Teorema de Nash-Moser

Generalización del teorema de la función inversa.

En el campo del análisis matemático , el teorema de Nash-Moser , descubierto por el matemático John Forbes Nash y llamado así por él y Jürgen Moser , es una generalización del teorema de la función inversa en espacios de Banach para configuraciones cuando el mapeo de solución requerido para el problema linealizado es no acotado.

Introducción

En contraste con el caso del espacio de Banach, en el que la invertibilidad de la derivada en un punto es suficiente para que un mapa sea localmente invertible, el teorema de Nash-Moser requiere que la derivada sea invertible en una vecindad. El teorema se utiliza ampliamente para demostrar la existencia local de ecuaciones diferenciales parciales no lineales en espacios de funciones suaves . Es particularmente útil cuando la inversa de la derivada "pierde" derivadas y, por lo tanto, no se puede utilizar el teorema de la función implícita del espacio de Banach.

Historia

El teorema de Nash-Moser se remonta a Nash (1956), quien demostró el teorema en el caso especial del problema de incrustación isométrica . De su artículo se desprende claramente que su método puede generalizarse. Moser (1966a, 1966b), por ejemplo, demostró que los métodos de Nash podían aplicarse con éxito para resolver problemas sobre órbitas periódicas en mecánica celeste en la teoría KAM . Sin embargo, ha resultado bastante difícil encontrar una formulación general adecuada; hasta la fecha no existe una versión que lo abarque todo; En las referencias siguientes se dan varias versiones debidas a Gromov , Hamilton , Hörmander , Saint-Raymond, Schwartz y Sergeraert. El de Hamilton, citado a continuación, se cita con especial frecuencia.

El problema de la pérdida de derivados.

Esto se introducirá en el contexto original del teorema de Nash-Moser, el del problema de incrustación isométrica. Sea un subconjunto abierto de . Considere el mapa ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle P:C^{1}(\Omega ;\mathbb {R} ^{N})\to C^{0}{\big (}\Omega ;{\text{Sym}}_{n\times n}(\mathbb {R} ){\big )}}$$

$${\displaystyle P(f)_{ij}=\sum _{\alpha =1}^{N}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial u^{i}}}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial u^{j}}}.}$$

fPfgPff _gPf _gg

Siguiendo la práctica estándar, uno esperaría aplicar el teorema de la función inversa del espacio de Banach. Así, por ejemplo, se podría esperar restringir P a C ⁵ (Ω;ℝ ^N ) y, para una inmersión f en este dominio, estudiar la linealización C ⁵ (Ω; R ^N ) → C ⁴ (Ω;Sym _{n × norte} ( R )) dado por

$${\displaystyle {\widetilde {f}}\mapsto \sum _{\alpha =1}^{N}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial u^{i}}}{\frac {\partial {\widetilde {f}}^{\beta }}{\partial u^{j}}}+\sum _{\alpha =1}^{N}{\frac {\partial {\widetilde {f}}^{\alpha }}{\partial u^{i}}}{\frac {\partial f^{\beta }}{\partial u^{j}}}.}$$

Sin embargo, hay una razón profunda por la que tal formulación no puede funcionar. La cuestión es que existe un operador diferencial de segundo orden de P ( f ) que coincide con un operador diferencial de segundo orden aplicado a f . Para ser precisos: si f es una inmersión entonces

$${\displaystyle R^{P(f)}=|H(f)|^{2}-|h(f)|_{P(f)}^{2},}$$

R ^{P ( f )}PfHffhfPf^C 4 ^,RP ^{( f )}C ²f^sólo C4C ⁵H²h²C ³QQPPQ.

En contexto, el resultado es que lo inverso a la linealización de P , incluso si existe como un mapa C ^∞ (Ω;Sym _{n × n} ( R )) → C ^∞ (Ω; R ^N ) , no puede estar acotado entre Los espacios de Banach y, por tanto, el teorema de la función implícita del espacio de Banach no se pueden aplicar.

Exactamente por el mismo razonamiento, no se puede aplicar directamente el teorema de la función implícita del espacio de Banach incluso si se utilizan los espacios de Hölder, los espacios de Sobolev o cualquiera de los espacios C ^k . En cualquiera de estos escenarios, una inversa de la linealización de P no podrá estar acotada.

Éste es el problema de la pérdida de derivados . Una expectativa muy ingenua es que, en general, si P es un operador diferencial de orden k , entonces si P ( f ) está en C ^m entonces f debe estar en C ^{m + k} . Sin embargo, esto es algo raro. En el caso de operadores diferenciales uniformemente elípticos, las famosas estimaciones de Schauder muestran que esta ingenua expectativa se confirma, con la salvedad de que se deben reemplazar los espacios C ^k con los espacios de Hölder C ^{k ,α} ; esto no causa ninguna dificultad adicional para la aplicación del teorema de la función implícita del espacio de Banach. Sin embargo, el análisis anterior muestra que esta ingenua expectativa no se confirma en el caso del mapa que envía una inmersión a su métrica riemanniana inducida; dado que este mapa es de orden 1, no se obtiene la derivada "esperada" al invertir el operador. El mismo fallo es común en problemas geométricos, donde la acción del grupo de difeomorfismo es la causa fundamental, y en problemas de ecuaciones diferenciales hiperbólicas, donde incluso en los problemas más simples no se tiene la suavidad ingenuamente esperada de una solución. Todas estas dificultades proporcionan contextos comunes para las aplicaciones del teorema de Nash-Moser.

La forma esquemática de la solución de Nash.

Esta sección sólo pretende describir una idea y, como tal, es intencionalmente imprecisa. Para ser más concretos, supongamos que P es un operador diferencial de orden uno en algunos espacios funcionales, de modo que define un mapa P : C ^{k +1} → C ^k para cada k . Supongamos que, en alguna función C ^{k +1} f , la linealización DP _f : C ^{k +1} → C ^k tiene una inversa derecha S : C ^k → C ^k ; en el lenguaje anterior esto refleja una "pérdida de un derivado". Se puede ver concretamente el fracaso al intentar utilizar el método de Newton para demostrar el teorema de la función implícita del espacio de Banach en este contexto: si g _∞ está cerca de P ( f ) en C ^k y se define la iteración

$${\displaystyle f_{n+1}=f_{n}+S{\big (}g_{\infty }-P(f_{n}){\big )},}$$

f ₁C ^{k +1}g _∞Pf _nC ^kf ₂C ^kf ₃C ^{k -1}f ₄C ^{k -2}

La solución de Nash es bastante sorprendente por su simplicidad. Supongamos que para cada n >0 se tiene un operador de suavizado θ _n que toma una función C ^k , devuelve una función suave y se aproxima a la identidad cuando n es grande. Luego la iteración de Newton "suavizada"

$${\displaystyle f_{n+1}=f_{n}+S{\big (}\theta _{n}(g_{\infty }-P(f_{n})){\big )}}$$

f _∞P ( f _∞ ) = g _∞Mikhael Gromov

Hay que ser un novato en análisis o un genio como Nash para creer que algo así pueda ser cierto. [...] [Esto] puede parecerle tan realista como una ejecución exitosa de perpetuum mobile con una implementación mecánica del demonio de Maxwell... a menos que comience a seguir el cálculo de Nash y se dé cuenta, para su inmensa sorpresa, de que el suavizado funciona.

Observación. La verdadera "iteración de Newton suavizada" es un poco más complicada que la forma anterior, aunque existen algunas formas no equivalentes, dependiendo de dónde se elija insertar los operadores de suavizado. La diferencia principal es que se requiere la invertibilidad de DP _f para toda una vecindad abierta de opciones de f , y luego se usa la iteración "verdadera" de Newton, correspondiente a (usando notación de variable única)

$${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}}$$

$${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{0})}},}$$

método de Euler

La formulación del teorema de Hamilton.

La siguiente afirmación aparece en Hamilton (1982):

Sean F y G espacios de Fréchet mansos, un subconjunto abierto y un mapa manso y suave. Supongamos que para cada uno la linealización es invertible y la familia de inversas, como un mapa, es suave y mansa. Entonces P es localmente invertible y cada inverso local es un mapa suave y dócil. ${\displaystyle U\subseteq F}$ ${\displaystyle P:U\rightarrow G}$ ${\displaystyle f\in U}$ ${\displaystyle dP_{f}:F\to G}$ ${\displaystyle U\times G\to F,}$ ${\displaystyle P^{-1}}$

De manera similar, si cada linealización es solo inyectiva y una familia de inversas izquierdas es suave y dócil, entonces P es localmente inyectiva. Y si cada linealización es sólo sobreyectiva, y una familia de inversos rectos es suave y dócil, entonces P es localmente sobreyectiva con un inverso recto suave y dócil.

Domar espacios de Fréchet

AEl espacio graduado de Fréchet consta de los siguientes datos:

• un espacio vectorial ${\displaystyle F}$
• una colección contable de seminormas tales que ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{n}:F\to \mathbb {R} }$
  $${\displaystyle \|f\|_{0}\leq \|f\|_{1}\leq \|f\|_{2}\leq \cdots }$$
  para todos se requiere que estos cumplan las siguientes condiciones: ${\displaystyle f\in F.}$
  • si es tal que para todos entonces ${\displaystyle f\in F}$ ${\displaystyle \|f\|_{n}=0}$ ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$ ${\displaystyle f=0}$
  • si es una secuencia tal que, para todos y cada uno existe tal que implica entonces existe tal que, para cada uno tiene ${\displaystyle f_{j}\in F}$ ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N_{n,\varepsilon }}$ ${\displaystyle j,k>N_{n,\varepsilon }}$ ${\displaystyle \|f_{j}-f_{k}\|_{n}<\varepsilon ,}$ ${\displaystyle f\in F}$ ${\displaystyle n,}$
    $${\displaystyle \lim _{j\to \infty }\|f_{j}-f\|_{n}=0.}$$

Un espacio de Fréchet graduado se llamadomesticar el espacio de Fréchet si cumple la siguiente condición:

• existe un espacio de Banach y mapas lineales y tal que es el mapa de identidad y tal que: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle L:F\to \Sigma (B)}$ ${\displaystyle M:\Sigma (B)\to F}$ ${\displaystyle M\circ L:F\to F}$
  • existe y tal que para cada uno hay un número tal que ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n>b}$ ${\displaystyle C_{n}}$
    $${\displaystyle \sup _{k\in \mathbb {N} }e^{nk}\|L(f)_{k}\|_{B}\leq C_{n}\|f\|_{r+n}}$$
    para todos y ${\displaystyle f\in F,}$
    $${\displaystyle \|M(\{x_{i}\})\|_{n}\leq C_{n}\sup _{k\in \mathbb {N} }e^{(r+n)k}\|x_{k}\|_{B}}$$
    para cada ${\displaystyle \left\{x_{i}\right\}\in \Sigma (B).}$

Aquí denota el espacio vectorial de secuencias exponencialmente decrecientes, es decir, ${\displaystyle \Sigma (B)}$ ${\displaystyle B,}$

$${\displaystyle \Sigma (B)={\Big \{}{\text{maps }}x:\mathbb {N} \to B{\text{ s.t. }}\sup _{k\in \mathbb {N} }e^{nk}\|x_{k}\|_{B}<\infty {\text{ for all }}n\in \mathbb {N} {\Big \}}.}$$

• Si es una variedad compacta y suave (con o sin límite), entonces es un espacio de Fréchet suavemente graduado, cuando se le da cualquiera de las siguientes estructuras graduadas: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$
  • tomar como la norma de ${\displaystyle \|f\|_{n}}$ ${\displaystyle C^{n}}$ ${\displaystyle f}$
  • tomar como la norma de para fijo ${\displaystyle \|f\|_{n}}$ ${\displaystyle C^{n,\alpha }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \alpha }$
  • tomar como la norma de para fijo ${\displaystyle \|f\|_{n}}$ ${\displaystyle W^{n,p}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$
• Si es una variedad compacta y suave con límite, entonces el espacio de funciones suaves cuyas derivadas desaparecen en el límite, es un espacio de Fréchet dócilmente graduado, con cualquiera de las estructuras graduadas anteriores. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C_{0}^{\infty }(M),}$
• Si es una variedad compacta y suave y es un paquete de vectores suave, entonces el espacio de secciones suaves es manso, con cualquiera de las estructuras graduadas anteriores. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V\to M}$

Para reconocer la estructura mansa de estos ejemplos, uno se incrusta topológicamente en un espacio euclidiano, se toma como el espacio de funciones en este espacio euclidiano, y el mapa se define mediante la restricción diádica de la transformada de Fourier. Los detalles se encuentran en las páginas 133-140 de Hamilton (1982). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L}$

Presentado directamente como arriba, el significado y la naturalidad de la condición de "manso" son bastante oscuros. La situación se aclara si se reconsideran los ejemplos básicos dados anteriormente, en los que las secuencias "exponencialmente decrecientes" relevantes en espacios de Banach surgen de la restricción de una transformada de Fourier. Recuerde que la suavidad de una función en el espacio euclidiano está directamente relacionada con la tasa de desintegración de su transformada de Fourier. La "mansedumbre" se ve así como una condición que permite una abstracción de la idea de un "operador suavizador" en un espacio funcional. Dado un espacio de Banach y el espacio correspondiente de secuencias exponencialmente decrecientes en el análogo preciso de un operador de suavizado se puede definir de la siguiente manera. Sea una función suave que desaparece en es idénticamente igual a uno en y toma valores solo en el intervalo. Luego, para cada número real, defina por ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \Sigma (B)}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle s:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (-\infty ,0),}$ ${\displaystyle (1,\infty ),}$ ${\displaystyle [0,1].}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \theta _{t}:\Sigma (B)\to \Sigma (B)}$

$${\displaystyle \left(\theta _{t}x\right)_{i}=s(t-i)x_{i}.}$$

Mapas suaves y mansos

Sean F y G espacios de Fréchet graduados. Sea U un subconjunto abierto de F , lo que significa que para cada uno hay y eso implica que también está contenido en U . ${\displaystyle f\in U}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \|f-f_{1}\|<\varepsilon }$ ${\displaystyle f_{1}}$

Un mapa suave se llama ${\displaystyle P:U\to G}$domesticar el mapa suave si para todosla derivadasatisface lo siguiente: ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle D^{k}P:U\times F\times \cdots \times F\to G}$

existen y tal que implica ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n>b}$

$${\displaystyle {\big \|}D^{k}P\left(f,h_{1},\ldots ,h_{k}\right){\big \|}_{n}\leq C_{n}{\Big (}\|f\|_{n+r}+\|h_{1}\|_{n+r}+\cdots +\|h_{k}\|_{n+r}+1{\Big )}}$$

para todos . ${\displaystyle \left(f,h_{1},\dots ,h_{k}\right)\in U\times F\times \cdots \times F}$

El ejemplo fundamental dice que, en una variedad compacta y suave, un operador diferencial parcial no lineal (posiblemente entre secciones de haces de vectores sobre la variedad) es un mapa suave y dócil; en este caso, r puede considerarse el orden del operador.

Prueba del teorema

Sea S la familia de aplicaciones inversas. Considere el caso especial de que F y G sean espacios de secuencias exponencialmente decrecientes en espacios de Banach, es decir, F =Σ( B ) y G =Σ( C ). (No es demasiado difícil ver que esto es suficiente para probar el caso general). Para un número positivo c , considere la ecuación diferencial ordinaria en Σ( B ) dada por ${\displaystyle U\times G\to F.}$

$${\displaystyle f'=cS{\Big (}\theta _{t}(f),\theta _{t}{\big (}g_{\infty }-P(f){\big )}{\Big )}.}$$

C[0,∞) → Σ( B )ftt ${\displaystyle P(0)=0}$ ${\displaystyle g_{\infty }}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle P(f)=g_{\infty }.}$

Referencias

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• Hamilton, Richard S. (1982), "El teorema de la función inversa de Nash y Moser" (PDF-12MB) , Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense , Nueva Serie, 7 (1): 65–222, doi : 10.1090/S0273- 0979-1982-15004-2 , SEÑOR  0656198
• Hörmander, Lars (1976), "Los problemas de límites de la geodesia física", Arch. Mecánico racional. Anal. , 62 (1): 1–52, doi :10.1007/BF00251855, SEÑOR  0602181, S2CID  117923577
  • Hörmander, L. (1977), "Corrección a: "Los problemas de límites de la geodesia física"", Arch. Rational Mech. Anal. , 65 (44): 395, doi : 10.1007/BF00250435 , MR  0602188
• Moser, Jürgen (1966a), "Un método de iteración rápidamente convergente y ecuaciones diferenciales parciales no lineales. I", Ann. Norma de la escuela. Sorber. Pisa (3) , 20 : 265–315, SEÑOR  0199523
• Moser, Jürgen (1966b), "Un método de iteración rápidamente convergente y ecuaciones diferenciales parciales no lineales. II", Ann. Norma de la escuela. Sorber. Pisa (3) , 20 : 499–535, SEÑOR  0206461
• Nash, John (1956), "El problema de incrustación de variedades de Riemann", Annals of Mathematics , 63 (1): 20–63, doi :10.2307/1969989, JSTOR  1969989, MR  0075639.
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