Conjunto Smith-Volterra-Cantor

Después de eliminar los intervalos negros, los puntos blancos que quedan son un conjunto nada denso de medida 1/2.

En matemáticas , el conjunto Smith-Volterra-Cantor ( SVC ), el conjunto ε-Cantor ^[1] o el conjunto gordo de Cantor es un ejemplo de un conjunto de puntos en la línea real que no es denso en ninguna parte (en particular, no contiene intervalos ). , aún tiene medida positiva . El conjunto Smith-Volterra-Cantor lleva el nombre de los matemáticos Henry Smith , Vito Volterra y Georg Cantor . En un artículo de 1875, Smith analizó un conjunto de medidas positivas en ninguna parte denso en la recta real, ^[2] y Volterra presentó un ejemplo similar en 1881. ^[3] El conjunto de Cantor tal como lo conocemos hoy siguió en 1883. El Smith– El conjunto de Volterra-Cantor es topológicamente equivalente al conjunto de Cantor de tercios medios .

Construcción

De manera similar a la construcción del conjunto de Cantor , el conjunto de Smith-Volterra-Cantor se construye eliminando ciertos intervalos del intervalo unitario. ${\displaystyle [0,1].}$

El proceso comienza quitando el 1/4 central del intervalo (lo mismo que quitar 1/8 a cada lado del punto medio en 1/2) para que el conjunto restante sea ${\displaystyle [0,1]}$

$${\displaystyle \left[0,{\tfrac {3}{8}}\right]\cup \left[{\tfrac {5}{8}},1\right].}$$

Los siguientes pasos consisten en eliminar subintervalos de ancho del medio de cada uno de los intervalos restantes. Entonces, para el segundo paso se eliminan los intervalos y , dejando ${\displaystyle 1/4^{n}}$ ${\displaystyle 2^{n-1}}$ ${\displaystyle (5/32,7/32)}$ ${\displaystyle (25/32,27/32)}$

$${\displaystyle \left[0,{\tfrac {5}{32}}\right]\cup \left[{\tfrac {7}{32}},{\tfrac {3}{8}}\right]\cup \left[{\tfrac {5}{8}},{\tfrac {25}{32}}\right]\cup \left[{\tfrac {27}{32}},1\right].}$$

Siguiendo indefinidamente con esta eliminación, el conjunto de Smith-Volterra-Cantor es entonces el conjunto de puntos que nunca se eliminan. La siguiente imagen muestra el conjunto inicial y cinco iteraciones de este proceso.

Cada iteración posterior en la construcción del conjunto Smith-Volterra-Cantor elimina proporcionalmente menos de los intervalos restantes. Esto contrasta con el conjunto de Cantor , donde la proporción eliminada de cada intervalo permanece constante. Por tanto, el conjunto de Smith-Volterra-Cantor tiene medida positiva mientras que el conjunto de Cantor tiene medida cero.

Propiedades

Por construcción, el conjunto Smith-Volterra-Cantor no contiene intervalos y, por tanto, tiene un interior vacío. También es la intersección de una secuencia de conjuntos cerrados , lo que significa que es cerrada. Durante el proceso, intervalos de longitud total

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{n}}{2^{2n+2}}}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1}{2}}\,}$$

límitemedida de Lebesgue ${\displaystyle [0,1],}$

Otros conjuntos gordos de Cantor

En general, se puede eliminar de cada subintervalo restante en el ésimo paso del algoritmo y terminar con un conjunto tipo Cantor. El conjunto resultante tendrá medida positiva si y sólo si la suma de la secuencia es menor que la medida del intervalo inicial. Por ejemplo, supongamos que los intervalos medios de longitud se eliminan para cada iteración, para algunos Entonces, el conjunto resultante tiene medida de Lebesgue ${\displaystyle r_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a^{n}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0\leq a\leq {\dfrac {1}{3}}.}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}1-\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a^{n+1}&=1-a\sum _{n=0}^{\infty }(2a)^{n}\\[5pt]&=1-a{\frac {1}{1-2a}}\\[5pt]&={\frac {1-3a}{1-2a}}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 1/3}$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle a>1/3}$

Los productos cartesianos de conjuntos de Smith-Volterra-Cantor se pueden utilizar para encontrar conjuntos totalmente desconectados en dimensiones superiores con medidas distintas de cero. Aplicando el teorema de Denjoy-Riesz a un conjunto bidimensional de este tipo, es posible encontrar una curva de Osgood , una curva de Jordan tal que los puntos de la curva tengan área positiva. ^[4]

Ver también

• El conjunto Smith-Volterra-Cantor se utiliza en la construcción de la función de Volterra (ver enlace externo).
• El conjunto Smith-Volterra-Cantor es un ejemplo de un conjunto compacto que no es medible por Jordan; consulte la medida de Jordan#Extensión a conjuntos más complicados .
• La función indicadora del conjunto Smith-Volterra-Cantor es un ejemplo de una función acotada que no es integrable de Riemann en (0,1) y, además, no es igual en casi todas partes a una función integrable de Riemann, consulte Integral de Riemann#Ejemplos .
• Lista de topologías  - Lista de topologías concretas y espacios topológicos

Referencias

1. Aliprantis y Burkinshaw (1981), Principios del análisis real
2. Smith, Henry JS (1874). "Sobre la integración de funciones discontinuas". Actas de la Sociedad Matemática de Londres. Primera serie. 6: 140-153
3. Ponce Campuzano, Juan; Maldonado, Miguel (2015). "Construcción de Vito Volterra de una función no constante con una derivada acotada y no integrable de Riemann". Boletín BSHM de la Sociedad Británica de Historia de las Matemáticas . 30 (2): 143-152. doi :10.1080/17498430.2015.1010771. S2CID  34546093.
4. Balcerzak, M.; Kharazishvili, A. (1999), "Sobre uniones e intersecciones incontables de conjuntos medibles", Georgian Mathematical Journal , 6 (3): 201–212, doi :10.1023/A:1022102312024, MR  1679442.