Cono saturado

En matemáticas, específicamente en teoría del orden y análisis funcional , si hay un cono en 0 en un espacio vectorial tal que entonces se dice que un subconjunto está saturado si donde Dado un subconjunto, el casco saturado de es el subconjunto saturado más pequeño de ese contiene ^[1] Si es una colección de subconjuntos de entonces ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0\in C,}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S=[S]_{C},}$ ${\displaystyle [S]_{C}:=(S+C)\cap (S-C).}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left[{\mathcal {F}}\right]_{C}:=\left\{[F]_{C}:F\in {\mathcal {F}}\right\}.}$

Si es una colección de subconjuntos de y si es un subconjunto de entonces es una subfamilia fundamental de si cada está contenido como un subconjunto de algún elemento de Si es una familia de subconjuntos de un TVS entonces un cono se llama cono si es una subfamilia fundamental de y es un cono estricto si es una subfamilia fundamental de ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \left\{{\overline {[G]_{C}}}:G\in {\mathcal {G}}\right\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \left\{[B]_{C}:B\in {\mathcal {B}}\right\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

${\displaystyle C}$Los conjuntos saturados juegan un papel importante en la teoría de espacios vectoriales topológicos ordenados y redes vectoriales topológicas .

Propiedades

Si es un espacio vectorial ordenado con cono positivo entonces ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle [S]_{C}=\bigcup \left\{[x,y]:x,y\in S\right\}.}$

El mapa está aumentando; es decir, si entonces Si es convexo entonces también lo es Cuando se considera como un campo vectorial entonces si está balanceado entonces también lo es ^[1] ${\displaystyle S\mapsto [S]_{C}}$ ${\displaystyle R\subseteq S}$ ${\displaystyle [R]_{C}\subseteq [S]_{C}.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [S]_{C}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [S]_{C}.}$

Si hay una base de filtro (o un filtro), entonces lo mismo ocurre con ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left[{\mathcal {F}}\right]_{C}:=\left\{[F]_{C}:F\in {\mathcal {F}}\right\}.}$

Ver también

• Celosía de Banach  - Espacio de Banach con una estructura compatible de una celosía
• Red de Fréchet  - Red de vectores topológicos
• Red vectorial localmente convexa
• Red vectorial  : espacio vectorial parcialmente ordenado, ordenado como una redPages displaying short descriptions of redirect targets

Referencias

1. Schaefer y Wolff 1999, págs.

Bibliografía

• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.