Suavidad

Número de derivadas de una función (matemáticas)

Una función de golpe es una función suave con soporte compacto .

En análisis matemático , la suavidad de una función es una propiedad medida por el número, llamado clase de diferenciabilidad , de derivadas continuas que tiene sobre su dominio . ^[1]

Una función de clase es una función de suavidad al menos k ; es decir, una función de clase es una función que tiene una k -ésima derivada que es continua en su dominio. ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle C^{k}}$

Una función de clase o -función (pronunciada C-infinity function ) es una función infinitamente diferenciable , es decir, una función que tiene derivadas de todos los órdenes (esto implica que todas estas derivadas son continuas). ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$

Generalmente, el término función suave se refiere a una función. Sin embargo, también puede significar "suficientemente diferenciable" para el problema considerado. ${\displaystyle C^{\infty }}$

Clases de diferenciabilidad

La clase de diferenciabilidad es una clasificación de funciones según las propiedades de sus derivadas . Es una medida del orden más alto de derivada que existe y es continua para una función.

Considere un conjunto abierto sobre la recta real y una función definida con valores reales. Sea k un número entero no negativo . Se dice que la función es de clase de diferenciabilidad si las derivadas existen y son continuas . Si es diferenciable, entonces está al menos en la clase ya que son continuas. Se dice que la función es infinitamente diferenciable , suave o de clase si tiene derivadas de todos los órdenes en (Entonces todas estas derivadas son funciones continuas sobre ) ^[2] Se dice que la función es de clase o analítica , si es suave (es decir, está en la clase ) y su expansión en serie de Taylor alrededor de cualquier punto en su dominio converge a la función en alguna vecindad del punto. Existen funciones que son fluidas pero no analíticas; por lo tanto, está estrictamente contenido en Las funciones Bump son ejemplos de funciones con esta propiedad. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle f',f'',\dots ,f^{(k)}}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle C^{k-1}}$ ${\displaystyle f',f'',\dots ,f^{(k-1)}}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{\infty },}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{\omega },}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle C^{\omega }}$ ${\displaystyle C^{\infty }.}$

Para decirlo de otra manera, la clase consta de todas las funciones continuas. La clase consta de todas las funciones diferenciables cuya derivada es continua; tales funciones se llaman continuamente diferenciables . Por lo tanto, una función es exactamente una función cuya derivada existe y es de clase. En general, las clases se pueden definir recursivamente declarando que son el conjunto de todas las funciones continuas y declarando que cualquier entero positivo es el conjunto de todas las funciones diferenciables cuya La derivada está en En particular, está contenida en para cada y hay ejemplos que muestran que esta contención es estricta ( ). La clase de funciones infinitamente diferenciables es la intersección de las clases que varían sobre los números enteros no negativos. ${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle C^{0}.}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C^{k-1}.}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle C^{k-1}}$ ${\displaystyle k>0,}$ ${\displaystyle C^{k}\subsetneq C^{k-1}}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k}$

Ejemplos

Ejemplo: continuo ( C ⁰ ) pero no diferenciable

La función C ⁰ f ( x ) = x para x ≥ 0 y 0 en caso contrario.

La función g ( x ) = x ² sin(1/ x ) para x > 0 .

La función con for y es diferenciable. Sin embargo, esta función no es continuamente diferenciable. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)}$ ${\displaystyle x\neq 0}$ ${\displaystyle f(0)=0}$

Una función fluida que no es analítica.

La función

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x&{\mbox{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0\end{cases}}}$$

x = 0C ⁰C ¹

Ejemplo: diferenciable en tiempos finitos ( C ^k )

Para cada entero par k , la función

$${\displaystyle f(x)=|x|^{k+1}}$$

kxx = 0( k + 1)C ^kC ^jj > k ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Ejemplo: diferenciable pero no continuamente diferenciable (no C ¹ )

La función

$${\displaystyle g(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {\left({\tfrac {1}{x}}\right)}&{\text{if }}x\neq 0,\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$$

$${\displaystyle g'(x)={\begin{cases}-{\mathord {\cos \left({\tfrac {1}{x}}\right)}}+2x\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)&{\text{if }}x\neq 0,\\0&{\text{if }}x=0.\end{cases}}}$$

Debido a que oscila cuando x → 0, no es continua en cero. Por tanto, es diferenciable pero no de clase C ¹ . ${\displaystyle \cos(1/x)}$ ${\displaystyle g'(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$

Ejemplo: diferenciable pero no continuo de Lipschitz

La función

$${\displaystyle h(x)={\begin{cases}x^{4/3}\sin {\left({\tfrac {1}{x}}\right)}&{\text{if }}x\neq 0,\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$$

conjunto compactocontinua de Lipschitz ${\displaystyle h}$

Ejemplo: Analítico ( C ^ω )

La función exponencial es analítica y, por tanto, pertenece a la clase C ^ω . Las funciones trigonométricas también son analíticas dondequiera que se definan, porque son combinaciones lineales de funciones exponenciales complejas y . ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle e^{ix}}$ ${\displaystyle e^{-ix}}$

Ejemplo: Suave ( C ^∞ ) pero no Analítico ( C ^ω )

La función de golpe

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{1-x^{2}}}}&{\text{ if }}|x|<1,\\0&{\text{ otherwise }}\end{cases}}}$$

C ^∞x = ±1C ^ωfsoporte compacto

Clases de diferenciabilidad multivariante

Se dice que una función definida en un conjunto abierto de ^[3] es de clase on , para un entero positivo , si todas las derivadas parciales ${\displaystyle f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{\alpha }f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\,\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\,\cdots \,\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}$$

derivada de Fréchetcontinuamente diferenciables ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}$ ${\displaystyle \alpha =\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}\leq k}$ ${\displaystyle (y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})\in U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C^{1}}$

Una función definida en un conjunto abierto de , se dice que es de clase en , para un entero positivo , si todos sus componentes ${\displaystyle f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle f_{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=(\pi _{i}\circ f)(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\pi _{i}(f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})){\text{ for }}i=1,2,3,\ldots ,m}$$

proyecciones ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle \pi _{i}}$ ${\displaystyle \pi _{i}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \pi _{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=x_{i}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle U}$

El espacio de funciones C k.

Sea un subconjunto abierto de la recta real. El conjunto de todas las funciones con valores reales definidas en es un espacio vectorial de Fréchet , con la familia contable de seminormas ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle D}$

$${\displaystyle p_{K,m}=\sup _{x\in K}\left|f^{(m)}(x)\right|}$$

conjuntos compactosunión ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle m=0,1,\dots ,k}$

El conjunto de funciones encima también forma un espacio de Fréchet. Se utilizan las mismas seminormas que las anteriores, excepto que se permite abarcar todos los valores enteros no negativos. ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle m}$

Los espacios anteriores ocurren naturalmente en aplicaciones donde son necesarias funciones que tienen derivadas de ciertos órdenes; sin embargo, particularmente en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales , a veces puede resultar más fructífero trabajar con los espacios de Sobolev .

Continuidad

Los términos continuidad paramétrica ( C ^k ) y continuidad geométrica ( G ⁿ ) fueron introducidos por Brian Barsky , para mostrar que la suavidad de una curva se podía medir eliminando las restricciones en la velocidad con la que el parámetro traza la curva. ^{[4] [5] [6]}

Continuidad paramétrica

La continuidad paramétrica ( C ^k ) es un concepto aplicado a las curvas paramétricas , que describe la suavidad del valor del parámetro con la distancia a lo largo de la curva. Se dice que una curva (paramétrica) es de clase C ^k , si existe y es continua en , donde las derivadas en los puntos finales y se consideran derivadas unilaterales (desde la derecha en y desde la izquierda en ). ${\displaystyle s:[0,1]\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {d^{k}s}{dt^{k}}}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$

Como aplicación práctica de este concepto, una curva que describe el movimiento de un objeto con un parámetro de tiempo debe tener continuidad C ¹ y su primera derivada es diferenciable, para que el objeto tenga una aceleración finita. Para un movimiento más suave, como el de la trayectoria de una cámara mientras se hace una película, se requieren órdenes más altos de continuidad paramétrica.

Orden de continuidad paramétrica

Dos segmentos de curva de Bézier adjuntos que son solo C ⁰ continuos

Dos segmentos de curva de Bézier unidos de tal manera que sean C ¹ continuos

Los distintos órdenes de continuidad paramétrica se pueden describir de la siguiente manera: ^[7]

• ${\displaystyle C^{0}}$: la derivada cero es continua (las curvas son continuas)
• ${\displaystyle C^{1}}$: la derivada cero y la primera son continuas
• ${\displaystyle C^{2}}$: las derivadas cero, primera y segunda son continuas
• ${\displaystyle C^{n}}$: Las derivadas 0-ésima a -ésima son continuas ${\displaystyle n}$

Continuidad geométrica

Curvas con contacto G ¹ (círculos,líneas)

${\displaystyle (1-\varepsilon ^{2})x^{2}-2px+y^{2}=0,\ p>0\ ,\varepsilon \geq 0}$
lápiz de secciones cónicas con G ² -contacto: p fijo, variable ( : círculo, : elipse, : parábola, : hipérbola) ${\displaystyle \varepsilon }$
${\displaystyle \varepsilon =0}$ ${\displaystyle \varepsilon =0.8}$ ${\displaystyle \varepsilon =1}$ ${\displaystyle \varepsilon =1.2}$

Se puede describir que una curva o superficie tiene continuidad, siendo la medida creciente de suavidad. Considere los segmentos a ambos lados de un punto en una curva: ${\displaystyle G^{n}}$ ${\displaystyle n}$

• ${\displaystyle G^{0}}$: Las curvas se tocan en el punto de unión.
• ${\displaystyle G^{1}}$: Las curvas también comparten una dirección tangente común en el punto de unión.
• ${\displaystyle G^{2}}$: Las curvas también comparten un centro de curvatura común en el punto de unión.

En general, existe continuidad si las curvas se pueden reparametrizar para que tengan continuidad (paramétrica). ^{[8] [9]} Una reparametrización de la curva es geométricamente idéntica a la original; sólo el parámetro se ve afectado. ${\displaystyle G^{n}}$ ${\displaystyle C^{n}}$

De manera equivalente, dos funciones vectoriales y similares que tienen continuidad en el punto donde se encuentran si satisfacen ecuaciones conocidas como restricciones Beta. Por ejemplo, las restricciones Beta para la continuidad son: ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle g(t)}$ ${\displaystyle f(1)=g(0)}$ ${\displaystyle G^{n}}$ ${\displaystyle G^{4}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}g^{(1)}(0)&=\beta _{1}f^{(1)}(1)\\g^{(2)}(0)&=\beta _{1}^{2}f^{(2)}(1)+\beta _{2}f^{(1)}(1)\\g^{(3)}(0)&=\beta _{1}^{3}f^{(3)}(1)+3\beta _{1}\beta _{2}f^{(2)}(1)+\beta _{3}f^{(1)}(1)\\g^{(4)}(0)&=\beta _{1}^{4}f^{(4)}(1)+6\beta _{1}^{2}\beta _{2}f^{(3)}(1)+(4\beta _{1}\beta _{3}+3\beta _{2}^{2})f^{(2)}(1)+\beta _{4}f^{(1)}(1)\\\end{aligned}}}$

donde , y son arbitrarios, pero están obligados a ser positivos. ^{[8] : 65} En el caso , esto se reduce a y , para un escalar (es decir, la dirección, pero no necesariamente la magnitud, de los dos vectores es igual). ${\displaystyle \beta _{2}}$ ${\displaystyle \beta _{3}}$ ${\displaystyle \beta _{4}}$ ${\displaystyle \beta _{1}}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle f'(1)\neq 0}$ ${\displaystyle f'(1)=kg'(0)}$ ${\displaystyle k>0}$

Si bien puede ser obvio que una curva requeriría continuidad para parecer suave, para una buena estética , como la que se aspira en la arquitectura y el diseño de automóviles deportivos , se requieren niveles más altos de continuidad geométrica. Por ejemplo, los reflejos en la carrocería de un automóvil no aparecerán uniformes a menos que la carrocería tenga continuidad. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle G^{1}}$ ${\displaystyle G^{2}}$

Un rectángulo redondeado (con arcos circulares de noventa grados en las cuatro esquinas) tiene continuidad, pero no tiene continuidad. Lo mismo ocurre con un cubo redondeado , con octantes de esfera en sus esquinas y cuartos de cilindro en sus aristas. Si se requiere una curva editable con continuidad, normalmente se eligen splines cúbicas ; Estas curvas se utilizan con frecuencia en el diseño industrial . ${\displaystyle G^{1}}$ ${\displaystyle G^{2}}$ ${\displaystyle G^{2}}$

Otros conceptos

Relación con la analiticidad

Si bien todas las funciones analíticas son "suaves" (es decir, tienen todas las derivadas continuas) en el conjunto en el que son analíticas, ejemplos como las funciones de relieve (mencionadas anteriormente) muestran que lo contrario no es cierto para las funciones en los reales: existen funciones reales suaves. funciones que no son analíticas. Se pueden crear ejemplos sencillos de funciones que son fluidas pero no analíticas en ningún punto mediante series de Fourier ; otro ejemplo es la función de Fabius . Aunque podría parecer que tales funciones son la excepción y no la regla, resulta que las funciones analíticas están muy dispersas entre las suaves; Más rigurosamente, las funciones analíticas forman un escaso subconjunto de las funciones suaves. Además, para cada subconjunto abierto A de la línea real, existen funciones suaves que son analíticas en A y en ningún otro lugar ^{[ cita necesaria ]} .

Es útil comparar la situación con la de la ubicuidad de los números trascendentales en la recta real. Tanto en la recta real como en el conjunto de funciones suaves, los ejemplos que se nos ocurren a primera vista (números algebraicos/racionales y funciones analíticas) se comportan mucho mejor que la mayoría de los casos: los números trascendentales y las funciones analíticas en ninguna parte tienen medida completa. (sus complementos son escasos).

La situación así descrita contrasta marcadamente con las funciones diferenciables complejas. Si una función compleja es diferenciable solo una vez en un conjunto abierto, es infinitamente diferenciable y analítica en ese conjunto ^{[ cita necesaria ]} .

Suaves particiones de unidad

Las funciones suaves con soporte cerrado dado se utilizan en la construcción de particiones suaves de unidad (ver partición de unidad y glosario de topología ); Estos son esenciales en el estudio de variedades suaves , por ejemplo, para mostrar que las métricas de Riemann se pueden definir globalmente a partir de su existencia local. Un caso simple es el de una función de tope sobre la recta real, es decir, una función suave f que toma el valor 0 fuera de un intervalo [ a , b ] y tal que

$${\displaystyle f(x)>0\quad {\text{ for }}\quad a<x<b.\,}$$

Dado un número de intervalos superpuestos en la línea, se pueden construir funciones de relieve en cada uno de ellos, y en intervalos semiinfinitos y para cubrir toda la línea, de modo que la suma de las funciones sea siempre 1. ${\displaystyle (-\infty ,c]}$ ${\displaystyle [d,+\infty )}$

Por lo que se acaba de decir, las particiones de la unidad no se aplican a funciones holomorfas ; su comportamiento diferente en relación con la existencia y la continuación analítica es una de las raíces de la teoría de la gavilla . Por el contrario, los haces de funciones suaves tienden a no contener mucha información topológica.

Funciones suaves en y entre colectores

Dada una variedad suave , de dimensión y un atlas , entonces un mapa es suave si para todos existe un gráfico tal que y es una función suave desde una vecindad de en a (todas las derivadas parciales hasta un orden dado son continuas). La suavidad se puede verificar con respecto a cualquier carta del atlas que contenga, ya que los requisitos de suavidad en las funciones de transición entre cartas aseguran que si es suave en un gráfico, lo será en cualquier otro gráfico. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle {\mathfrak {U}}=\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\}_{\alpha },}$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle (U,\phi )\in {\mathfrak {U}},}$ ${\displaystyle p\in U,}$ ${\displaystyle f\circ \phi ^{-1}:\phi (U)\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \phi (p)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Si es un mapa de a una variedad dimensional , entonces es suave si, para cada hay un gráfico que contiene y un gráfico que contiene tal que y es una función suave de ${\displaystyle F:M\to N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p\in M,}$ ${\displaystyle (U,\phi )}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle (V,\psi )}$ ${\displaystyle F(p)}$ ${\displaystyle F(U)\subset V,}$ ${\displaystyle \psi \circ F\circ \phi ^{-1}:\phi (U)\to \psi (V)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Los mapas suaves entre variedades inducen mapas lineales entre espacios tangentes : para , en cada punto, el empuje hacia adelante (o diferencial) asigna vectores tangentes en a vectores tangentes en : y en el nivel del paquete tangente , el empuje hacia adelante es un homomorfismo de paquete de vectores : el dual al avance está el retroceso , que "tira" de los covectores de regreso a los covectores y de las formas a las formas: de esta manera, las funciones fluidas entre variedades pueden transportar datos locales , como campos vectoriales y formas diferenciales , de una variedad a otra, o hasta el espacio euclidiano donde se entienden bien cálculos como la integración . ${\displaystyle F:M\to N}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle F(p)}$ ${\displaystyle F_{*,p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N,}$ ${\displaystyle F_{*}:TM\to TN.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F^{*}:\Omega ^{k}(N)\to \Omega ^{k}(M).}$

Las imágenes previas y los avances a lo largo de funciones suaves, en general, no son múltiples sin suposiciones adicionales. Las preimágenes de puntos regulares (es decir, si el diferencial no desaparece en la preimagen) son variedades; este es el teorema de la preimagen . De manera similar, los avances a lo largo de las incrustaciones son múltiples. ^[10]

Funciones suaves entre subconjuntos de variedades.

Existe una noción correspondiente de mapa suave para subconjuntos arbitrarios de variedades. If es una función cuyo dominio y rango son subconjuntos de variedades y respectivamente. se dice que es suave si para todos hay un conjunto abierto con una función suave tal que para todos ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X\subseteq M}$ ${\displaystyle Y\subseteq N}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle U\subseteq M}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle F:U\to N}$ ${\displaystyle F(p)=f(p)}$ ${\displaystyle p\in U\cap X.}$

Ver también

• Discontinuidad  – Análisis matemático de puntos discontinuosPages displaying short descriptions of redirect targets
• El lema de Hadamard
• Función suave no analítica  : funciones matemáticas que son suaves pero no analíticas
• Función cuasi analítica
• Singularidad (matemáticas)  : punto donde una función, una curva u otro objeto matemático no se comporta regularmente
• Sinuosidad  : relación entre la longitud del arco y la distancia en línea recta entre dos puntos en una función ondulatoria
• Esquema suave  – tipo de esquemaPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Número suave  : entero que tiene solo factores primos pequeños (teoría de números)
• Suavizado  : ajuste de una función de aproximación a los datos
• Spline  : función matemática definida por partes mediante polinomios
• mapeo de sobolev

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Función suave". mathworld.wolfram.com . Archivado desde el original el 16 de diciembre de 2019 . Consultado el 13 de diciembre de 2019 .
2. Warner, Frank W. (1983). Fundamentos de variedades diferenciables y grupos de mentiras. Saltador. pag. 5 [Definición 1.2]. ISBN 978-0-387-90894-6. Archivado desde el original el 1 de octubre de 2015 . Consultado el 28 de noviembre de 2014 .
3. Henri Cartan (1977). Curso de cálculo diferencial . París: Hermann.
4. Barsky, Brian A. (1981). El Beta-spline: una representación local basada en parámetros de forma y medidas geométricas fundamentales (Ph.D.). Universidad de Utah, Salt Lake City, Utah.
5. Brian A. Barsky (1988). Gráficos por computadora y modelado geométrico mediante Beta-splines . Springer-Verlag, Heidelberg. ISBN 978-3-642-72294-3.
6. Richard H. Bartels; John C. Beatty; Brian A. Barsky (1987). Introducción a los splines para su uso en gráficos por computadora y modelado geométrico . Morgan Kaufman. Capítulo 13. Continuidad paramétrica versus geométrica. ISBN 978-1-55860-400-1.
7. van de Panne, Michiel (1996). "Curvas paramétricas". Notas en línea de otoño de 1996 . Universidad de Toronto, Canadá. Archivado desde el original el 26 de noviembre de 2020 . Consultado el 1 de septiembre de 2019 .
8. Barsky, Brian A.; DeRose, Tony D. (1989). "Continuidad geométrica de curvas paramétricas: tres caracterizaciones equivalentes". Aplicaciones y gráficos por computadora IEEE . 9 (6): 60–68. doi : 10.1109/38.41470. S2CID  17893586.
9. Hartmann, Erich (2003). "Geometría y algoritmos para el diseño asistido por computadora" (PDF) . Universidad Técnica de Darmstadt . pag. 55. Archivado (PDF) desde el original el 23 de octubre de 2020 . Consultado el 31 de agosto de 2019 .
10. Guillemin, Víctor; Pollack, Alan (1974). Topología diferencial . Acantilados de Englewood: Prentice-Hall. ISBN 0-13-212605-2.