Función suave no analítica

Funciones matemáticas que son fluidas pero no analíticas.

En matemáticas , las funciones suaves (también llamadas funciones infinitamente diferenciables ) y las funciones analíticas son dos tipos de funciones muy importantes . Se puede demostrar fácilmente que cualquier función analítica de un argumento real es fluida. Lo contrario no es cierto, como lo demuestra el contraejemplo siguiente.

Una de las aplicaciones más importantes de funciones suaves con soporte compacto es la construcción de los llamados apaciguadores , que son importantes en teorías de funciones generalizadas , como la teoría de distribuciones de Laurent Schwartz .

La existencia de funciones suaves pero no analíticas representa una de las principales diferencias entre geometría diferencial y geometría analítica . En términos de la teoría de la gavilla , esta diferencia se puede expresar de la siguiente manera: la gavilla de funciones diferenciables en una variedad diferenciable está bien , en contraste con el caso analítico.

Las funciones siguientes se utilizan generalmente para construir particiones de unidad en variedades diferenciables.

Una función de ejemplo

Definición de la función

La función suave no analítica f ( x ) considerada en el artículo.

Considere la función

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{x}}}&{\text{if }}x>0,\\0&{\text{if }}x\leq 0,\end{cases}}}$

definido para cada número real x .

La función es suave

La función f tiene derivadas continuas de todos los órdenes en cada punto x de la recta real . La fórmula para estas derivadas es

${\displaystyle f^{(n)}(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {p_{n}(x)}{x^{2n}}}\,f(x)&{\text{if }}x>0,\\0&{\text{if }}x\leq 0,\end{cases}}}$

donde p _n ( x ) es un polinomio de grado n  − 1 dado recursivamente por p ₁ ( x ) = 1 y

${\displaystyle p_{n+1}(x)=x^{2}p_{n}'(x)-(2nx-1)p_{n}(x)}$

para cualquier entero positivo n . A partir de esta fórmula, no queda completamente claro que las derivadas sean continuas en 0; esto se sigue del límite unilateral

${\displaystyle \lim _{x\searrow 0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x}}}}{x^{m}}}=0}$

para cualquier entero no negativo m .

La función no es analítica.

Como se vio anteriormente, la función f es suave y todas sus derivadas en el origen son 0. Por lo tanto, la serie de Taylor de f en el origen converge en todas partes hacia la función cero .

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {0}{n!}}x^{n}=0,\qquad x\in \mathbb {R} ,}$

y entonces la serie de Taylor no es igual a f ( x ) para x  > 0. En consecuencia, f no es analítica en el origen.

Funciones de transición suave

La transición suave g de 0 a 1 se define aquí.

La función

${\displaystyle g(x)={\frac {f(x)}{f(x)+f(1-x)}},\qquad x\in \mathbb {R} ,}$

tiene un denominador estrictamente positivo en todas partes de la recta real, por lo que g también es suave. Además, g ( x ) = 0 para x  ≤ 0 y g ( x ) = 1 para x  ≥ 1, por lo que proporciona una transición suave del nivel 0 al nivel 1 en el intervalo unitario [0, 1]. Para tener una transición suave en el intervalo real [ a , b ] con a  <  b , considere la función

${\displaystyle \mathbb {R} \ni x\mapsto g{\Bigl (}{\frac {x-a}{b-a}}{\Bigr )}.}$

Para números reales a < b < c < d , la función suave

${\displaystyle \mathbb {R} \ni x\mapsto g{\Bigl (}{\frac {x-a}{b-a}}{\Bigr )}\,g{\Bigl (}{\frac {d-x}{d-c}}{\Bigr )}}$

es igual a 1 en el intervalo cerrado [ b , c ] y desaparece fuera del intervalo abierto ( a , d ), por lo que puede servir como función de relieve .

Una función fluida que no es realmente analítica en ninguna parte.

Aproximación de la función analítica suave en todas partes, pero en ninguna parte mencionada aquí. Esta suma parcial se toma de k=2 ⁰ a 2 ⁵⁰⁰ .

Un ejemplo más patológico es una función infinitamente diferenciable que no es analítica en ningún punto . Se puede construir mediante una serie de Fourier de la siguiente manera. Definir para todos ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle F(x):=\sum _{k\in \mathbb {N} }e^{-{\sqrt {2^{k}}}}\cos(2^{k}x)\ .}$

Dado que la serie converge para todos , se ve fácilmente que esta función es de clase C ^∞ , mediante una aplicación inductiva estándar de la prueba M de Weierstrass para demostrar la convergencia uniforme de cada serie de derivadas. ${\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {N} }e^{-{\sqrt {2^{k}}}}{(2^{k})}^{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

Ahora mostramos que no es analítico en ningún múltiplo racional diádico de π, es decir, en cualquier con y . Dado que la suma de los primeros términos es analítica, sólo necesitamos considerar , la suma de los términos con . Para todos los órdenes de derivación con , y tenemos ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle x:=\pi \cdot p\cdot 2^{-q}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle q\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle F_{>q}(x)}$ ${\displaystyle k>q}$ ${\displaystyle n=2^{m}}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle m\geq 2}$ ${\displaystyle m>q/2}$

${\displaystyle F_{>q}^{(n)}(x):=\sum _{k\in \mathbb {N} \atop k>q}e^{-{\sqrt {2^{k}}}}{(2^{k})}^{n}\cos(2^{k}x)=\sum _{k\in \mathbb {N} \atop k>q}e^{-{\sqrt {2^{k}}}}{(2^{k})}^{n}\geq e^{-n}n^{2n}\quad (\mathrm {as} \;n\to \infty )}$

donde usamos el hecho de que para todos y acotamos la primera suma desde abajo por el término con . Como consecuencia, en cualquier caso ${\displaystyle \cos(2^{k}x)=1}$ ${\displaystyle 2^{k}>2^{q}}$ ${\displaystyle 2^{k}=2^{2m}=n^{2}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left({\frac {|F_{>q}^{(n)}(x)|}{n!}}\right)^{1/n}=+\infty \,,}$

de modo que el radio de convergencia de la serie de Taylor de at es 0 según la fórmula de Cauchy-Hadamard . Dado que el conjunto de analiticidad de una función es un conjunto abierto, y dado que los racionales diádicos son densos , concluimos que , y por tanto , no es analítico en ninguna parte . ${\displaystyle F_{>q}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F_{>q}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Aplicación a la serie Taylor

Para cada secuencia α ₀ , α ₁ , α ₂ , . . . de números reales o complejos , la siguiente construcción muestra la existencia de una función suave F sobre la recta real que tiene estos números como derivadas en el origen. ^[1] En particular, cada secuencia de números puede aparecer como los coeficientes de la serie de Taylor de una función suave. Este resultado se conoce como lema de Borel , en honor a Émile Borel .

Con la función de transición suave g como arriba, defina

${\displaystyle h(x)=g(2+x)\,g(2-x),\qquad x\in \mathbb {R} .}$

Esta función h también es suave; es igual a 1 en el intervalo cerrado [−1,1] y desaparece fuera del intervalo abierto (−2,2). Usando h , defina para cada número natural n (incluido el cero) la función suave

${\displaystyle \psi _{n}(x)=x^{n}\,h(x),\qquad x\in \mathbb {R} ,}$

que concuerda con el monomio x ⁿ en [−1,1] y desaparece fuera del intervalo (−2,2). Por lo tanto, la k -ésima derivada de ψ _n en el origen satisface

${\displaystyle \psi _{n}^{(k)}(0)={\begin{cases}n!&{\text{if }}k=n,\\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\quad k,n\in \mathbb {N} _{0},}$

y el teorema de acotación implica que ψ _n y toda derivada de ψ _n está acotada. Por lo tanto, las constantes

${\displaystyle \lambda _{n}=\max {\bigl \{}1,|\alpha _{n}|,\|\psi _{n}\|_{\infty },\|\psi _{n}^{(1)}\|_{\infty },\ldots ,\|\psi _{n}^{(n)}\|_{\infty }{\bigr \}},\qquad n\in \mathbb {N} _{0},}$

que involucran la norma suprema de ψ _n y sus primeras n derivadas, son números reales bien definidos. Definir las funciones escaladas.

${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {\alpha _{n}}{n!\,\lambda _{n}^{n}}}\psi _{n}(\lambda _{n}x),\qquad n\in \mathbb {N} _{0},\;x\in \mathbb {R} .}$

Mediante la aplicación repetida de la regla de la cadena ,

${\displaystyle f_{n}^{(k)}(x)={\frac {\alpha _{n}}{n!\,\lambda _{n}^{n-k}}}\psi _{n}^{(k)}(\lambda _{n}x),\qquad k,n\in \mathbb {N} _{0},\;x\in \mathbb {R} ,}$

y, usando el resultado anterior para la k -ésima derivada de ψ _n en cero,

${\displaystyle f_{n}^{(k)}(0)={\begin{cases}\alpha _{n}&{\text{if }}k=n,\\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\qquad k,n\in \mathbb {N} _{0}.}$

Queda por demostrar que la función

${\displaystyle F(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x),\qquad x\in \mathbb {R} ,}$

está bien definido y se puede diferenciar término por término infinitas veces. ^[2] Para ello observe que por cada k

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\|f_{n}^{(k)}\|_{\infty }\leq \sum _{n=0}^{k+1}{\frac {|\alpha _{n}|}{n!\,\lambda _{n}^{n-k}}}\|\psi _{n}^{(k)}\|_{\infty }+\sum _{n=k+2}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\underbrace {\frac {1}{\lambda _{n}^{n-k-2}}} _{\leq \,1}\underbrace {\frac {|\alpha _{n}|}{\lambda _{n}}} _{\leq \,1}\underbrace {\frac {\|\psi _{n}^{(k)}\|_{\infty }}{\lambda _{n}}} _{\leq \,1}<\infty ,}$

donde la serie infinita restante converge mediante la prueba de razón .

Aplicación a dimensiones superiores

La función Ψ ₁ ( x ) en una dimensión.

Para cada radio r  > 0,

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\ni x\mapsto \Psi _{r}(x)=f(r^{2}-\|x\|^{2})}$

con norma euclidiana || x || define una función suave en el espacio euclidiano de n dimensiones con apoyo en la bola de radio r , pero . ${\displaystyle \Psi _{r}(0)>0}$

Análisis complejo

Esta patología no puede ocurrir con funciones diferenciables de una variable compleja en lugar de una variable real. De hecho, todas las funciones holomorfas son analíticas , de modo que el hecho de que la función f definida en este artículo no sea analítica a pesar de ser infinitamente diferenciable es una indicación de una de las diferencias más dramáticas entre el análisis de variables reales y el de variables complejas.

Tenga en cuenta que aunque la función f tiene derivadas de todos los órdenes sobre la recta real, la continuación analítica de f desde la semirrecta positiva x  > 0 hasta el plano complejo , es decir, la función

${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}\ni z\mapsto e^{-{\frac {1}{z}}}\in \mathbb {C} ,}$

tiene una singularidad esencial en el origen y, por tanto, ni siquiera es continua, y mucho menos analítica. Según el gran teorema de Picard , alcanza cada valor complejo (con excepción de cero) infinitas veces en cada vecindad del origen.

Ver también

• Función de golpe
• función de fabio
• función plana
• Calmante

Notas

1. Ejercicio 12 de la página 418 en Walter Rudin , Análisis real y complejo . McGraw-Hill, Nueva Delhi 1980, ISBN  0-07-099557-5
2. Véase, por ejemplo, el Capítulo V, Sección 2, Teorema 2.8 y Corolario 2.9 sobre la diferenciabilidad de los límites de secuencias de funciones en Amann, Herbert; Escher, Joachim (2005), Análisis I , Basilea: Birkhäuser Verlag , págs. 373–374, ISBN 3-7643-7153-6

enlaces externos

• "Función infinitamente diferenciable que no es analítica". PlanetMath .