espacio brauner

En análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas, un espacio de Brauner es un espacio localmente convexo completo generado de forma compacta que tiene una secuencia de conjuntos compactos tales que todos los demás conjuntos compactos están contenidos en algunos . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{n}}$ ${\displaystyle T\subseteq X}$ ${\displaystyle K_{n}}$

Los espacios Brauner llevan el nombre de Kalman George Brauner, quien inició su estudio. ^[1] Todos los espacios de Brauner son estereotipos y están en relaciones de dualidad estereotipada con los espacios de Fréchet : ^{[2] [3]}

• para cualquier espacio de Fréchet su espacio dual estereotipado ^[4] es un espacio de Brauner, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\star }}$
• y viceversa, para cualquier espacio de Brauner su estereotipo de espacio dual es un espacio de Fréchet. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\star }}$

Casos especiales de espacios de Brauner son los espacios de Smith .

Ejemplos

• Sea un espacio topológico localmente compacto -compacto , y el espacio de Fréchet de todas las funciones continuas en (con valores en o ), dotado de la topología habitual de convergencia uniforme en conjuntos compactos en . El espacio dual de medidas de radón con soporte compacto y con topología de convergencia uniforme en conjuntos compactos es un espacio de Brauner. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle {\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\star }(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(M)}$
• Sea una variedad suave y el espacio de Fréchet de todas las funciones suaves en (con valores en o ), dotado de la topología habitual de convergencia uniforme con cada derivada en conjuntos compactos en . El espacio dual de distribuciones con soporte compacto con topología de convergencia uniforme en conjuntos acotados es un espacio de Brauner. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle {\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\star }(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(M)}$
• Sea una variedad de Stein y el espacio de Fréchet de todas las funciones holomorfas con la topología habitual de convergencia uniforme en conjuntos compactos en . El espacio dual de funcionales analíticos con la topología de convergencia uniforme en conjuntos acotados es un espacio de Brauner. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\star }(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)}$

En el caso especial cuando posee una estructura de un grupo topológico, los espacios , se convierten en ejemplos naturales de álgebras de grupos estereotipados . ${\displaystyle M=G}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\star }(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\star }(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\star }(G)}$

• Sea una variedad algebraica afín compleja . El espacio de polinomios (o funciones regulares) en , al estar dotado de la topología localmente convexa más fuerte, se convierte en un espacio de Brauner. Su estereotipo de espacio dual (de corrientes sobre ) es un espacio de Fréchet . En el caso especial en el que es un grupo algebraico afín , se convierte en un ejemplo de álgebra de grupos estereotipados. ${\displaystyle M\subseteq {\mathbb {C} }^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(M)={\mathbb {C} }[x_{1},...,x_{n}]/\{f\in {\mathbb {C} }[x_{1},...,x_{n}]:\ f{\big |}_{M}=0\}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}^{\star }(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M=G}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}^{\star }(G)}$
• Sea un grupo Stein generado de forma compacta. ^[5] El espacio de todas las funciones holomorfas de tipo exponencial es un espacio de Brauner con respecto a una topología natural. ^[6] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\exp }(G)}$ ${\displaystyle G}$

Ver también

• Espacio estereotipado
• espacio de smith

Notas

1. Brauner 1973.
2. Akbarov 2003, pág. 220.
3. Akbarov 2009, pág. 466.
4. El estereotipo de espacio dual a un espacio localmente convexo es el espacio de todos los funcionales lineales continuos dotados de la topología de convergencia uniforme en conjuntos totalmente acotados en . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\star }}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X}$
5. Es decir, una variedad de Stein que es al mismo tiempo un grupo topológico .
6. Akbarov 2009, pág. 525.

Referencias

• Brauner, K. (1973). "Duales de espacios de Fréchet y generalización del teorema de Banach-Dieudonné". Revista de Matemáticas de Duke . 40 (4): 845–855. doi :10.1215/S0012-7094-73-04078-7.
• Akbarov, SS (2003). "Dualidad de Pontryagin en la teoría de espacios vectoriales topológicos y en álgebra topológica". Revista de Ciencias Matemáticas . 113 (2): 179–349. doi : 10.1023/A:1020929201133 . S2CID  115297067.
• Akbarov, SS (2009). "Funciones holomorfas de tipo exponencial y dualidad para grupos de Stein con componente de identidad algebraico conectado". Revista de Ciencias Matemáticas . 162 (4): 459–586. arXiv : 0806.3205 . doi :10.1007/s10958-009-9646-1. S2CID  115153766.