Función Fabius

Función analítica en ninguna parte, infinitamente diferenciable

Gráfica de la función Fabius en el intervalo [0,1].

Extensión de la función a los números reales no negativos.

En matemáticas, la función Fabius es un ejemplo de una función infinitamente diferenciable que no es analítica en ningún sentido , descubierta por Jaap Fabius (1966). También se describió como la transformada de Fourier de

${\displaystyle {\hat {f}}(z)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(\cos {\frac {\pi z}{2^{m}}}\right)^{m}}$

de Børge Jessen y Aurel Wintner (1935).

La función Fabius se define en el intervalo unitario y está dada por la función de distribución acumulativa de

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{-n}\xi _{n},}$

donde ξ _n son variables aleatorias independientes distribuidas uniformemente en el intervalo unitario .

Esta función satisface la condición inicial , la condición de simetría para y la ecuación diferencial funcional para Se deduce que es monótona creciente para con y Hay una única extensión de f a los números reales que satisface la misma ecuación diferencial para todo x . Esta extensión puede definirse por f  ( x ) = 0 para x ≤ 0 , f  ( x + 1) = 1 − f  ( x ) para 0 ≤ x ≤ 1 , y f  ( x + 2 ^r ) = − f  ( x ) para 0 ≤ x ≤ 2 ^r con r un entero positivo. La secuencia de intervalos dentro de los cuales esta función es positiva o negativa sigue el mismo patrón que la secuencia de Thue-Morse . ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f(1-x)=1-f(x)}$ ${\displaystyle 0\leq x\leq 1,}$ ${\displaystyle f'(x)=2f(2x)}$ ${\displaystyle 0\leq x\leq 1/2.}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle 0\leq x\leq 1,}$ ${\displaystyle f(1/2)=1/2}$ ${\displaystyle f(1)=1.}$

Valores

La función Fabius es cero constante para todos los argumentos no positivos y asume valores racionales en argumentos racionales diádicos positivos.

Referencias

• Fabius, J. (1966), "Un ejemplo probabilístico de una función C  ^∞ analítica en ninguna parte ", Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete , 5 (2): 173–174, doi :10.1007/bf00536652, MR  0197656, S2CID  0
• Jessen, Børge; Wintner, Aurel (1935), "Funciones de distribución y la función zeta de Riemann", Trans. Amer. Math. Soc. , 38 : 48–88, doi : 10.1090/S0002-9947-1935-1501802-5 , MR  1501802
• Dimitrov, Youri (2006). Soluciones polinomialmente divididas de ecuaciones funcionales autodiferenciales bipartitas (Tesis).
• Arias de Reyna, Juan (2017). "Aritmética de la función Fabius". arXiv : 1702.06487 [math.NT].
• Arias de Reyna, Juan (2017). "Una función infinitamente diferenciable con soporte compacto: Definición y propiedades". arXiv : 1702.05442 [math.CA].(traducción al inglés del artículo del autor publicado en español en 1982)
• Alkauskas, Giedrius (2001), "Serie de Dirichlet asociada con la secuencia Thue-Morse", preimpresión.
• Rvachev, VL, Rvachev, VA, "Métodos no clásicos de la teoría de aproximación en problemas de valores en la frontera", Naukova Dumka, Kiev (1979) (en ruso).