Teorema de la categoría de Baire

En espacios topológicos donde la intersección de muchos conjuntos abiertos densos es densa

El teorema de la categoría de Baire ( BCT ) es un resultado importante en topología general y análisis funcional . El teorema tiene dos formas, cada una de las cuales da condiciones suficientes para que un espacio topológico sea un espacio de Baire (un espacio topológico tal que la intersección de un número considerable de conjuntos abiertos densos sigue siendo densa). Se utiliza en la prueba de resultados en muchas áreas del análisis y la geometría , incluidos algunos de los teoremas fundamentales del análisis funcional .

Las versiones del teorema de la categoría de Baire fueron probadas por primera vez de forma independiente en 1897 por Osgood para la recta real y en 1899 por Baire ^[1] para el espacio euclidiano . ^[2] La afirmación más general para espacios completamente metrizables fue mostrada por primera vez por Hausdorff ^[3] en 1914. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Declaración

Un espacio de Baire es un espacio topológico en el que cada intersección contable de conjuntos densos abiertos es denso. Consulte el artículo correspondiente para obtener una lista de caracterizaciones equivalentes, ya que algunas son más útiles que otras según la aplicación. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

• ( BCT1 ) Todo espacio pseudométrico completo es un espacio de Baire. ^{[4] [5] [6]} En particular, todo espacio topológico completamente metrizable es un espacio de Baire. ^[7]
• ( BCT2 ) Todo espacio regular localmente compacto es un espacio de Baire. ^{[4] [8]} En particular, cada espacio de Hausdorff localmente compacto es un espacio de Baire. ^{[9] [7]}

Ninguna de estas afirmaciones implica directamente la otra, ya que hay espacios métricos completos que no son localmente compactos (los números irracionales con la métrica definida a continuación; también, cualquier espacio de Banach de dimensión infinita ), y hay espacios de Hausdorff localmente compactos que no son metrizable (por ejemplo, cualquier producto incontable de espacios compactos de Hausdorff no triviales es tal; también, varios espacios funcionales utilizados en el análisis funcional; el incontable espacio Fort ). Véase Steen y Seebach en las referencias siguientes.

Relación con el axioma de elección.

La prueba de BCT1 para espacios métricos completos arbitrarios requiere alguna forma del axioma de elección ; y de hecho BCT1 es equivalente sobre ZF al axioma de elección dependiente , una forma débil del axioma de elección. ^[10]

Una forma restringida del teorema de la categoría de Baire, en la que también se supone que el espacio métrico completo es separable , se puede demostrar en ZF sin principios de elección adicionales. ^[11] Esta forma restringida se aplica en particular a la línea real , el espacio de Baire , el espacio de Cantor y un espacio de Hilbert separable como el espacio - . ${\displaystyle \omega ^{\omega },}$ ${\displaystyle 2^{\omega },}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

Usos

BCT1 se utiliza en análisis funcional para demostrar el teorema de mapeo abierto , el teorema del gráfico cerrado y el principio de acotación uniforme .

BCT1 también muestra que cada espacio métrico completo no vacío sin ningún punto aislado es incontable . (Si es un espacio métrico contable no vacío sin ningún punto aislado, entonces cada singleton no es denso en ninguna parte y es escaso en sí mismo). En particular, esto prueba que el conjunto de todos los números reales es incontable. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

BCT1 muestra que cada uno de los siguientes es un espacio de Baire:

• El espacio de los números reales. ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Los números irracionales , con la métrica definida por dónde está el primer índice para el cual las expansiones fraccionarias continuas de y difieren (este es un espacio métrico completo) ${\displaystyle d(x,y)={\tfrac {1}{n+1}},}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$
• El conjunto de Cantor

Por BCT2 , toda variedad de Hausdorff de dimensión finita es un espacio de Baire, ya que es localmente compacta y de Hausdorff. Esto es así incluso para variedades no paracompactas (por lo tanto, no metrizables), como la línea larga .

BCT se utiliza para demostrar el teorema de Hartogs , un resultado fundamental en la teoría de varias variables complejas.

BCT1 se utiliza para demostrar que un espacio de Banach no puede tener una dimensión infinita y numerable.

Prueba

( BCT1 ) La siguiente es una prueba estándar de que un espacio pseudométrico completo es un espacio de Baire. ^[6] ${\displaystyle X}$

Sea una colección contable de subconjuntos densos abiertos. Queda por demostrar que la intersección es densa. Un subconjunto es denso si y sólo si todos los subconjuntos abiertos no vacíos lo intersecan. Así, para demostrar que la intersección es densa, basta con demostrar que cualquier subconjunto abierto no vacío de tiene algún punto en común con todos los . Como es denso, se corta en consecuencia, existe un punto y un número tal que: ${\displaystyle U_{1},U_{2},\ldots }$ ${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\cap \ldots }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U_{n}}$ ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle U_{1};}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle 0<r_{1}<1}$

$${\displaystyle {\overline {B}}\left(x_{1},r_{1}\right)\subseteq W\cap U_{1}}$$

${\displaystyle B(x,r)}$ ${\displaystyle {\overline {B}}(x,r)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r.}$ ${\displaystyle U_{n}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle 0<r_{n}<{\tfrac {1}{n}}}$

$${\displaystyle {\overline {B}}\left(x_{n},r_{n}\right)\subseteq B\left(x_{n-1},r_{n-1}\right)\cap U_{n}.}$$

(Este paso se basa en el axioma de elección y en el hecho de que una intersección finita de conjuntos abiertos es abierta y, por lo tanto, se puede encontrar una bola abierta dentro de ella centrada en .) La secuencia es de Cauchy porque siempre y por lo tanto converge a algún límite por completitud. Si es un entero positivo entonces (porque este conjunto es cerrado). Así y para todos ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$ ${\displaystyle x_{n}\in B\left(x_{m},r_{m}\right)}$ ${\displaystyle n>m,}$ ${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x\in {\overline {B}}\left(x_{n},r_{n}\right)}$ ${\displaystyle x\in W}$ ${\displaystyle x\in U_{n}}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Existe una prueba alternativa utilizando el juego de Choquet . ^[12]

( BCT2 ) La prueba de que un espacio regular localmente compacto es un espacio de Baire es similar. ^[8] Utiliza el hecho de que (1) en dicho espacio cada punto tiene una base local de vecindades compactas cerradas ; y (2) en un espacio compacto cualquier colección de conjuntos cerrados con la propiedad de intersección finita tiene una intersección no vacía. El resultado para espacios Hausdorff localmente compactos es un caso especial, ya que dichos espacios son regulares. ${\displaystyle X}$

Notas

1. Baire, R. (1899). "Sobre las funciones de variables reales". Ana. Di Mat . 3 : 1–123.
2. Bourbaki 1989, Nota histórica, p. 272.
3. Engelking 1989, Notas históricas y bibliográficas de la sección 4.3, p. 277.
4. Kelley 1975, teorema 34, p. 200.
5. Narici y Beckenstein 2011, Teorema 11.7.2, p. 393.
6. Schechter 1996, Teorema 20.16, p. 537.
7. Willard 2004, Corolario 25.4.
8. Schechter 1996, Teorema 20.18, p. 538.
9. Narici y Beckenstein 2011, Teorema 11.7.3, p. 394.
10. Blair, Charles E. (1977). "El teorema de la categoría de Baire implica el principio de elecciones dependientes". Toro. Acad. Polon. Ciencia. Ser. Ciencia. Matemáticas. Astron. Física . 25 (10): 933–934.
11. Impuesto 2002, pag. 212.
12. Baker, Matt (7 de julio de 2014). "Números reales y juegos infinitos, parte II: el juego de Choquet y el teorema de la categoría de Baire".

Referencias

• Bourbaki, Nicolás (1989) [1967]. Topología general 2: Capítulos 5 a 10 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . vol. 4. Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC  246032063.
• Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3-88538-006-4.
• Kelley, John L. (1975). Topología general . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 27. Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC  338047.
• Levy, Azriel (2002) [Publicado por primera vez en 1979]. Teoría básica de conjuntos (edición reimpresa). Dover. ISBN 0-486-42079-5.
• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Prensa académica. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• Steen, Lynn Arturo ; Seebach, J. Arthur hijo (1978). Contraejemplos en topología . Nueva York: Springer-Verlag.Reimpreso por Dover Publications, Nueva York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (edición de Dover). 
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general. Mineola, Nueva York : Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.

enlaces externos

• Artículo de la Enciclopedia de Matemáticas sobre el teorema de Baire
• Tao, T. (1 de febrero de 2009). "245B, Notas 9: El teorema de la categoría de Baire y sus consecuencias en el espacio de Banach".