En matemáticas , un conjunto insignificante es un conjunto lo suficientemente pequeño como para ignorarlo con algún propósito. Como ejemplos comunes, los conjuntos finitos se pueden ignorar al estudiar el límite de una secuencia , y los conjuntos nulos se pueden ignorar al estudiar la integral de una función medible .
Los conjuntos insignificantes definen varios conceptos útiles que se pueden aplicar en diversas situaciones, como verdad en casi todas partes . Para que funcionen, generalmente sólo es necesario que los conjuntos insignificantes formen un ideal ; es decir, que el conjunto vacío sea despreciable, la unión de dos conjuntos despreciables sea despreciable y cualquier subconjunto de un conjunto despreciable sea despreciable. Para algunos propósitos, también necesitamos que este ideal sea un ideal sigma , de modo que las uniones contables de conjuntos insignificantes también lo sean. Si I y J son ambos ideales de subconjuntos del mismo conjunto X , entonces se puede hablar de subconjuntos I -despreciables y J -despreciables .
Lo opuesto a un conjunto insignificante es una propiedad genérica , que tiene varias formas.
Sea X el conjunto N de números naturales y sea despreciable un subconjunto de N si es finito . Entonces los conjuntos insignificantes forman un ideal. Esta idea se puede aplicar a cualquier conjunto infinito ; pero si se aplica a un conjunto finito, cada subconjunto será insignificante, lo cual no es una noción muy útil.
O sea X un conjunto incontable y un subconjunto de X sea insignificante si es contable . Entonces los conjuntos insignificantes forman un ideal sigma.
Sea X un espacio mensurable equipado con una medida m, y sea un subconjunto de X insignificante si es m - nulo . Entonces los conjuntos insignificantes forman un ideal sigma. Cada ideal sigma en X puede recuperarse de esta manera colocando una medida adecuada en X , aunque la medida puede ser bastante patológica.
Sea X el conjunto R de números reales , y sea un subconjunto A de R insignificante si para cada ε > 0, [1] existe una colección finita o contable I 1 , I 2 ,… de intervalos (posiblemente superpuestos) que satisfacen :
y
Este es un caso especial del ejemplo anterior, que utiliza la medida de Lebesgue , pero descrito en términos elementales.
Sea X un espacio topológico y sea despreciable un subconjunto si es de primera categoría , es decir, si es una unión contable de conjuntos no densos en ninguna parte (donde un conjunto no es denso en ninguna parte si no lo es en ninguna parte abierta) . colocar ). Entonces los conjuntos insignificantes forman un ideal sigma.
Sea X un conjunto dirigido y un subconjunto de X sea insignificante si tiene un límite superior . Entonces los conjuntos insignificantes forman un ideal. El primer ejemplo es un caso especial de esto que utiliza el orden habitual de N .
En una estructura tosca , los conjuntos controlados son insignificantes.
Sea X un conjunto y sea I un ideal de subconjuntos insignificantes de X. Si p es una proposición sobre los elementos de X , entonces p es verdadera en casi todas partes si el conjunto de puntos donde p es verdadera es el complemento de un conjunto insignificante. Es decir, p puede no ser siempre verdadero, pero es falso tan raramente que esto puede ignorarse para los propósitos que nos ocupan.
Si f y g son funciones desde X en el mismo espacio Y , entonces f y g son equivalentes si son iguales en casi todas partes. Para que el párrafo introductorio sea preciso, entonces, sea X N y los conjuntos insignificantes sean los conjuntos finitos. Entonces f y g son secuencias. Si Y es un espacio topológico , entonces f y g tienen el mismo límite, o ambos no tienen ninguno. (Cuando generalizas esto a conjuntos dirigidos, obtienes el mismo resultado, pero para redes ). O bien, sea X un espacio de medida y sean conjuntos insignificantes los conjuntos nulos. Si Y es la recta real R , entonces f y g tienen la misma integral o ninguna integral está definida.
