se puede utilizar en lugar de la bola abierta.
   • Porque la inclusión es válida si y sólo si Esto prueba la siguiente afirmación. ${\displaystyle B_{r}x\subseteq \mathbb {K} x=\operatorname {span} \{x\},}$ ${\displaystyle B_{r}x\subseteq A}$ ${\displaystyle B_{r}x\subseteq A\cap \mathbb {K} x.}$
6. Para cada existe un real tal que donde ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B_{r}x\subseteq A\cap \mathbb {K} x,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} x=\operatorname {span} \{x\}.}$
   • Conexión con la topología : Si se da su topología euclidiana de Hausdorff habitual, entonces el conjunto es un entorno del origen en por lo tanto, existe un real tal que si y solo si es un entorno del origen en En consecuencia, satisface esta condición si y solo si para cada es un entorno de en cuando se da la topología euclidiana. Esto da la siguiente caracterización. ${\displaystyle \mathbb {K} x}$ ${\displaystyle B_{r}x}$ ${\displaystyle \mathbb {K} x;}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B_{r}x\subseteq A\cap \mathbb {K} x}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {K} x}$ ${\displaystyle \mathbb {K} x.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle A\cap \operatorname {span} \{x\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \operatorname {span} \{x\}=\mathbb {K} x}$ ${\displaystyle \operatorname {span} \{x\}}$
   • Las únicas topologías TVS ^{[nota 2] en un espacio vectorial unidimensional son la} topología trivial (no Hausdorff) y la topología euclidiana de Hausdorff. Todo subespacio vectorial unidimensional de es de la forma para algún valor distinto de cero y si este espacio unidimensional está dotado con el (único) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} x=\operatorname {span} \{x\}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} x}$Topología vectorial de Hausdorff , entonces el mapadefinido pores necesariamente un isomorfismo TVS (donde como es habitual,está dotado de su topología euclidiana estándar inducida por la métrica euclidiana ). ${\displaystyle \mathbb {K} \to \mathbb {K} x}$ ${\displaystyle c\mapsto cx}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$
7. ${\displaystyle A}$contiene el origen y para cada subespacio vectorial unidimensional de es un vecindario del origen en cuando se da su topología vectorial de Hausdorff única (es decir, la topología euclidiana ). ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A\cap Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$
   • La razón por la cual la topología euclidiana se distingue en esta caracterización se deriva en última instancia del requisito definitorio de las topologías TVS ^{[nota 2]} de que la multiplicación escalar sea continua cuando al campo escalar se le da esta topología (euclidiana). ${\displaystyle \mathbb {K} \times X\to X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$
   • ${\displaystyle 0}$-Los vecindarios son absorbentes : esta condición da una idea de por qué cada vecindario del origen en cada espacio vectorial topológico (TVS) es necesariamente absorbente: si es un vecindario del origen en un TVS entonces para cada subespacio vectorial unidimensional es un vecindario del origen en cuando está dotado de la topología de subespacio inducida en él por Esta topología de subespacio es siempre una topología vectorial ^{[nota 2]} y debido a que es unidimensional, las únicas topologías vectoriales en él son la topología euclidiana de Hausdorff y la topología trivial , que es un subconjunto de la topología euclidiana. Entonces, independientemente de cuál de estas topologías vectoriales esté en el conjunto, será un vecindario del origen en con respecto a su topología vectorial única de Hausdorff (la topología euclidiana). ^{[nota 3]} Por lo tanto, es absorbente. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle U\cap Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle U\cap Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle U}$
8. ${\displaystyle A}$contiene el origen y para cada subespacio vectorial unidimensional de es absorbente en (de acuerdo con cualquier condición definitoria de "absorción" distinta de esta). ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A\cap Y}$ ${\displaystyle Y}$
   • Esta caracterización muestra que la propiedad de ser absorbente en depende sólo de cómo se comporta con respecto a subespacios vectoriales de dimensión 1 (o 0) de En cambio, si un subespacio vectorial de dimensión finita de tiene dimensión y está dotado de su topología TVS de Hausdorff única, entonces ser absorbente en ya no es suficiente para garantizar que sea un entorno del origen en (aunque seguirá siendo una condición necesaria). Para que esto suceda, basta con que sea un conjunto absorbente que también sea convexo, equilibrado y cerrado en (tal conjunto se llama barril y será un entorno del origen en porque todo espacio euclidiano de dimensión finita, incluido es un espacio en barril ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle A\cap Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle A\cap Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle A\cap Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z,}$

A esta lista se le puede añadir: ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$

9. El interior algebraico de contiene el origen (es decir, ). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 0\in {}^{i}A}$

Si está equilibrado entonces a esta lista se le puede añadir: ${\displaystyle A}$

10. Para cada existe un escalar tal que ^[1] (o equivalentemente, tal que ). ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle x\in cA}$ ${\displaystyle cx\in A}$
11. Para cada existe un escalar tal que ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x\in cA.}$

Si es convexo o equilibrado entonces a esta lista se le puede añadir: ${\displaystyle A}$

12. Para cada existe un real positivo tal que ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle rx\in A.}$
    • La prueba de que un conjunto equilibrado que satisface esta condición es necesariamente absorbente se sigue inmediatamente de la condición (10) anterior y del hecho de que para todos los escalares (donde es real). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle cA=|c|A}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle r:=|c|>0}$
    • La prueba de que un conjunto convexo que satisface esta condición es necesariamente absorbente es menos trivial (pero no difícil). En esta nota al pie se ofrece una prueba detallada ^{[prueba 1]} y a continuación se ofrece un resumen. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$
      • Resumen de la prueba : Por suposición, para cualquier distinto de cero es posible elegir reales positivos y tales que y de modo que el conjunto convexo contenga el subintervalo abierto que contiene el origen ( se llama intervalo ya que identificamos con y todo subconjunto convexo no vacío de es un intervalo). Dé su topología vectorial de Hausdorff única de modo que quede por demostrar que es un vecindario del origen en Si entonces hemos terminado, entonces supongamos que El conjunto es una unión de dos intervalos, cada uno de los cuales contiene un subintervalo abierto que contiene el origen; además, la intersección de estos dos intervalos es precisamente el origen. De modo que la envoltura convexa en forma de cuadrilátero de que está contenida en el conjunto convexo contiene claramente una bola abierta alrededor del origen. ${\displaystyle 0\neq y\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle R>0}$ ${\displaystyle Ry\in A}$ ${\displaystyle r(-y)\in A}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle (-r,R)y\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\{ty:-r<t<R,t\in \mathbb {R} \},}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} y}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {K} y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} y.}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} .}$ ${\displaystyle S\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,(A\cap \mathbb {R} y)\,\cup \,(A\cap \mathbb {R} (iy))\,\subseteq \,A\cap (\mathbb {C} y)}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {C} y,}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
13. Para cada existe un real positivo tal que ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x\in rA.}$
    • Esta condición es equivalente a: todo pertenece al conjunto Esto sucede si y sólo si que da la siguiente caracterización. ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{0<r<\infty }}rA=\{ra:0<r<\infty ,a\in A\}=(0,\infty )A.}$ ${\displaystyle X=(0,\infty )A,}$
14. ${\displaystyle (0,\infty )A=X.}$
    • Se puede demostrar que para cualquier subconjunto de si y sólo si para cada donde ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle (0,\infty )T=X}$ ${\displaystyle T\cap (0,\infty )x\neq \varnothing }$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle (0,\infty )x\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\{rx:0<r<\infty \}.}$
15. Para cada ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle A\cap (0,\infty )x\neq \varnothing .}$

Si (lo cual es necesario para que sea absorbente) entonces basta con comprobar cualquiera de las condiciones anteriores para todos los valores distintos de cero en lugar de todos. ${\displaystyle 0\in A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x\in X.}$

Ejemplos y condiciones suficientes

Para que un conjunto absorba a otro

Sea una función lineal entre espacios vectoriales y sean y conjuntos balanceados. Entonces absorbe si y solo si absorbe ^[2] ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle C\subseteq Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F(B)}$ ${\displaystyle F^{-1}(C)}$ ${\displaystyle B.}$

Si un conjunto absorbe a otro conjunto , entonces cualquier superconjunto de también absorbe. Un conjunto absorbe el origen si y solo si el origen es un elemento de ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$

Un conjunto absorbe una unión finita de conjuntos si y solo si absorbe cada individualidad del conjunto (es decir, si y solo si absorbe para cada ). En particular, un conjunto es un subconjunto absorbente de si y solo si absorbe cada subconjunto finito de ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B_{1}\cup \cdots \cup B_{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Para que un conjunto sea absorbente

La bola unitaria de cualquier espacio vectorial normado (o espacio vectorial semirregulado ) es absorbente. En términos más generales, si es un espacio vectorial topológico (TVS), entonces cualquier entorno del origen en es absorbente en Este hecho es una de las motivaciones principales para definir la propiedad "absorbente en " ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X.}$

Todo superconjunto de un conjunto absorbente es absorbente. En consecuencia, la unión de cualquier familia de (uno o más) conjuntos absorbentes es absorbente. La intersección de un número finito de subconjuntos absorbentes es, una vez más, un subconjunto absorbente. Sin embargo, las bolas abiertas de radio son todas absorbentes aunque su intersección no lo sea. ${\displaystyle (-r_{n},-r_{n})}$ ${\displaystyle r_{n}=1,1/2,1/3,\ldots }$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }(-1/n,1/n)=\{0\}}$

Si es un disco (un subconjunto convexo y equilibrado) entonces y por lo tanto en particular, un disco es siempre un subconjunto absorbente de ^[3] Por lo tanto, si es un disco en entonces es absorbente en si y solo si Esta conclusión no está garantizada si el conjunto es equilibrado pero no convexo; por ejemplo, la unión de los ejes y en es un conjunto equilibrado no convexo que no es absorbente en ${\displaystyle D\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \operatorname {span} D={\textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }}nD;}$ ${\displaystyle D\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \operatorname {span} D.}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {span} D=X.}$ ${\displaystyle D\neq \varnothing }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {span} D=\mathbb {R} ^{2}.}$

La imagen de un conjunto absorbente bajo un operador lineal sobreyectivo es nuevamente absorbente. La imagen inversa de un subconjunto absorbente (del codominio) bajo un operador lineal es nuevamente absorbente (en el dominio). Si es absorbente, entonces lo mismo es cierto para el conjunto simétrico. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcap \limits _{|u|=1}}uA\subseteq A.}$

Espacios auxiliares normados

Si es convexo y absorbente en entonces el conjunto simétrico será convexo y equilibrado (también conocido como un conjunto absolutamente convexo o un disco ) además de ser absorbente en Esto garantiza que la funcional de Minkowski de será una seminorma en por lo que se convierte en un espacio seminormado que lleva su topología seudometrizable canónica . El conjunto de múltiplos escalares como rangos sobre (o sobre cualquier otro conjunto de escalares distintos de cero que tengan como punto límite) forma una base de vecindad de discos absorbentes en el origen para esta topología localmente convexa . Si es un espacio vectorial topológico y si este subconjunto absorbente convexo es también un subconjunto acotado de entonces todo esto también será cierto para el disco absorbente si además no contiene ningún subespacio vectorial no trivial entonces será una norma y formará lo que se conoce como un espacio normado auxiliar . ^[4] Si este espacio normado es un espacio de Banach entonces se llama disco de Banach . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D:={\textstyle \bigcap \limits _{|u|=1}}uW}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p_{D}:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \left(X,p_{D}\right)}$ ${\displaystyle rD}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \left\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D:={\textstyle \bigcap \limits _{|u|=1}}uW;}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle p_{D}}$ ${\displaystyle \left(X,p_{D}\right)}$ ${\displaystyle D}$

Propiedades

Todo conjunto absorbente contiene el origen. Si es un disco absorbente en un espacio vectorial entonces existe un disco absorbente en tal que ^[5] ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E+E\subseteq D.}$

Si es un subconjunto absorbente de entonces y, de manera más general, para cualquier secuencia de escalares tales que En consecuencia, si un espacio vectorial topológico es un subconjunto no magro de sí mismo (o equivalentemente para TVS, si es un espacio de Baire ) y si es un subconjunto absorbente cerrado de entonces necesariamente contiene un subconjunto abierto no vacío de (en otras palabras, el interior topológico de no estará vacío), lo que garantiza que es un vecindario del origen en ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X={\textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }}nA}$ ${\displaystyle X={\textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }}s_{n}A}$ ${\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \left|s_{n}\right|\to \infty .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A-A}$ ${\displaystyle X.}$

Todo conjunto absorbente es un conjunto total , lo que significa que todo subespacio absorbente es denso .

Véase también

• Interior algebraico  – Generalización del interior topológico
• Conjunto absolutamente convexo  – Conjunto convexo y equilibrado
• Conjunto equilibrado  : construcción en análisis funcional
• Conjunto bornívoro  : Un conjunto que puede absorber cualquier subconjunto acotado
• Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)  : generalización de la acotación
• Conjunto convexo  : En geometría, conjunto cuya intersección con cada línea es un solo segmento de línea.
• Espacio vectorial topológico localmente convexo  : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
• Conjunto radial
• Dominio estelar  – Propiedad de los conjuntos de puntos en espacios euclidianos
• Conjunto simétrico  – Propiedad de los subconjuntos de un grupo (matemáticas)
• Espacio vectorial topológico  – Espacio vectorial con noción de proximidad

Notas

1. El requisito de que un escalar sea distinto de cero no puede eliminarse de esta caracterización. ${\displaystyle c}$
2. Una topología en un espacio vectorial se denomina topología vectorial o topología TVS si hace que la suma de vectores y la multiplicación escalar sean continuas cuando al campo escalar se le da su topología euclidiana inducida por norma habitual (siendo esa norma el valor absoluto ). Dado que las restricciones de las funciones continuas son continuas, si es un subespacio vectorial de un TVS, entonces las operaciones de suma de vectores y multiplicación escalar de también serán continuas. Por lo tanto, la topología de subespacio que cualquier subespacio vectorial hereda de un TVS volverá a ser una topología vectorial. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times X\to X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} \times X\to X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y\times Y\to Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} \times Y\to Y}$
3. Si es un vecindario del origen en un TVS entonces sería patológico si existiera cualquier subespacio vectorial unidimensional en el que no fuera un vecindario del origen en al menos alguna topología TVS en Las únicas topologías TVS en son la topología euclidiana de Hausdorff y la topología trivial , que es un subconjunto de la topología euclidiana. En consecuencia, esta patología no ocurre si y solo si ser un vecindario de en la topología euclidiana para todos los subespacios vectoriales unidimensionales que es exactamente la condición de que sea absorbente en El hecho de que todos los vecindarios del origen en todos los TVS sean necesariamente absorbentes significa que este comportamiento patológico no ocurre. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle U\cap Y}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle U\cap Y}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X.}$

Pruebas

1. Prueba : Sea un espacio vectorial sobre el cuerpo con ser o y dote al cuerpo con su topología euclidiana normada usual. Sea un conjunto convexo tal que para cada existe un real positivo tal que Porque si entonces la prueba es completa así que supóngase Claramente, cada subconjunto convexo no vacío de la recta real es un intervalo (posiblemente abierto, cerrado o semicerrado; posiblemente degenerado (es decir, un conjunto singleton ); posiblemente acotado o ilimitado). Recordemos que la intersección de conjuntos convexos es convexa de modo que para cada los conjuntos y son convexos, donde ahora la convexidad de (que contiene el origen y está contenido en la recta ) implica que es un intervalo contenido en la recta Lema : Si entonces el intervalo contiene un subintervalo abierto que contiene el origen. Prueba del lema : Por suposición, dado que podemos elegir algunos tales que y (porque ) también podemos elegir algunos tales que donde y (ya que ). Porque es convexo y contiene los puntos distintos y contiene la envoltura convexa de los puntos que (en particular) contiene el subintervalo abierto donde este subintervalo abierto contiene el origen (para ver por qué, tome que satisface ), lo que prueba el lema. Ahora fijemos sea Porque era arbitrario, para probar que es absorbente en es necesario y suficiente mostrar que es un entorno del origen en cuando se da su topología euclidiana de Hausdorff habitual, donde recordemos que esta topología convierte la función definida por en un isomorfismo TVS. Si entonces el hecho de que el intervalo contenga un subintervalo abierto alrededor del origen significa exactamente que es un entorno del origen en que completa la prueba. Así que supongamos que Escribimos de modo que y (ingenuamente, es el " -eje" y es el " -eje" de ). El conjunto está contenido en el conjunto convexo de modo que la envoltura convexa de está contenida en Por el lema, cada uno de y ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle z\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle rz\in A.}$ ${\displaystyle 0\in A,}$ ${\displaystyle X=\{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {dim} X\neq 0.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0\neq y\in X,}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {K} y}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} y=\{ry:-\infty <r<\infty \}.}$ ${\displaystyle 0\neq y\in X}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle R>0}$ ${\displaystyle Ry\in A}$ ${\displaystyle -y\in X}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle r(-y)\in A,}$ ${\displaystyle r(-y)=(-r)y}$ ${\displaystyle -ry\neq Ry}$ ${\displaystyle y\neq 0}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle -ry}$ ${\displaystyle Ry,}$ ${\displaystyle \{-ry,Ry\},}$ ${\displaystyle (-r,R)y=\{ty:-r<t<R,t\in \mathbb {R} \},}$ ${\displaystyle (-r,R)y}$ ${\displaystyle t=0,}$ ${\displaystyle -r<t=0<R}$ ${\displaystyle \blacksquare }$ ${\displaystyle 0\neq x\in X,}$ ${\displaystyle Y:=\operatorname {span} \{x\}=\mathbb {K} x.}$ ${\displaystyle 0\neq x\in X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\cap Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} \to \mathbb {K} x}$ ${\displaystyle c\mapsto cx}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle A\cap Y=A\cap \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle A\cap Y}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {R} x,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} .}$ ${\displaystyle i:={\sqrt {-1}},}$ ${\displaystyle ix\in Y=\mathbb {C} x,}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {C} x=(\mathbb {R} x)+(\mathbb {R} (ix))}$ ${\displaystyle \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} (ix)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mathbb {C} (ix)}$ ${\displaystyle S:=(A\cap \mathbb {R} x)\cup (A\cap \mathbb {R} (ix))}$ ${\displaystyle A\cap Y,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A\cap Y.}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} (ix)}$son segmentos de línea (intervalos) con cada segmento que contiene el origen en un subintervalo abierto; además, se intersecan claramente en el origen. Elija un real tal que y Sea la envoltura convexa de la cual está contenida en la envoltura convexa de y por lo tanto también está contenida en el conjunto convexo Para terminar la prueba, basta con mostrar que es un entorno de en Visto como un subconjunto del plano complejo tiene la forma de un cuadrado abierto con sus cuatro esquinas en los ejes positivo y negativo y (es decir, en y ). Por lo tanto, se verifica fácilmente que contiene la bola abierta de radio centrada en el origen de Por lo tanto, es un entorno del origen en como se desea. ${\displaystyle d>0}$ ${\displaystyle (-d,d)x=\{tx:-d<t<d,t\in \mathbb {R} \}\subseteq A\cap \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle (-d,d)ix=\{tix:-d<t<d,t\in \mathbb {R} \}\subseteq A\cap \mathbb {R} (ix).}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle [(-d,d)x]\cup [(-d,d)ix],}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A\cap Y.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \cong Y,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (0,\infty )x,}$ ${\displaystyle (-\infty ,0)x,}$ ${\displaystyle (0,\infty )ix,}$ ${\displaystyle (-\infty ,0)ix}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle B_{d/2}x:=\{cx:c\in \mathbb {K} {\text{ and }}|c|<d/2\}}$ ${\displaystyle d/2}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {C} x.}$ ${\displaystyle A\cap Y}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {C} x,}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Citas

1. Narici y Beckenstein 2011, págs. 107-110.
2. Narici y Beckenstein 2011, págs. 441–457.
3. Narici y Beckenstein 2011, págs. 67–113.
4. Narici y Beckenstein 2011, págs. 115–154.
5. Narici y Beckenstein 2011, págs. 149-153.

Referencias

• Berberian, Sterling K. (1974). Lecciones de análisis funcional y teoría de operadores . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 15. Nueva York: Springer. ISBN. 978-0-387-90081-0.OCLC 878109401  .
• Bourbaki, Nicolás (1987) [1981]. Espacios vectoriales topológicos: capítulos 1 a 5 . Elementos matemáticos . Traducido por Eggleston, HG; Madan, S. Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4.OCLC 17499190  .
• Nicolas, Bourbaki (2003). Espacios vectoriales topológicos Capítulo 1-5 (Traducción al inglés) . Nueva York: Springer-Verlag. p. I.7. ISBN 3-540-42338-9.
• Conway, John (1990). Un curso de análisis funcional . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 96 (2.ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-0-387-97245-9.OCLC 21195908  .
• Diestel, Joe (2008). La teoría métrica de los productos tensoriales: una revisión del currículum de Grothendieck . Vol. 16. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 9781470424831.OCLC 185095773  .
• Dineen, Seán (1981). Análisis complejo en espacios localmente convexos . North-Holland Mathematics Studies. Vol. 57. Ámsterdam, Nueva York. Nueva York: North-Holland Pub. Co., Elsevier Science Pub. Co. ISBN 978-0-08-087168-4.OCLC 16549589  .
• Dunford, Nelson ; Schwartz, Jacob T. (1988). Operadores lineales . Matemáticas puras y aplicadas. Vol. 1. Nueva York: Wiley-Interscience . ISBN 978-0-471-60848-6.OCLC 18412261  .
• Edwards, Robert E. (1995). Análisis funcional: teoría y aplicaciones . Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6.OCLC 30593138  .
• Grothendieck, Alexander (1973). Espacios vectoriales topológicos . Traducido por Chaljub, Orlando. Nueva York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7.OCLC 886098  .
• Hogbe-Nlend, Henri (1977). Bornologías y análisis funcional: Curso introductorio sobre la teoría de la dualidad Topología-Bornología y su uso en el análisis funcional . Estudios matemáticos de Holanda Septentrional. Vol. 26. Ámsterdam, Nueva York, Nueva York: Holanda Septentrional. ISBN 978-0-08-087137-0. Sr.  0500064. OCLC  316549583.
• Hogbe-Nlend, Henri ; Moscatelli, VB (1981). Espacios nucleares y connucleares: Curso introductorio sobre espacios nucleares y connucleares a la luz de la dualidad "topología-bornología" . Estudios matemáticos de Holanda Septentrional. Vol. 52. Ámsterdam Nueva York Nueva York: Holanda Septentrional. ISBN 978-0-08-087163-9.OCLC 316564345  .
• Husain, Taqdir; Khaleelulla, SM (1978). Barrelización en espacios vectoriales topológicos y ordenados . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 692. Berlín, Nueva York, Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-09096-0.OCLC 4493665  .
• Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4.OCLC 8210342  .
• Keller, Hans (1974). Cálculo diferencial en espacios localmente convexos . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 417. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-06962-1.OCLC 1103033  .
• Khaleelulla, SM (1982). Contraejemplos en espacios vectoriales topológicos . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 936. Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-11565-6.OCLC 8588370  .
• Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4.OCLC 8210342  .
• Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Espacios vectoriales topológicos I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 159. Traducido por Garling, DJH Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. Sr.  0248498. OCLC  840293704.
• Köthe, Gottfried (1979). Espacios vectoriales topológicos II . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 237. Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9.OCLC 180577972  .
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Pietsch, Albrecht (1979). Espacios nucleares localmente convexos . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. vol. 66 (Segunda ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-05644-9.OCLC 539541  .
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Espacios vectoriales topológicos . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 53. Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7.OCLC 589250  .
• Robertson, AP; WJ Robertson (1964). Espacios vectoriales topológicos . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 53. Cambridge University Press . pág. 4.
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 8 (segunda edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5.OCLC 21163277  .
• Thompson, Anthony C. (1996). Geometría de Minkowski . Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones. Cambridge University Press . ISBN 0-521-40472-X.
• Schaefer, Helmut H. (1971). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 3. Nueva York: Springer-Verlag. p. 11. ISBN. 0-387-98726-6.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4.OCLC 175294365  .
• Schaefer, HH (1999). Espacios vectoriales topológicos . Nueva York, NY: Springer New York. Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Swartz, Charles (1992). Introducción al análisis funcional . Nueva York: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4.OCLC 24909067  .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .
• Wilansky, Albert (2013). Métodos modernos en espacios vectoriales topológicos . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4.OCLC 849801114  .
• Wong, Yau-Chuen (1979). Espacios de Schwartz, espacios nucleares y productos tensoriales . Apuntes de clase de matemáticas . Vol. 726. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-09513-2.OCLC 5126158  .