Sigma-ideal

Familia cerrada bajo subconjuntos y uniones contables

En matemáticas , particularmente en teoría de la medida , un 𝜎-ideal , o ideal sigma , de una σ-álgebra (𝜎, que se lee "sigma") es un subconjunto con ciertas propiedades de clausura deseables . Es un tipo especial de ideal . Su aplicación más frecuente es en la teoría de la probabilidad . ^{[ cita requerida ]}

Sea un espacio medible (es decir , un álgebra de subconjuntos de ). Un subconjunto de es un 𝜎-ideal si se cumplen las siguientes propiedades: ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Sigma }$

1. ${\displaystyle \varnothing \in N}$;
2. Cuando y entonces implica ; ${\displaystyle A\in N}$ ${\displaystyle B\in \Sigma }$ ${\displaystyle B\subseteq A}$ ${\displaystyle B\in N}$
3. Si entonces ${\displaystyle \left\{A_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }\subseteq N}$ ${\textstyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in N.}$

En pocas palabras, un ideal sigma debe contener el conjunto vacío y contener subconjuntos y uniones contables de sus elementos. El concepto de ideal sigma es dual al de filtro contablemente completo (f) .

Si se da una medida en el conjunto de - conjuntos despreciables ( tales que ) es un 𝜎-ideal. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma ),}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle S\in \Sigma }$ ${\displaystyle \mu (S)=0}$

La noción se puede generalizar a preordenes con un elemento inferior de la siguiente manera: es un 𝜎-ideal de justo cuando ${\displaystyle (P,\leq ,0)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle P}$

(i') ${\displaystyle 0\in I,}$

(ii') implica y ${\displaystyle x\leq y{\text{ and }}y\in I}$ ${\displaystyle x\in I,}$

(iii') dada una secuencia existe alguna tal que para cada ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots \in I,}$ ${\displaystyle y\in I}$ ${\displaystyle x_{n}\leq y}$ ${\displaystyle n.}$

Por lo tanto , contiene el elemento inferior, está cerrado hacia abajo y satisface un análogo contable de la propiedad de estar dirigido hacia arriba . ${\displaystyle I}$

Un 𝜎-ideal de un conjunto es un 𝜎-ideal del conjunto potencia de . Es decir, cuando no se especifica ninguna 𝜎-álgebra, entonces simplemente se toma el conjunto potencia completo del conjunto subyacente. Por ejemplo, los subconjuntos magros de un espacio topológico son aquellos en el 𝜎-ideal generado por la colección de subconjuntos cerrados con interior vacío. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Véase también

• δ -ring  – Anillo cerrado bajo intersecciones contables
• Campo de conjuntos  : concepto algebraico en la teoría de la medida, también denominado álgebra de conjuntos
• Unir (álgebra sigma)  – Estructura algebraica del álgebra de conjuntosPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Sistema 𝜆 (sistema Dynkin)  : Familia cerrada bajo complementos y uniones disjuntas contables
• Función medible  – Tipo de función matemática
• Sistema π  – Familia de conjuntos cerrados bajo intersección
• Anillo de conjuntos  – Familia cerrada bajo uniones y complementos relativos
• Espacio muestral  : conjunto de todos los resultados posibles de un ensayo o experimento estadístico.
• Álgebra  de conjuntos: estructura algebraica del álgebra de conjuntos
• Anillo 𝜎  – Familia de conjuntos cerrados bajo uniones contables
• Aditividad sigma  – Función de mapeoPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento

Referencias

• Bauer, Heinz (2001): Teoría de la medida y la integración . Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, 10785 Berlín, Alemania.