Teorema de Cauchy-Hadamard

Un teorema que determina el radio de convergencia de una serie de potencias.

En matemáticas , el teorema de Cauchy-Hadamard es un resultado de análisis complejo que lleva el nombre de los matemáticos franceses Augustin Louis Cauchy y Jacques Hadamard y que describe el radio de convergencia de una serie de potencias . Fue publicado en 1821 por Cauchy, ^[1] pero permaneció relativamente desconocido hasta que Hadamard lo redescubrió. ^[2] La primera publicación de Hadamard de este resultado fue en 1888; ^[3] también lo incluyó como parte de su tesis doctoral de 1892. ^[4]

Teorema de una variable compleja

Consideremos la serie de potencias formales en una variable compleja z de la forma donde $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}}$$ ${\displaystyle a,c_{n}\in \mathbb {C} .}$

Entonces el radio de convergencia de f en el punto a está dado por donde lim sup denota el límite superior , el límite cuando n tiende al infinito del supremo de los valores de la secuencia después de la posición n . Si los valores de la secuencia no están acotados de modo que lim sup es ∞, entonces la serie de potencias no converge cerca de a , mientras que si lim sup es 0 entonces el radio de convergencia es ∞, lo que significa que la serie converge en todo el plano. ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle {\frac {1}{R}}=\limsup _{n\to \infty }\left(|c_{n}|^{1/n}\right)}$$

Prueba

Sin pérdida de generalidad supongamos que . Demostraremos primero que la serie de potencias converge para , y luego que diverge para . ${\displaystyle a=0}$ ${\textstyle \sum _{n}c_{n}z^{n}}$ ${\displaystyle |z|<R}$ ${\displaystyle |z|>R}$

Supongamos primero . Sea que no sea o Para cualquier , existe solo un número finito de tales que . Ahora bien, para todos excepto un número finito de , entonces la serie converge si . Esto prueba la primera parte. ${\displaystyle |z|<R}$ ${\displaystyle t=1/R}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \pm \infty .}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle {\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}\geq t+\varepsilon }$ ${\displaystyle |c_{n}|\leq (t+\varepsilon )^{n}}$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n}c_{n}z^{n}}$ ${\displaystyle |z|<1/(t+\varepsilon )}$

Por el contrario, para , para infinitos , entonces si , vemos que la serie no puede converger porque su término n- ésimo no tiende a 0. ^[5] ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle |c_{n}|\geq (t-\varepsilon )^{n}}$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle |z|=1/(t-\varepsilon )>R}$

Teorema para varias variables complejas

Sea un vector n -dimensional de números naturales ( ) con , entonces converge con radio de convergencia con si y solo si a la serie de potencias multidimensional ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}}$ ${\displaystyle ||\alpha ||=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \rho =(\rho _{1},\cdots ,\rho _{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \rho ^{\alpha }=\rho _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \rho _{n}^{\alpha _{n}}}$ $${\displaystyle \limsup _{||\alpha ||\to \infty }{\sqrt[{||\alpha ||}]{|c_{\alpha }|\rho ^{\alpha }}}=1}$$ $${\displaystyle \sum _{\alpha \geq 0}c_{\alpha }(z-a)^{\alpha }:=\sum _{\alpha _{1}\geq 0,\ldots ,\alpha _{n}\geq 0}c_{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}(z_{1}-a_{1})^{\alpha _{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{\alpha _{n}}}$$

Prueba

Desde ^[6]

Establecer , luego ${\displaystyle z=a+t\rho }$ ${\displaystyle (z_{i}=a_{i}+t\rho _{i})}$

${\displaystyle \sum _{\alpha \geq 0}c_{\alpha }(z-a)^{\alpha }=\sum _{\alpha \geq 0}c_{\alpha }\rho ^{\alpha }t^{||\alpha ||}=\sum _{\mu \geq 0}\left(\sum _{||\alpha ||=\mu }|c_{\alpha }|\rho ^{\alpha }\right)t^{\mu }}$

Se trata de una serie de potencias en una variable que converge para y diverge para . Por lo tanto, por el teorema de Cauchy-Hadamard para una variable ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle |t|<1}$ ${\displaystyle |t|>1}$

${\displaystyle \limsup _{\mu \to \infty }{\sqrt[{\mu }]{\sum _{||\alpha ||=\mu }|c_{\alpha }|\rho ^{\alpha }}}=1}$

La configuración nos da una estimación ${\displaystyle |c_{m}|\rho ^{m}=\max _{||\alpha ||=\mu }|c_{\alpha }|\rho ^{\alpha }}$

${\displaystyle |c_{m}|\rho ^{m}\leq \sum _{||\alpha ||=\mu }|c_{\alpha }|\rho ^{\alpha }\leq (\mu +1)^{n}|c_{m}|\rho ^{m}}$

Porque como ${\displaystyle {\sqrt[{\mu }]{(\mu +1)^{n}}}\to 1}$ ${\displaystyle \mu \to \infty }$

${\displaystyle {\sqrt[{\mu }]{|c_{m}|\rho ^{m}}}\leq {\sqrt[{\mu }]{\sum _{||\alpha ||=\mu }|c_{\alpha }|\rho ^{\alpha }}}\leq {\sqrt[{\mu }]{|c_{m}|\rho ^{m}}}\implies {\sqrt[{\mu }]{\sum _{||\alpha ||=\mu }|c_{\alpha }|\rho ^{\alpha }}}={\sqrt[{\mu }]{|c_{m}|\rho ^{m}}}\qquad (\mu \to \infty )}$

Por lo tanto

${\displaystyle \limsup _{||\alpha ||\to \infty }{\sqrt[{||\alpha ||}]{|c_{\alpha }|\rho ^{\alpha }}}=\limsup _{\mu \to \infty }{\sqrt[{\mu }]{|c_{m}|\rho ^{m}}}=1}$

Notas

1. Cauchy, AL (1821), Analizar algébrique.
2. Bottazzini, Umberto (1986), El cálculo superior: una historia del análisis real y complejo desde Euler hasta Weierstrass, Springer-Verlag, págs. 116-117, ISBN 978-0-387-96302-0Traducido del italiano por Warren Van Egmond.
3. Hadamard, J. , "Sur le rayon de convergence des séries ordonnées suivant les puissances d'une variable", CR Acad. Ciencia. París , 106 : 259–262.
4. Hadamard, J. (1892), "Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 4 ^e Série, VIII. También en Thèses présentées à la faculté des sciences de Paris pour obtenir le grade de docteur ès sciences mathématiques , París: Gauthier-Villars et fils, 1892.
5. Lang, Serge (2002), Análisis complejo: cuarta edición , Springer, págs. 55-56, ISBN 0-387-98592-1Textos de posgrado en matemáticas
6. Shabat, BV (1992), Introducción al análisis complejo, parte II. Funciones de varias variables , American Mathematical Society, págs. 32-33, ISBN 978-0821819753

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Teorema de Cauchy-Hadamard". MathWorld .