Espacio vectorial topológico ordenado

En matemáticas, específicamente en análisis funcional y teoría del orden , un espacio vectorial topológico ordenado , también llamado TVS ordenado , es un espacio vectorial topológico (TVS) X que tiene un orden parcial ≤ convirtiéndolo en un espacio vectorial ordenado cuyo cono positivo es un subconjunto cerrado de X . ^[1] Los TVS ordenados tienen aplicaciones importantes en la teoría espectral . ${\displaystyle C:=\left\{x\in X:x\geq 0\right\}}$

cono normal

Si C es un cono en un TVS X, entonces C es normal si , donde está el filtro de vecindad en el origen, y es el casco saturado con C de un subconjunto U de X. ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\left[{\mathcal {U}}\right]_{C}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle \left[{\mathcal {U}}\right]_{C}=\left\{\left[U\right]:U\in {\mathcal {U}}\right\}}$ ${\displaystyle [U]_{C}:=\left(U+C\right)\cap \left(U-C\right)}$

Si C es un cono en un TVS X (sobre números reales o complejos), entonces los siguientes son equivalentes: ^[2]

1. C es un cono normal.
2. Para cada filtro en X , si entonces . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \lim {\mathcal {F}}=0}$ ${\displaystyle \lim \left[{\mathcal {F}}\right]_{C}=0}$
3. Existe una base de vecindad en X tal que implica . ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \left[B\cap C\right]_{C}\subseteq B}$

y si X es un espacio vectorial sobre los reales entonces también: ^[2]

1. Existe una base de vecindad en el origen que consta de conjuntos convexos, equilibrados y saturados de C.
2. Existe una familia generadora de seminormas en X tal que para todos y . ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle p(x)\leq p(x+y)}$ ${\displaystyle x,y\in C}$ ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}}$

Si la topología en X es localmente convexa, entonces el cierre de un cono normal es un cono normal. ^[2]

Propiedades

Si C es un cono normal en X y B es un subconjunto acotado de X , entonces está acotado; en particular, cada intervalo está acotado. ^[2] Si X es Hausdorff, entonces todo cono normal en X es un cono propio. ^[2] ${\displaystyle \left[B\right]_{C}}$ ${\displaystyle [a,b]}$

Propiedades

• Sea X un espacio vectorial ordenado sobre los reales de dimensión finita. Entonces el orden de X es Arquímedes si y sólo si el cono positivo de X está cerrado para la topología única bajo la cual X es un TVS de Hausdorff. ^[1]
• Sea X un espacio vectorial ordenado sobre los reales con cono positivo C. Entonces los siguientes son equivalentes: ^[1]

1. el orden de X es regular.
2. C está secuencialmente cerrado para alguna topología TVS localmente convexa de Hausdorff en X y distingue puntos en X ${\displaystyle X^{+}}$
3. el orden de X es Arquímedes y C es normal para alguna topología TVS localmente convexa de Hausdorff en X.

Ver también

• Métrica generalizada  – Geometría métrica
• Topología de orden (análisis funcional)  - Topología de un espacio vectorial ordenado
• Campo ordenado  : objeto algebraico con una estructura ordenada
• Grupo ordenado  – Grupo con un pedido parcial compatiblePáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Anillo pedido  – anillo con un pedido total compatiblePáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Espacio vectorial ordenado  : espacio vectorial con orden parcial
• Espacio parcialmente ordenado  - Espacio topológico parcialmente ordenado
• Espacio de Riesz  : espacio vectorial parcialmente ordenado, ordenado como una red
• Red vectorial topológica
• Red vectorial  : espacio vectorial parcialmente ordenado, ordenado como una redPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento

Referencias

1. Schaefer y Wolff 1999, págs.
2. Schaefer y Wolff 1999, págs.

• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.