Generalización de espacios métricos en matemáticas.
En matemáticas , un espacio pseudométrico es una generalización de un espacio métrico en el que la distancia entre dos puntos distintos puede ser cero. Los espacios pseudométricos fueron introducidos por Đuro Kurepa [1] [2] en 1934. De la misma manera que todo espacio normado es un espacio métrico , todo espacio seminormado es un espacio pseudométrico. Debido a esta analogía, el término espacio semimétrico (que tiene un significado diferente en topología ) se utiliza en ocasiones como sinónimo, especialmente en análisis funcional .
Cuando se genera una topología utilizando una familia de pseudométricas, el espacio se denomina espacio calibre .
Definición
Un espacio pseudométrico es un conjunto junto con una función de valor real no negativa llamada![{\displaystyle (X,d)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
pseudométrica , tal que por cada![{\displaystyle x,y,z\en X,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle d(x,x)=0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Simetría :
![{\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Subaditividad / Desigualdad triangular :
![{\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
A diferencia de un espacio métrico, los puntos en un espacio pseudométrico no necesitan ser distinguibles ; es decir, se pueden tener valores distintos![{\displaystyle d(x,y)=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x\neq y.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ejemplos
Cualquier espacio métrico es un espacio pseudométrico. La pseudometría surge de forma natural en el análisis funcional . Considere el espacio de funciones con valores reales junto con un punto especial. Este punto induce una pseudometría en el espacio de funciones, dada por![{\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x_{0}\en X.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle d(f,g)=\left|f(x_{0})-g(x_{0})\right|}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f,g\in {\mathcal {F}}(X)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Una seminorma induce la pseudométrica . Esta es una función convexa de una función afín de (en particular, una traducción ) y, por lo tanto, convexa en . (Lo mismo ocurre con .)![{\displaystyle p}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle d(x,y)=p(xy)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por el contrario, una pseudométrica homogénea e invariante en la traducción induce una seminorma.
La pseudometría también surge en la teoría de variedades complejas hiperbólicas : ver métrica de Kobayashi .
Cada espacio de medidas puede verse como un espacio pseudométrico completo definiendo![{\displaystyle (\Omega,{\mathcal {A}},\mu)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle d(A,B):=\mu (A\vartriangle B)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
diferencia simétrica![{\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si es una función y d 2 es una pseudométrica en X 2 , entonces da una pseudométrica en X 1 . Si d 2 es una métrica y f es inyectiva , entonces d 1 es una métrica.![{\ Displaystyle f: X_ {1} \ a X_ {2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle d_{1}(x,y):=d_{2}(f(x),f(y))}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Topología
ElLa topología pseudométrica es latopologíagenerada por lasbolas abiertas.
![{\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X:d(p,x)<r\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
base
[3]espacio pseudometrizable [4]La diferencia entre pseudometría y métrica es completamente topológica. Es decir, una pseudométrica es una métrica si y sólo si la topología que genera es T 0 (es decir, los distintos puntos son topológicamente distinguibles ).
Las definiciones de secuencias de Cauchy y finalización métrica para espacios métricos se trasladan a espacios pseudométricos sin cambios. [5]
Identificación métrica
La desaparición de lo pseudométrico induce una relación de equivalencia , llamada identificación métrica , que convierte el espacio pseudométrico en un espacio métrico completo . Esto se hace definiendo si . Sea el espacio cociente de por esta relación de equivalencia y defina![{\displaystyle x\sim y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle d(x,y)=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X^{*}=X/{\sim }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}d^{*}:(X/\sim )&\times (X/\sim )\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}\\d^{*} ([x],[y])&=d(x,y)\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
espacio métrico inducido por el espacio pseudométrico[6] [7]![{\displaystyle x'\en [x]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle d(x,x')=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle d(x',y)\leq d(x,x')+d(x,y)=d(x,y)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle d^{*}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X^{*}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (X^{*},d^{*})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (X,d)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La identificación métrica preserva las topologías inducidas. Es decir, un subconjunto está abierto (o cerrado) en si y sólo si está abierto (o cerrado) en y está saturado . La identificación topológica es el cociente de Kolmogorov .![{\displaystyle A\subseteq X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (X,d)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \pi (A)=[A]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left(X^{*},d^{*}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Un ejemplo de esta construcción es la finalización de un espacio métrico mediante sus secuencias de Cauchy .
Ver también
Notas
- ^ Kurepa, Đuro (1934). "Tableaux ramifiés d'ensembles, espaces pseudodistaciés". CR Acad. Ciencia. París . 198 (1934): 1563-1565.
- ^ Collatz, Lothar (1966). Análisis Funcional y Matemática Numérica . Nueva York, San Francisco, Londres: Academic Press . pag. 51.
- ^ "Topología pseudométrica". PlanetMath .
- ^ Willard, pág. 23
- ^ Caín, George (verano de 2000). "Capítulo 7: Espacios pseudométricos completos" (PDF) . Archivado desde el original el 7 de octubre de 2020 . Consultado el 7 de octubre de 2020 .
- ^ Howes, Norman R. (1995). Análisis y topología modernos. Nueva York, Nueva York: Springer. pag. 27.ISBN 0-387-97986-7. Consultado el 10 de septiembre de 2012 .
Sea un espacio pseudométrico y defina una relación de equivalencia en by if . Sea el espacio cociente y la proyección canónica que mapea cada punto de la clase de equivalencia que lo contiene. Defina la métrica en por para cada par . Se muestra fácilmente que de hecho es una métrica y define la topología del cociente .![{\displaystyle (X,d)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle\sim}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x\sim y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle d(x,y)=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X/\sim }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p:X\a Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle\rho}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \rho (a,b)=d(p^{-1}(a),p^{-1}(b))}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a,b\en Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle\rho}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle\rho}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- ^ Simón, Barry (2015). Un curso integral en análisis . Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-1470410995.
Referencias