Red vectorial topológica

En matemáticas, específicamente en análisis funcional y teoría del orden , una red vectorial topológica es un espacio vectorial topológico de Hausdorff (TVS) que tiene un orden parcial que lo convierte en una red vectorial que posee una base de vecindad en el origen que consta de conjuntos sólidos . ^[1] Las redes vectoriales ordenadas tienen aplicaciones importantes en la teoría espectral . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$

Definición

Si es una red vectorial, entonces por operaciones de red vectorial nos referimos a los siguientes mapas: ${\displaystyle X}$

1. los tres mapas de sí mismo definidos por , , y ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\mapsto |x|}$ ${\displaystyle x\mapsto x^{+}}$ ${\displaystyle x\mapsto x^{-}}$
2. los dos mapas desde dentro definidos por y . ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto \sup _{}\{x,y\}}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto \inf _{}\{x,y\}}$

Si es un TVS sobre los reales y una red vectorial, entonces es localmente sólido si y solo si (1) su cono positivo es un cono normal y (2) las operaciones de la red vectorial son continuas. ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Si es una red vectorial y un espacio vectorial topológico ordenado que es un espacio de Fréchet en el que el cono positivo es un cono normal , entonces las operaciones de la red son continuas. ^[1] ${\displaystyle X}$

Si es un espacio vectorial topológico (TVS) y un espacio vectorial ordenado , entonces se llama localmente sólido si posee una base vecina en el origen que consta de conjuntos sólidos . ^[1] Una red vectorial topológica es un TVS de Hausdorff que tiene un orden parcial que la convierte en una red vectorial que es localmente sólida. ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$

Propiedades

Cada red vectorial topológica tiene un cono positivo cerrado y, por tanto, es un espacio vectorial topológico ordenado . ^[1] Denotemos el conjunto de todos los subconjuntos acotados de una red vectorial topológica con cono positivo y, para cualquier subconjunto , sea el casco saturado de . Entonces, el cono positivo de la red vectorial topológica es un cono estricto, ^[1] donde un cono estricto significa que es una subfamilia fundamental de , es decir, cada está contenido como un subconjunto de algún elemento de ). ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [S]_{C}:=(S+C)\cap (S-C)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \left\{[B]_{C}:B\in {\mathcal {B}}\right\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \left\{[B]_{C}:B\in {\mathcal {B}}\right\}}$

Si una red vectorial topológica tiene el orden completo , entonces cada banda está cerrada . ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Ejemplos

Los espacios L p ( ) son redes de Banach según su ordenamiento canónico. Estos espacios están ordenados por completo para . ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle p<\infty }$

Ver también

• Celosía de Banach  - Espacio de Banach con una estructura compatible de una celosía
• Celosía complementada
• Red de Fréchet  - Red de vectores topológicos
• Red vectorial localmente convexa
• celosía normada
• Espacio vectorial ordenado  : espacio vectorial con orden parcial
• Pseudocomplemento
• Espacio de Riesz  : espacio vectorial parcialmente ordenado, ordenado como una red

Referencias

1. Schaefer y Wolff 1999, págs.
2. Schaefer y Wolff 1999, págs. 215-222.

Bibliografía

• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.