Conjunto escaso

Subconjunto "pequeño" de un espacio topológico

En el campo matemático de la topología general , un conjunto exiguo (también llamado conjunto exiguo o conjunto de primera categoría ) es un subconjunto de un espacio topológico que es pequeño o insignificante en un sentido preciso que se detalla a continuación. Un conjunto que no es exiguo se llama no exiguo , o de segunda categoría . Consulte a continuación las definiciones de otros términos relacionados.

Los escasos subconjuntos de un espacio fijo forman un σ-ideal de subconjuntos; es decir, cualquier subconjunto de un conjunto exiguo es exiguo, y la unión de un número contable de conjuntos exiguos es exigua.

Los conjuntos escasos juegan un papel importante en la formulación de la noción de espacio de Baire y del teorema de la categoría de Baire , que se utiliza en la prueba de varios resultados fundamentales del análisis funcional .

Definiciones

En todo momento, habrá un espacio topológico . ${\displaystyle X}$

La definición de conjunto escaso utiliza la noción de un subconjunto denso en ninguna parte , es decir, un subconjunto cuya clausura tiene un interior vacío . Consulte el artículo correspondiente para obtener más detalles. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$

Un subconjunto de se llama ${\displaystyle X}$escaso en ${\displaystyle X,}$ unescaso subconjunto de ${\displaystyle X,}$o de laprimera categoría en ${\displaystyle X}$si es una unión contable desubconjuntosdensos en ninguna parte.^[1]En caso contrario, el subconjunto se llama ${\displaystyle X}$no escaso en ${\displaystyle X,}$ unsubconjunto no reducido de ${\displaystyle X,}$o delsegunda categoría en ${\displaystyle X.}$^[1] El calificador "en" se puede omitir si el espacio ambiental es fijo y se entiende desde el contexto. ${\displaystyle X}$

Un espacio topológico se llamaescaso (respectivamente,nonmeagre ) si es un subconjunto exiguo (respectivamente, no exiguo) de sí mismo.

Un subconjunto de se llama ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$venir en ${\displaystyle X,}$oresidual en ${\displaystyle X,}$si sucomplemento es escaso en. (Este uso del prefijo "co" es consistente con su uso en otros términos como "cofinito".) Un subconjunto es comeagre ensi y sólo si es igual a unaintersecciónde conjuntos, cada uno de cuyos interiores es denso en ${\displaystyle X\setminus A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Comentarios sobre la terminología

No deben confundirse los conceptos de no magro y comegro. Si el espacio es escaso, cada subconjunto es al mismo tiempo escaso y muy escaso, y no hay conjuntos no escasos. Si el espacio es no escaso, ningún conjunto es al mismo tiempo escaso y escaso, todo conjunto muy escaso es no escaso, y puede haber conjuntos no escasos que no lo sean, es decir, con complemento no escaso. Consulte la sección de Ejemplos a continuación. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Como punto adicional de terminología, si a un subconjunto de un espacio topológico se le da la topología subespacial inducida por , se puede hablar de que es un espacio exiguo, es decir, un subconjunto exiguo de sí mismo (cuando se lo considera como un espacio topológico por derecho propio). ). En este caso, también se le puede llamar un subespacio exiguo de , es decir, un espacio exiguo cuando se le da la topología del subespacio. Es importante destacar que esto no es lo mismo que ser exiguo en todo el espacio . (Consulte las secciones Propiedades y Ejemplos a continuación para conocer la relación entre los dos). De manera similar, un subespacio no exiguo será un conjunto que no es exiguo en sí mismo, lo cual no es lo mismo que ser no exiguo en todo el espacio. Sin embargo, tenga en cuenta que en el contexto de los espacios vectoriales topológicos algunos autores pueden usar la frase "subespacio escaso/no escaso" para referirse a un subespacio vectorial que es un conjunto escaso/no escaso en relación con todo el espacio. ^[2] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Los términos primera categoría y segunda categoría fueron los originales utilizados por René Baire en su tesis de 1899. ^[3] La exigua terminología fue introducida por Bourbaki en 1948. ^{[4] [5]}

Ejemplos

El conjunto vacío es siempre un subconjunto cerrado en ninguna parte denso (y por tanto exiguo) de todo espacio topológico.

En el espacio no exiguo el conjunto es exiguo. El conjunto no es escaso y es mediocre. ${\displaystyle X=[0,1]\cup ([2,3]\cap \mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle [2,3]\cap \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle [0,1]}$

En el espacio no reducido el conjunto no es reducido. Pero no es insuficiente, como tampoco lo es su complemento. ${\displaystyle X=[0,2]}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle (1,2]}$

Un espacio T 1 contable sin punto aislado es escaso. Por lo tanto, también es exiguo en cualquier espacio que lo contenga como subespacio. Por ejemplo, es a la vez un exiguo subespacio de (es decir, exiguo en sí mismo con la topología del subespacio inducida por ) y un exiguo subconjunto de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

El conjunto de Cantor no es denso en ninguna parte y, por tanto, escaso en pero no es escaso en sí mismo, ya que es un espacio métrico completo . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

El conjunto no es nada denso , pero sí escaso . No es escaso en sí mismo (ya que, como subespacio, contiene un punto aislado). ${\displaystyle ([0,1]\cap \mathbb {Q} )\cup \{2\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

La recta es exigua en el plano pero es un subespacio no exiguo, es decir, es no exigua en sí misma. ${\displaystyle \mathbb {R} \times \{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

El conjunto es un subconjunto exiguo de aunque su subconjunto exiguo sea un subespacio no exiguo ( es decir, no es un espacio topológico exiguo). ^[6] Un espacio de Hausdorff contable sin puntos aislados es exiguo, mientras que cualquier espacio topológico que contenga un punto aislado no es exiguo. ^[6] Debido a que los números racionales son contables, son escasos como subconjunto de los reales y como espacio, es decir, no forman un espacio de Baire . ${\displaystyle S=(\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} )\cup (\mathbb {R} \times \{0\})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Cualquier espacio topológico que contenga un punto aislado no es escaso ^[6] (porque ningún conjunto que contenga el punto aislado puede ser denso en ninguna parte). En particular, todo espacio discreto no vacío no es pequeño.

Hay un subconjunto de números reales que divide cada conjunto abierto no vacío en dos conjuntos no escasos. Es decir, para cada conjunto abierto no vacío , los conjuntos y no son escasos. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U\cap H}$ ${\displaystyle U\setminus H}$

En el espacio de funciones continuas de valores reales con la topología de convergencia uniforme , el conjunto de funciones continuas de valores reales que tienen una derivada en algún punto es escaso. ^{[7] [8]} Dado que es un espacio métrico completo, no es exiguo. Entonces, el complemento de , que consta de funciones continuas de valor real no diferenciables en ninguna parte, es comeagre y no exiguo. En particular, ese conjunto no está vacío. Esta es una forma de mostrar la existencia de funciones continuas no diferenciables en ninguna parte. ${\displaystyle C([0,1])}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle C([0,1])}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle [0,1],}$

Caracterizaciones y condiciones suficientes.

Todo espacio de Baire no vacío no es exiguo. En particular, según el teorema de la categoría de Baire, todo espacio métrico completo no vacío y todo espacio de Hausdorff localmente compacto no vacío no es exiguo.

Todo espacio de Baire no vacío no es reducido, pero existen espacios no reducidos que no son espacios de Baire. ^[6] Dado que los espacios (pseudo) métricos completos , así como los espacios localmente compactos de Hausdorff, son espacios de Baire , también son espacios no magros. ^[6]

Cualquier subconjunto de un conjunto exiguo es un conjunto exiguo, al igual que la unión de un número contable de conjuntos exiguos. ^[9] Si es un homeomorfismo entonces un subconjunto es escaso si y sólo si es escaso. ^[9] ${\displaystyle h:X\to X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle h(S)}$

Todo subconjunto denso en ninguna parte es un conjunto exiguo. ^[9] En consecuencia, cualquier subconjunto cerrado cuyo interior in esté vacío es de la primera categoría de (es decir, es un exiguo subconjunto de ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

ElEl teorema de la categoría de Banach ^[10]establece que en cualquier espaciola unión de cualquier familia de conjuntos abiertos de primera categoría es de primera categoría. ${\displaystyle X,}$

Todos los subconjuntos y todas las uniones contables de conjuntos escasos son escasos. Así, los escasos subconjuntos de un espacio fijo forman un σ-ideal de subconjuntos, una noción adecuada de conjunto insignificante . Dualmente, todos los superconjuntos y todas las intersecciones contables de conjuntos comeagre son comeagre. Todo superconjunto de un conjunto no reducido es no reducido.

Supongamos de dónde se induce la topología subespacial. El conjunto puede ser escaso sin serlo. Sin embargo, se mantienen los siguientes resultados: ^[5] ${\displaystyle A\subseteq Y\subseteq X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

• Si es escaso en entonces es escaso en ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$
• Si está abierto en entonces es escaso en si y sólo si es escaso en ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$
• Si es denso entonces es escaso en si y sólo si es escaso en ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$

Y correspondientemente para conjuntos no escasos:

• Si es no exiguo en entonces es no exiguo en ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y.}$
• Si está abierto en entonces no es exiguo en si y sólo si es no exiguo en ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$
• Si es denso en entonces no es exiguo en si y sólo si es no exiguo en ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$

En particular, cada subconjunto de lo que es escaso en sí mismo es escaso en sí mismo . Cada subconjunto de lo que es no escaso en sí mismo es no escaso en sí mismo. Y para un conjunto abierto o un conjunto denso ser escaso en equivale a ser escaso en sí mismo, y lo mismo ocurre con la propiedad no escasa. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$

Un espacio topológico no es exiguo si y sólo si cada intersección contable de conjuntos abiertos densos no está vacía. ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Propiedades

Un espacio vectorial topológico localmente convexo no escaso es un espacio en forma de barril . ^[6]

Todos los subconjuntos densos de ninguna parte son escasos. En consecuencia, cualquier subconjunto cerrado con interior vacío es escaso. Por lo tanto, un subconjunto cerrado de that es de segunda categoría en debe tener un interior no vacío en ^[12] (porque de lo contrario no sería denso en ninguna parte y, por lo tanto, sería de primera categoría). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Si es de la segunda categoría en y si son subconjuntos de tales que entonces al menos uno es de la segunda categoría en ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\subseteq S_{1}\cup S_{2}\cup \cdots }$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle X.}$

Subconjuntos magros y medida de Lebesgue

En ninguna parte existen subconjuntos densos (que, por tanto, son subconjuntos escasos) que tengan una medida de Lebesgue positiva . ^[6]

Un conjunto exiguo no necesita tener la medida cero de Lebesgue , e incluso puede tenerla en su totalidad. Por ejemplo, en el intervalo los conjuntos gruesos de Cantor , como el conjunto de Smith-Volterra-Cantor , no están cerrados en ninguna parte densos y pueden construirse con una medida arbitrariamente cercana a La unión de un número contable de tales conjuntos con una medida que se aproxima da un subconjunto exiguo de con medida ^[13] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle 1.}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle 1.}$

Dualmente, pueden existir conjuntos no pequeños con medida cero. El complemento de cualquier conjunto exiguo de medida en (por ejemplo, el del párrafo anterior) tiene medida y es comeagre y, por tanto, no exiguo, ya que es un espacio de Baire. ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle [0,1],}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Aquí hay otro ejemplo de un conjunto no escaso con medida : ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$

$${\displaystyle \bigcap _{m=1}^{\infty }\bigcup _{n=1}^{\infty }\left(r_{n}-\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{n+m},r_{n}+\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{n+m}\right)}$$

${\displaystyle r_{1},r_{2},\ldots }$

Relación con la jerarquía de Borel

Así como un subconjunto no denso en ningún lugar no necesita ser cerrado, sino que siempre está contenido en un subconjunto cerrado en ningún lugar denso (es decir, su cierre), un conjunto exiguo no necesita ser un conjunto (unión contable de conjuntos cerrados), sino que siempre está contenido en un Conjunto hecho de la nada Conjuntos densos (tomando el cierre de cada conjunto). ${\displaystyle F_{\sigma }}$ ${\displaystyle F_{\sigma }}$

Dualmente, así como el complemento de un conjunto denso en ninguna parte no necesita ser abierto, pero tiene un interior denso (contiene un conjunto abierto denso), un conjunto comeagre no necesita ser un conjunto (intersección contable de conjuntos abiertos ), pero contiene un conjunto denso. formado a partir de conjuntos abiertos densos. ${\displaystyle G_{\delta }}$ ${\displaystyle G_{\delta }}$

Juego Banach-Mazur

Los conjuntos escasos tienen una caracterización alternativa útil en términos del juego Banach-Mazur . Sea un espacio topológico, una familia de subconjuntos de que tienen interiores no vacíos de modo que cada conjunto abierto no vacío tenga un subconjunto que pertenezca y sea cualquier subconjunto de Entonces hay un juego de Banach-Mazur En el juego de Banach-Mazur, dos jugadores, y, alternativamente, elige elementos sucesivamente más pequeños de para producir una secuencia . El jugador gana si la intersección de esta secuencia contiene un punto en ; de lo contrario, el jugador gana. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle MZ(X,Y,{\mathcal {W}}).}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q,}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle W_{1}\supseteq W_{2}\supseteq W_{3}\supseteq \cdots .}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Q}$

Teorema  :  para cualquiera que cumpla los criterios anteriores, el jugador tiene una estrategia ganadora si y solo si es escasa. ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle X}$

Dualidad Erdos-Sierpinski

Muchos argumentos sobre conjuntos escasos también se aplican a conjuntos nulos , es decir, conjuntos de medida de Lebesgue 0. El teorema de la dualidad de Erdos-Sierpinski establece que si se cumple la hipótesis del continuo , hay una involución de reales a reales donde la imagen de un conjunto nulo de reales es un conjunto exiguo, y viceversa. ^[14] De hecho, la imagen de un conjunto de reales bajo el mapa es nula si y sólo si el conjunto original era exiguo, y viceversa. ^[15]

Ver también

• Espacio en barril  : tipo de espacio vectorial topológico
• Propiedad genérica  : tenencia de propiedad para ejemplos típicos, para análogos de residual
• Conjunto insignificante  : conjunto matemático considerado insignificante, para análogos escaso
• Propiedad de Baire  – Diferencia de un conjunto abierto por un conjunto exiguo

Notas

1. Narici y Beckenstein 2011, pag. 389.
2. Schaefer, Helmut H. (1966). "Espacios vectoriales topológicos". Macmillan.
3. Baire, René (1899). "Sobre las funciones de variables reales". Annali di Mat. Pura ed Appl . 3: 1–123., página 65
4. Oxtoby, J. (1961). «Productos cartesianos de los espacios de Baire» (PDF) . Fundamentos Mathematicae . 49 (2): 157–166. doi :10.4064/fm-49-2-157-166."Siguiendo a Bourbaki [...], un espacio topológico se llama espacio de Baire si ..."
5. Bourbaki 1989, pág. 192.
6. Narici y Beckenstein 2011, págs.
7. Banach, S. (1931). "Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen". Estudia Matemáticas. 3 (1): 174-179. doi : 10.4064/sm-3-1-174-179 .
8. Willard 2004, Teorema 25.5.
9. Rudin 1991, pag. 43.
10. Oxtoby 1980, pag. 62.
11. Willard 2004, Teorema 25.2.
12. Rudin 1991, págs. 42–43.
13. "¿Existe una medida cero establecida que no sea escasa?". Desbordamiento matemático .
14. Quintanilla, M. (2022). "Los números reales en modelos internos de la teoría de conjuntos". arXiv : 2206.10754 .(pág.25)
15. S. Saito, El teorema de la dualidad de Erdos-Sierpinski, notas. Consultado el 18 de enero de 2023.

Bibliografía

• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Bourbaki, Nicolás (1989) [1967]. Topología general 2: Capítulos 5 a 10 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . vol. 4. Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC  246032063.
• Oxtoby, John C. (1980). "El teorema de la categoría de Banach". Medida y categoría (Segunda ed.). Nueva York: Springer. págs. 62–65. ISBN 0-387-90508-1.
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie Internacional en Matemática Pura y Aplicada. vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Ciencias/Ingeniería/Matemáticas . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general. Mineola, Nueva York : Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.