Teorema de Picard

Teorema sobre el rango de una función analítica

En el análisis complejo , el gran teorema de Picard y el pequeño teorema de Picard son teoremas relacionados sobre el rango de una función analítica . Llevan el nombre de Émile Picard .

los teoremas

Gráfico de coloración de dominio de la función exp( 1 ⁄ z ), centrado en la singularidad esencial en z  = 0. El tono de un punto z representa el argumento de exp( 1 ⁄ z ), la luminancia representa su valor absoluto. Este gráfico muestra que arbitrariamente cerca de la singularidad, se alcanzan todos los valores distintos de cero.

Teorema de Little Picard: si una función es entera y no constante, entonces el conjunto de valores que asume es todo el plano complejo o el plano menos un solo punto. ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\textstyle f(z)}$

Bosquejo de la prueba: La prueba original de Picard se basó en las propiedades de la función lambda modular , usualmente denotada por y que realiza, usando terminología moderna, la cobertura universal holomorfa del plano dos veces perforado por el disco unitario. Esta función está construida explícitamente en la teoría de funciones elípticas . Si omite dos valores, entonces la composición con la inversa de la función modular asigna el plano al disco unitario, lo que implica que es constante según el teorema de Liouville. ${\textstyle \lambda }$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle f}$

Este teorema es un fortalecimiento significativo del teorema de Liouville que establece que la imagen de una función completa no constante debe ser ilimitada . Posteriormente se encontraron muchas pruebas diferentes del teorema de Picard y el teorema de Schottky es una versión cuantitativa del mismo. En el caso de que a los valores de les falte un solo punto, este punto se denomina valor lagunar de la función. ${\textstyle f}$

Teorema del Gran Picard: si una función analítica tiene una singularidad esencial en un punto , entonces en cualquier vecindad perforada de toma todos los valores complejos posibles, con como máximo una única excepción, infinitamente veces. ${\textstyle f}$ ${\textstyle w}$ ${\textstyle w,f(z)}$

Este es un fortalecimiento sustancial del teorema de Casorati-Weierstrass , que sólo garantiza que el rango de es denso en el plano complejo. Un resultado del Gran Teorema de Picard es que cualquier función completa, no polinómica, alcanza todos los valores complejos posibles con una frecuencia infinita, con como máximo una excepción. ${\textstyle f}$

La "única excepción" es necesaria en ambos teoremas, como se demuestra aquí:

• e z es una función completa no constante que nunca es 0,
• ${\textstyle e^{\frac {1}{z}}}$ tiene una singularidad esencial en 0, pero aún así nunca alcanza 0 como valor.

Prueba

Teorema del pequeño Picard

Supongamos que es una función completa que omite dos valores y . Al considerar podemos suponer sin pérdida de generalidad que y . ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\textstyle z_{0}}$ ${\textstyle z_{1}}$ ${\textstyle {\frac {f(z)-z_{0}}{z_{1}-z_{0}}}}$ ${\textstyle z_{0}=0}$ ${\textstyle z_{1}=1}$

Como es simplemente conexo y el rango de omite , f tiene un logaritmo holomorfo . Sea una función completa tal que . Entonces el rango de omite todos los números enteros. Mediante un argumento similar usando la fórmula cuadrática , existe una función completa tal que . Entonces el rango de omite todos los números complejos de la forma , donde es un número entero y es un número entero no negativo. ${\textstyle \mathbb {C} }$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle 0}$ ${\textstyle g}$ ${\textstyle f(z)=e^{2\pi ig(z)}}$ ${\textstyle g}$ ${\textstyle h}$ ${\textstyle g(z)=\cos(h(z))}$ ${\textstyle h}$ ${\textstyle 2\pi n\pm i\cosh ^{-1}(m)}$ ${\textstyle n}$ ${\textstyle m}$

Según el teorema de Landau , si , entonces para todos , el rango de contiene un disco de radio . Pero visto desde arriba, cualquier disco suficientemente grande contiene al menos un número que el rango de h omite. Por tanto para todos . Según el teorema fundamental del cálculo , es constante, también lo es. ${\textstyle h'(w)\neq 0}$ ${\textstyle {R>0}}$ ${\textstyle h}$ ${\textstyle |h'(w)|R/72}$ ${\textstyle h'(w)=0}$ ${\textstyle w}$ ${\textstyle h}$ ${\textstyle f}$

Gran teorema de Picard

Generalización e investigación actual.

El teorema de Great Picard es cierto en una forma un poco más general que también se aplica a funciones meromórficas :

Teorema del Gran Picard (versión meromorfa): Si M es una superficie de Riemann , w es un punto en M , P ¹ ( C ) =  C  ∪ {∞} denota la esfera de Riemann y f  : M \{ w } → P ¹ ( C ) es una función holomorfa con singularidad esencial en w , entonces en cualquier subconjunto abierto de M que contenga w , la función f ( z ) alcanza todos menos dos puntos de P ¹ ( C ) infinitamente veces.

Ejemplo: La función f ( z ) = 1/(1 −  e ^{1/ z} ) es meromorfa en C* = C - {0}, el plano complejo con el origen eliminado. Tiene una singularidad esencial en z  = 0 y alcanza el valor ∞ infinitamente a menudo en cualquier vecindad de 0; sin embargo no alcanza los valores 0 o 1.

Con esta generalización, el teorema de Little Picard se deriva del teorema de Great Picard porque una función completa es un polinomio o tiene una singularidad esencial en el infinito. Como ocurre con el pequeño teorema, los puntos (como máximo dos) que no se alcanzan son valores lagunares de la función.

La siguiente conjetura está relacionada con el "Teorema de Gran Picard": ^[1]

Conjetura: Sea { U ₁ , ..., U _n } una colección de subconjuntos conectados abiertos de C que cubren el disco unitario perforado D  \ {0}. Supongamos que en cada U _j hay una función holomorfa inyectiva f _j , tal que d f _j = d f _k en cada intersección U _j  ∩  U _k . Luego , los diferenciales se pegan formando una forma meromórfica 1 en D.

Está claro que los diferenciales se unen para formar una forma holomorfa g  d z en D  \ {0}. En el caso especial en el que el residuo de g en 0 es cero, la conjetura se deriva del "Teorema del Gran Picard".

Notas

1. Elsner, B. (1999). «Integral de acción hiperelíptica» (PDF) . Anales del Instituto Fourier . 49 (1): 303–331. doi : 10.5802/aif.1675 .

Referencias

• Conway, John B. (1978). Funciones de una variable compleja I (2ª ed.). Saltador. ISBN 0-387-90328-3.
• Shurman, Jerry. "Bosquejo del teorema de Picard" (PDF) . Consultado el 18 de mayo de 2010 .