Ideal sigma

Familia cerrada bajo subconjuntos y uniones contables

En matemáticas , particularmente en teoría de medidas , un 𝜎-ideal , o sigma ideal , de un σ-álgebra (𝜎, leído "sigma") es un subconjunto con ciertas propiedades de cierre deseables . Es un tipo especial de ideal . Su aplicación más frecuente es en la teoría de la probabilidad . ^{[ cita necesaria ]}

Sea un espacio medible (es decir, un álgebra 𝜎 de subconjuntos de ). Un subconjunto de es un 𝜎-ideal si se cumplen las siguientes propiedades: ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Sigma }$

1. ${\displaystyle \varnothing \in N}$;
2. Cuándo y entonces implica ; ${\displaystyle A\in N}$ ${\displaystyle B\in \Sigma }$ ${\displaystyle B\subseteq A}$ ${\displaystyle B\in N}$
3. Si entonces ${\displaystyle \left\{A_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }\subseteq N}$ ${\textstyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in N.}$

Brevemente, un ideal sigma debe contener el conjunto vacío y contener subconjuntos y uniones contables de sus elementos. El concepto de 𝜎-ideal es dual al de un filtro contablemente completo (𝜎-) .

Si se da una medida en el conjunto de - conjuntos despreciables ( tales que ) es un 𝜎-ideal. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma ),}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle S\in \Sigma }$ ${\displaystyle \mu (S)=0}$

La noción se puede generalizar a pedidos anticipados con un elemento inferior de la siguiente manera: es un ideal 𝜎 de justo cuando ${\displaystyle (P,\leq ,0)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle P}$

(i') ${\displaystyle 0\in I,}$

(ii') implica y ${\displaystyle x\leq y{\text{ and }}y\in I}$ ${\displaystyle x\in I,}$

(iii') dada una secuencia existe alguna tal que para cada ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots \in I,}$ ${\displaystyle y\in I}$ ${\displaystyle x_{n}\leq y}$ ${\displaystyle n.}$

Por lo tanto , contiene el elemento inferior, está cerrado hacia abajo y satisface un análogo contable de la propiedad de estar dirigido hacia arriba . ${\displaystyle I}$

Un ideal 𝜎 de un conjunto es un ideal 𝜎 del conjunto potencia de Es decir, cuando no se especifica álgebra 𝜎, simplemente se toma el conjunto potencia completo del conjunto subyacente. Por ejemplo, los escasos subconjuntos de un espacio topológico son aquellos en el 𝜎-ideal generado por la colección de subconjuntos cerrados con interior vacío. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Ver también

• δ -ring  - Anillo cerrado bajo intersecciones contables
• Campo de conjuntos  : concepto algebraico en la teoría de la medida, también conocido como álgebra de conjuntos
• Unión (álgebra sigma)  : estructura algebraica del álgebra de conjuntosPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Sistema 𝜆 (sistema Dynkin)  : familia cerrada bajo complementos y uniones disjuntas contables
• Función medible  : función para la cual la preimagen de un conjunto mensurable es mensurable
• π -sistema  - Familia de conjuntos cerrados bajo intersección
• Anillo de conjuntos  – Familia cerrada bajo uniones y complementos relativos
• Espacio muestral  : conjunto de todos los resultados o resultados posibles de un ensayo o experimento estadístico.
• 𝜎-álgebra  - Estructura algebraica del álgebra de conjuntos
• 𝜎-ring  – Anillo cerrado bajo uniones contables
• Aditividad Sigma  – Función de mapeoPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento

Referencias

• Bauer, Heinz (2001): Teoría de la medida y la integración . Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, 10785 Berlín, Alemania.