Orden completada

Propiedad de subconjuntos de espacios vectoriales ordenados

En matemáticas, específicamente en teoría del orden y análisis funcional , se dice que un subconjunto de un espacio vectorial ordenado tiene un orden completo si para cada subconjunto no vacío de ese está el orden acotado (es decir, contenido en un intervalo, que es un conjunto de la forma para algunos ), el supremo ' y el mínimo existen y son elementos de Un espacio vectorial ordenado se llama orden completo , Dedekind completo , una red vectorial completa o un espacio de Riesz completo , si es de orden completo como un subconjunto de en sí mismo, ^{[1] [2]} en cuyo caso es necesariamente una red vectorial . Se dice que un espacio vectorial ordenado tiene un orden contable completo si cada subconjunto contable acotado arriba tiene un supremo. ^[1] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle [a,b]:=\{x\in X:a\leq x{\text{ and }}x\leq b\},}$ ${\displaystyle a,b\in A}$ ${\displaystyle \sup S}$ ${\displaystyle \inf S}$ ${\displaystyle A.}$

Ser un espacio vectorial de orden completo es una propiedad importante que se utiliza con frecuencia en la teoría de redes vectoriales topológicas .

Ejemplos

El orden dual de una red vectorial es una red vectorial de orden completo según su orden canónico. ^[1]

Si es una red vectorial topológica localmente convexa, entonces el dual fuerte es una red vectorial topológica localmente convexa de orden completo bajo su orden canónico. ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$

Cada red vectorial topológica reflexiva localmente convexa tiene un orden completo y es un TVS completo. ^[3]

Propiedades

Si es una red vectorial de orden completo , entonces para cualquier subconjunto es la suma directa ordenada de la banda generada por y de la banda de todos los elementos que son disjuntos de ^[1] Para cualquier subconjunto de la banda generada por es ^[1] Si y son celosía disjunta entonces la banda generada por contiene y es celosía disjunta de la banda generada por la cual contiene ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\perp }}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\perp \perp }.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \{x\},}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \{y\},}$ ${\displaystyle x.}$

Ver también

• Red vectorial  : espacio vectorial parcialmente ordenado, ordenado como una redPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento

Referencias

1. Schaefer y Wolff 1999, págs.
2. Narici y Beckenstein 2011, págs. 139-153.
3. Schaefer y Wolff 1999, págs.

Bibliografía

• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.