tipo exponencial

Tipo de función compleja con crecimiento acotado por una función exponencial

La gráfica de la función en gris es , la gaussiana restringida al eje real. La gaussiana no tiene tipo exponencial, pero las funciones en rojo y azul son aproximaciones unilaterales que tienen tipo exponencial . ${\displaystyle e^{-\pi z^{2}}}$ ${\displaystyle 2\pi }$

En análisis complejo , una rama de las matemáticas , se dice que una función holomorfa es de tipo exponencial C si su crecimiento está acotado por la función exponencial para alguna constante de valor real como . Cuando una función está acotada de esta manera, es posible expresarla como ciertos tipos de sumas convergentes sobre una serie de otras funciones complejas, además de comprender cuándo es posible aplicar técnicas como la suma de Borel o, por ejemplo , para aplicar la transformada de Mellin o para realizar aproximaciones utilizando la fórmula de Euler-Maclaurin . El caso general se maneja mediante el teorema de Nachbin , que define la noción análoga de -tipo para una función general en contraposición a . ${\displaystyle e^{C|z|}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle |z|\to \infty }$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi (z)}$ ${\displaystyle e^{z}}$

Idea básica

Una función definida en el plano complejo se dice que es de tipo exponencial si existen constantes con valores reales y tales que ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \left|f\left(re^{i\theta }\right)\right|\leq Me^{\tau r}}$

en el límite de . Aquí, la variable compleja se escribió para enfatizar que el límite debe cumplirse en todas las direcciones . Dejando pasar el mínimo de todos ellos , se dice entonces que la función es de tipo exponencial . ${\displaystyle r\to \infty }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \tau }$

Por ejemplo, dejemos . Entonces se dice que es de tipo exponencial , ya que es el número más pequeño que acota el crecimiento a lo largo del eje imaginario. Entonces, para este ejemplo, el teorema de Carlson no se puede aplicar, ya que requiere funciones de tipo exponencial menores que . De manera similar, la fórmula de Euler-Maclaurin tampoco se puede aplicar, ya que también expresa un teorema anclado en última instancia en la teoría de las diferencias finitas . ${\displaystyle f(z)=\sin(\pi z)}$ ${\displaystyle \sin(\pi z)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \sin(\pi z)}$ ${\displaystyle \pi }$

Definicion formal

Se dice que una función holomorfa es de tipo exponencial si para cada existe una constante de valor real tal que ${\displaystyle F(z)}$ ${\displaystyle \sigma >0}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle A_{\varepsilon }}$

${\displaystyle |F(z)|\leq A_{\varepsilon }e^{(\sigma +\varepsilon )|z|}}$

para donde . Decimos que es de tipo exponencial si es de tipo exponencial para algunos . El número ${\displaystyle |z|\to \infty }$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle F(z)}$ ${\displaystyle F(z)}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma >0}$

${\displaystyle \tau (F)=\sigma =\displaystyle \limsup _{|z|\rightarrow \infty }|z|^{-1}\log |F(z)|}$

es el tipo exponencial de . El límite superior aquí significa el límite del supremo de la relación fuera de un radio dado cuando el radio tiende al infinito. Este es también el límite superior del máximo de la relación en un radio dado cuando el radio tiende al infinito. El límite superior puede existir incluso si el máximo en el radio no tiene límite hasta el infinito. Por ejemplo, para la función ${\displaystyle F(z)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle F(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{10^{n!}}}{(10^{n!})!}}}$

El valor de

${\displaystyle (\max _{|z|=r}\log |F(z)|)/r}$

at está dominado por el término por lo que tenemos las expresiones asintóticas: ${\displaystyle r=10^{n!-1}}$ ${\displaystyle n-1^{\text{st}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\max _{|z|=10^{n!-1}}\log |F(z)|\right)/10^{n!-1}&\sim \left(\log {\frac {(10^{n!-1})^{10^{(n-1)!}}}{(10^{(n-1)!})!}}\right)/10^{n!-1}\\&\sim (\log 10)\left[(n!-1)10^{(n-1)!}-10^{(n-1)!}(n-1)!\right]/10^{n!-1}\\&\sim (\log 10)(n!-1-(n-1)!)/10^{n!-1-(n-1)!}\\\end{aligned}}}$

y esto va a cero cuando va al infinito, ^[1] pero sin embargo es de tipo exponencial 1, como se puede ver mirando los puntos . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F(z)}$ ${\displaystyle z=10^{n!}}$

Tipo exponencial con respecto a un cuerpo convexo simétrico

Stein (1957) ha dado una generalización de tipo exponencial para funciones enteras de varias variables complejas . Supongamos que es un subconjunto convexo , compacto y simétrico de . Se sabe que para cada uno de ellos existe una norma asociada a la propiedad que ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{K}}$

${\displaystyle K=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|_{K}\leq 1\}.}$

En otras palabras, es la unidad de bola con respecto a . El conjunto ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{K}}$

${\displaystyle K^{*}=\{y\in \mathbb {R} ^{n}:x\cdot y\leq 1{\text{ for all }}x\in {K}\}}$

se llama conjunto polar y también es un subconjunto convexo , compacto y simétrico de . Además podemos escribir ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \|x\|_{K}=\displaystyle \sup _{y\in K^{*}}|x\cdot y|.}$

Nos extendemos de a por ${\displaystyle \|\cdot \|_{K}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle \|z\|_{K}=\displaystyle \sup _{y\in K^{*}}|z\cdot y|.}$

Se dice que una función completa de variables complejas es de tipo exponencial con respecto a si para cada existe una constante de valor real tal que ${\displaystyle F(z)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle A_{\varepsilon }}$

${\displaystyle |F(z)|<A_{\varepsilon }e^{2\pi (1+\varepsilon )\|z\|_{K}}}$

para todos . ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}$

espacio de frechet

Conjuntos de funciones de tipo exponencial pueden formar un espacio uniforme completo , concretamente un espacio de Fréchet , mediante la topología inducida por la familia contable de normas. ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \|f\|_{n}=\sup _{z\in \mathbb {C} }\exp \left[-\left(\tau +{\frac {1}{n}}\right)|z|\right]|f(z)|.}$

Ver también

• Teorema de Paley-Wiener
• Espacio Paley-Wiener

Referencias

1. De hecho, incluso llega a cero cuando llega al infinito. ${\displaystyle (\max _{|z|=r}\log \log |F(z)|)/(\log r)}$ ${\displaystyle r=10^{n!-1}}$ ${\displaystyle n}$

• Stein, EM (1957), "Funciones de tipo exponencial", Ann. de Matemáticas. , 2, 65 : 582–592, doi : 10.2307/1970066, JSTOR  1970066, SEÑOR  0085342