espacio ptak

Un espacio vectorial topológico localmente convexo (TVS) es B -completo o un espacio Ptak si cada subespacio está cerrado en la topología débil-* en (es decir, o ) siempre que esté cerrado (cuando se da la topología del subespacio de ) para cada subconjunto equicontinuo . ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Q\subseteq X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle Q\cap A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ ${\displaystyle A\subseteq X^{\prime }}$

B -completitud está relacionada con -completitud, donde un TVS localmente convexo es -completo si cada subespacio denso está cerrado cuando está cerrado (cuando se da la topología del subespacio de ) para cada subconjunto equicontinuo . ^[1] ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle Q\subseteq X^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ ${\displaystyle Q\cap A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ ${\displaystyle A\subseteq X^{\prime }}$

Caracterizaciones

A lo largo de esta sección, habrá un espacio vectorial topológico localmente convexo (TVS). ${\displaystyle X}$

Los siguientes son equivalentes:

1. ${\displaystyle X}$es un espacio de Ptak.
2. Cada aplicación lineal continua casi abierta en cualquier espacio localmente convexo es un homomorfismo topológico. ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

• Un mapa lineal se llama casi abierto si para cada vecindad del origen en , es denso en alguna vecindad del origen en ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle u(U)}$ ${\displaystyle u(X).}$

Los siguientes son equivalentes:

1. ${\displaystyle X}$Esta completo. ${\displaystyle B_{r}}$
2. Cada mapa lineal continuo biunívoco, casi abierto, en cualquier espacio localmente convexo es un isomorfismo TVS. ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Propiedades

Cada espacio de Ptak está completo . Sin embargo, existen espacios localmente convexos de Hausdorff completos que no son espacios de Ptak.

Teorema del homomorfismo  :  cada aplicación lineal continua desde un espacio de Ptak a un espacio de barril es un homomorfismo topológico. ^[3]

Sea un mapa lineal casi abierto cuyo dominio es denso en un espacio completo y cuyo rango es un espacio localmente convexo . Supongamos que la gráfica de está cerrada en . Si es inyectivo o si es un espacio de Ptak, entonces es un mapa abierto. ^[4] ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle u}$

Ejemplos y condiciones suficientes

Existen espacios B _{r -completos que no son B-completos.}

Todo espacio de Fréchet es un espacio de Ptak. El dual fuerte de un espacio reflexivo de Fréchet es un espacio de Ptak.

Cada subespacio vectorial cerrado de un espacio Ptak (resp. un espacio B _r -completo) es un espacio Ptak (resp. un espacio -completo). ^[1] y cada cociente de Hausdorff de un espacio de Ptak es un espacio de Ptak. ^[4] Si cada cociente de Hausdorff de un TVS es un espacio B _r -completo, entonces es un espacio B -completo. ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Si es un espacio localmente convexo tal que existe una sobreyección continua casi abierta desde un espacio de Ptak, entonces es un espacio de Ptak. ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle u:P\to X}$ ${\displaystyle X}$

Si un TVS tiene un hiperplano cerrado que es B-completo (resp. B _r -completo), entonces es B-completo (resp. B _r -completo). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Ver también

• Espacio en barril  : tipo de espacio vectorial topológicoPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento

Notas

Referencias

1. Schaefer y Wolff 1999, pág. 162.
2. Schaefer y Wolff 1999, pág. 163.
3. Schaefer y Wolff 1999, pág. 164.
4. Schaefer y Wolff 1999, pág. 165.

Bibliografía

• Husain, Taqdir; Khaleelulla, SM (1978). "Barrelness" en espacios vectoriales topológicos y ordenados . Apuntes de conferencias de matemáticas . vol. 692. Berlín, Nueva York, Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC  4493665.
• Khaleelulla, SM (1982). Contraejemplos en espacios vectoriales topológicos . Apuntes de conferencias de matemáticas . vol. 936. Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.

enlaces externos

• Espacio nuclear en ncatlab