teorema de schottky

En el análisis matemático complejo , el teorema de Schottky , introducido por Schottky  (1904) es una versión cuantitativa del teorema de Picard . Afirma que para una función holomorfa f en el disco unitario abierto que no toma los valores 0 o 1, el valor de | f ( z )| puede estar acotado en términos de z y f (0).

El teorema original de Schottky no daba un límite explícito para f . Ostrowski (1931, 1933) dio algunos límites explícitos débiles. Ahlfors (1938, teorema B) dio una fuerte cota explícita, mostrando que si f es holomorfa en el disco unitario abierto y no toma los valores 0 o 1, entonces

${\displaystyle \log |f(z)|\leq {\frac {1+|z|}{1-|z|}}(7+\max(0,\log |f(0)|))}$.

Varios autores, como Jenkins (1955), han dado variaciones de la cota de Ahlfors con mejores constantes: en particular, Hempel (1980) dio algunas cotas cuyas constantes son, en cierto sentido, las mejores posibles.

Referencias

• Ahlfors, Lars V. (1938), "Una extensión del lema de Schwarz", Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense , 43 (3): 359–364, doi :10.2307/1990065, ISSN  0002-9947, JSTOR  1990065
• Hempel, Joachim A. (1980), "Límites precisos en los teoremas de Schottky y Picard", Revista de la Sociedad Matemática de Londres , 21 (2): 279–286, doi :10.1112/jlms/s2-21.2.279, ISSN  0024-6107, SEÑOR  0575385
• Jenkins, JA (1955), "Sobre límites explícitos en el teorema de Schottky", Canadian Journal of Mathematics , 7 : 76–82, doi : 10.4153/CJM-1955-010-4 , ISSN  0008-414X, MR  0066460
• Ostrowski, AM (1931), Studien über den schottkyschen satz, Basilea, B. Wepf & cie.
• Ostrowski, Alexander (1933), "Asymptotische Abschätzung des absolutn Betrages einer Funktion, die die Werte 0 und 1 nicht annimmt", Commentarii Mathematici Helvetici , 5 : 55–87, doi :10.1007/bf01297506, ISSN  0010-2571, S2CID  5
• Schottky, F. (1904), "Über den Picardschen Satz und die Borelschen Ungleichungen", Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin : 1244-1263