Pseudocomplemento

En matemáticas , particularmente en teoría del orden , un pseudocomplemento es una generalización de la noción de complemento . En una red L con el elemento inferior 0, se dice que un elemento x ∈ L tiene un pseudocomplemento si existe un elemento mayor x * ∈ L con la propiedad de que x ∧ x * = 0. Más formalmente, x * = max{ y ∈ L | x ∧ y = 0 }. La red L en sí se llama red pseudocomplementada si cada elemento de L es pseudocomplementado. Cada red pseudocomplementada está necesariamente acotada , es decir, también tiene un 1. Dado que el pseudocomplemento es único por definición (si existe), una red pseudocomplementada puede dotarse de una operación unaria * mapeando cada elemento a su pseudocomplemento; esta estructura a veces se denomina p -álgebra . ^{[1] [2]} Sin embargo, este último término puede tener otros significados en otras áreas de las matemáticas.

Propiedades

En una p -álgebra L , para todo ^{[1] [2]} ${\displaystyle x,y\in L:}$

• La aplicación x ↦ x * es antitono . En particular, 0* = 1 y 1* = 0.
• El mapa x ↦ x ** es un cierre .
• x * = x ***.
• ( x ∨ y )* = x * ∧ y *.
• ( x ∧ y )** = x ** ∧ y **.

El conjunto S ( L ) ≝ { x ** | x ∈ L } se llama esqueleto de L . S ( L ) es una subsemired ∧- de L y junto con x ∪ y = ( x ∨ y )** = ( x * ∧ y *)* forma un álgebra booleana (el complemento en esta álgebra es *). ^{[1] [2]} En general, S ( L ) no es una subred de L . ^[2] En una p -álgebra distributiva , S ( L ) es el conjunto de elementos complementarios de L . ^[1]

Todo elemento x con la propiedad x * = 0 (o equivalentemente, x ** = 1) se llama denso . Todo elemento de la forma x ∨ x * es denso. D ( L ), el conjunto de todos los elementos densos en L es un filtro de L . ^{[1] [2]} Una p -álgebra distributiva es booleana si y sólo si D ( L ) = {1}. ^[1]

Las celosías pseudocomplementadas forman una variedad ; de hecho, también lo hacen las semiredes pseudocomplementadas. ^[3]

Ejemplos

• Toda red distributiva finita está pseudocomplementada. ^[1]
• Cada álgebra de Stone está pseudocomplementada. De hecho, un álgebra de Stone se puede definir como una red distributiva pseudocomplementada L en la que cualquiera de las siguientes afirmaciones equivalentes es válida para todos ^[1] ${\displaystyle x,y\in L:}$
  • S ( L ) es una subred de L ;
  • ( x ∧ y )* = x * ∨ y *;
  • ( x ∨ y )** = x ** ∨ y **;
  • x * ∨ x ** = 1.
• Cada álgebra de Heyting está pseudocomplementada. ^[1]
• Si X es un espacio topológico , la topología (conjunto abierto) en X es una red pseudocomplementada (y distributiva) en la que el encuentro y la unión son la unión e intersección habitual de conjuntos abiertos. El pseudocomplemento de un conjunto abierto A es el interior del conjunto complemento de A. Además, los elementos densos de esta red son exactamente los subconjuntos abiertos densos en el sentido topológico. ^[2]

Pseudocomplemento relativo

Un pseudocomplemento relativo de a con respecto a b es un elemento máximo c tal que a ∧ c ≤ b . Esta operación binaria se denota a → b . Una red con el pseudocomplemento para cada dos elementos se llama red implicativa o red brouweriana . En general, una red implicativa puede no tener un elemento mínimo. Si existe dicho elemento mínimo, entonces cada pseudocomplemento a * podría definirse utilizando un pseudocomplemento relativo como a → 0. ^[4]

Ver también

• Red vectorial topológica

Referencias

1. TS Blyth (2006). Celosías y estructuras algebraicas ordenadas . Medios de ciencia y negocios de Springer. Capítulo 7. Pseudocomplementación; Álgebras de Stone y Heyting. págs. 103-119. ISBN 978-1-84628-127-3.
2. Clifford Bergman (2011). Álgebra universal: fundamentos y temas seleccionados . Prensa CRC. págs. 63–70. ISBN 978-1-4398-5129-6.
3. Balbes, Raymond; Horn, Alfred (septiembre de 1970). "Celosías de piedra". Duque Matemáticas. J. 37 (3): 537–545. doi :10.1215/S0012-7094-70-03768-3.
4. Birkhoff, Garrett (1973). Teoría de la celosía (3ª ed.). AMS. pag. 44.