Espacio Riesz

Espacio vectorial parcialmente ordenado, ordenado como una red

En matemáticas , un espacio de Riesz , un espacio vectorial ordenado en red o una red vectorial es un espacio vectorial parcialmente ordenado donde la estructura de orden es una red .

Los espacios de Riesz llevan el nombre de Frigyes Riesz, quien los definió por primera vez en su artículo de 1928 Sur la décomposition des opérations fonctionelles linéaires .

Los espacios Riesz tienen una amplia gama de aplicaciones. Son importantes en la teoría de la medida , ya que los resultados importantes son casos especiales de resultados para espacios de Riesz. Por ejemplo, el teorema de Radon-Nikodym sigue como un caso especial del teorema espectral de Freudenthal . Los espacios de Riesz también han tenido aplicación en la economía matemática a través del trabajo del economista y matemático greco-estadounidense Charalambos D. Aliprantis .

Definición

Preliminares

Si es un espacio vectorial ordenado (que por definición es un espacio vectorial sobre los reales ) y si es un subconjunto de entonces un elemento es un límite superior (resp. límite inferior ) de if (resp. ) para todos Un elemento en es el mínimo límite superior o supremum (resp. límite inferior mayor o infimum ) de si es un límite superior (resp. un límite inferior) de y si es para cualquier límite superior (resp. cualquier límite inferior) de (resp. ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b\in X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\leq b}$ ${\displaystyle s\geq b}$ ${\displaystyle s\in S.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle a\geq b}$

Definiciones

Celosía vectorial reservada

Una red vectorial preordenada es un espacio vectorial preordenado en el que cada par de elementos tiene un supremo . ${\displaystyle E}$

Más explícitamente, una red vectorial preordenada es un espacio vectorial dotado de un preorden , tal que para cualquier : ${\displaystyle \,\leq ,\,}$ ${\displaystyle x,y,z\in E}$

1. Invariancia de traducción : implica ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle x+z\leq y+z.}$
2. Homogeneidad positiva : Para cualquier escalar implica ${\displaystyle 0\leq a,}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle ax\leq ay.}$
3. Para cualquier par de vectores existe un supremo (denotado ) con respecto al orden ${\displaystyle x,y\in E,}$ ${\displaystyle x\vee y}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \,(\leq ).\,}$

El preorden, junto con los elementos 1 y 2, que lo hacen "compatible con la estructura del espacio vectorial", forman un espacio vectorial preordenado. El elemento 3 dice que el pedido anticipado es una semired de unión . Debido a que el preorden es compatible con la estructura del espacio vectorial, se puede demostrar que cualquier par también tiene un mínimo , lo que también forma una semired de encuentro , por lo tanto, una red. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

Un espacio vectorial preordenado es una red vectorial preordenada si y sólo si satisface cualquiera de las siguientes propiedades equivalentes: ${\displaystyle E}$

1. Para cualquiera, su supremo existe en ${\displaystyle x,y\in E,}$ ${\displaystyle E.}$
2. Para cualquier su mínimo existe en ${\displaystyle x,y\in E,}$ ${\displaystyle E.}$
3. Para cualquiera, su mínimo y su supremo existen en ${\displaystyle x,y\in E,}$ ${\displaystyle E.}$
4. Para cualquiera existe en ^[1] ${\displaystyle x\in E,}$ ${\displaystyle \sup\{x,0\}}$ ${\displaystyle E.}$

Espacio de Riesz y celosías vectoriales

Un espacio de Riesz o una red vectorial es una red vectorial preordenada cuyo preorden es un orden parcial . De manera equivalente, es un espacio vectorial ordenado cuyo ordenamiento es una red .

Tenga en cuenta que muchos autores exigieron que una red vectorial fuera un espacio vectorial parcialmente ordenado (en lugar de simplemente un espacio vectorial preordenado), mientras que otros solo requieren que sea un espacio vectorial preordenado. De ahora en adelante asumiremos que cada espacio de Riesz y cada red vectorial es un espacio vectorial ordenado pero que una red vectorial preordenada no está necesariamente parcialmente ordenada.

Si es un espacio vectorial ordenado sobre cuyo cono positivo (los elementos ) se genera (es decir, tal que ), y si para cada uno existe o , entonces es una red vectorial. ^[2] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \,\geq 0}$ ${\displaystyle E=C-C}$ ${\displaystyle x,y\in C}$ ${\displaystyle \sup\{x,y\}}$ ${\displaystyle \inf\{x,y\}}$ ${\displaystyle E}$

Intervalos

Un intervalo de orden en un espacio vectorial parcialmente ordenado es un conjunto convexo de la forma. En un espacio vectorial real ordenado, todo intervalo de la forma está equilibrado . ^[3] De los axiomas 1 y 2 anteriores se deduce que e implica que se dice que un subconjunto es de orden acotado si está contenido en algún intervalo de orden. ^[3] Una unidad de orden de un espacio vectorial preordenado es cualquier elemento tal que el conjunto sea absorbente . ^[3] ${\displaystyle [a,b]=\{x:a\leq x\leq b\}.}$ ${\displaystyle [-x,x]}$ ${\displaystyle x,y\in [a,b]}$ ${\displaystyle t\in (0,1)}$ ${\displaystyle tx(1-t)y\in [a,b].}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [-x,x]}$

El conjunto de todos los funcionales lineales en un espacio vectorial preordenado que asigna cada intervalo de orden a un conjunto acotado se llama orden dual de y se denota por ^[3] Si un espacio es ordenado, entonces su orden dual es un subespacio vectorial de su algebraico doble . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{b}.}$

Un subconjunto de una red vectorial se llama orden completo si para cada subconjunto no vacío tal que está acotado en orden en ambos y existe y son elementos de Decimos que una red vectorial es de orden completo si es un subconjunto de orden completo de ^[4] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B\subseteq A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \sup B}$ ${\displaystyle \inf B}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E.}$

Clasificación

Los espacios de Riesz de dimensión finita se clasifican enteramente según la propiedad de Arquímedes :

Teorema : ^[5] Supongamos que es una red vectorial de dimensión finita. Si está ordenada por Arquímedes, entonces es (una red vectorial) isomorfa según su orden canónico. De lo contrario, existe un número entero que satisface tal que es isomorfo a donde tiene su orden canónico, es con el orden lexicográfico , y el producto de estos dos espacios tiene el orden del producto canónico. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 2\leq k\leq n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{L}^{k}\times \mathbb {R} ^{n-k}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-k}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{L}^{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$

El mismo resultado no se cumple en infinitas dimensiones. Para un ejemplo debido a Kaplansky , considere el espacio vectorial V de funciones en [0,1] que son continuas excepto en un número finito de puntos, donde tienen un polo de segundo orden. Este espacio está ordenado en red mediante la comparación puntual habitual, pero no se puede escribir como ℝ ^κ para ningún cardinal κ . ^[6] Por otro lado, la factorización epi-mono en la categoría de ℝ -espacios vectoriales también se aplica a los espacios de Riesz: cada espacio vectorial ordenado en celosía se inyecta en un cociente de ℝ ^κ por un subespacio sólido . ^[7]

Propiedades básicas

Todo espacio de Riesz es un espacio vectorial parcialmente ordenado , pero no todo espacio vectorial parcialmente ordenado es un espacio de Riesz.

Tenga en cuenta que para cualquier subconjunto de siempre que exista el supremum o el infimum (en cuyo caso ambos existen). ^[2] Si y entonces ^[2] Para todos en un espacio Riesz ^[4] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \sup A=-\inf(-A)}$ ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle y\geq 0}$ ${\displaystyle [0,x]+[0,y]=[0,x+y].}$ ${\displaystyle a,b,x,{\text{ and }}y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle a-\inf(x,y)+b=\sup(a-x+b,a-y+b).}$

Valor absoluto

Para cada elemento en un espacio de Riesz, el valor absoluto de denotado por se define como ^[4] donde esto satisface y Para cualquier número real tenemos y ^[4] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle |x|,}$ ${\displaystyle |x|:=\sup\{x,-x\},}$ ${\displaystyle -|x|\leq x\leq |x|}$ ${\displaystyle |x|\geq 0.}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle |rx|=|r||x|}$ ${\displaystyle |x+y|\leq |x|+|y|.}$

Desarticulación

Se dice que dos elementos en una red vectorial son disjuntos o disjuntos si en cuyo caso escribimos Dos elementos son disjuntos si y solo si Si son disjuntos entonces y dónde para cualquier elemento y Decimos que dos conjuntos y son disjuntos si y son disjuntos para todos y todos en cuyo caso escribimos ^[2] Si es el conjunto singleton entonces escribiremos en lugar de Para cualquier conjunto definimos el complemento disjunto como el conjunto ^[2] Los complementos disjuntos siempre son bandas , pero lo contrario no es cierto en general. Si es un subconjunto de lo que existe, y si es un subconjunto reticular que es disjunto de entonces es un retículo disjunto de ^[2] ${\displaystyle x{\text{ and }}y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \inf\{|x|,|y|\}=0,}$ ${\displaystyle x\perp y.}$ ${\displaystyle x{\text{ and }}y}$ ${\displaystyle \sup\{|x|,|y|\}=|x|+|y|.}$ ${\displaystyle x{\text{ and }}y}$ ${\displaystyle |x+y|=|x|+|y|}$ ${\displaystyle (x+y)^{+}=x^{+}+y^{+},}$ ${\displaystyle z,}$ ${\displaystyle z^{+}:=\sup\{z,0\}}$ ${\displaystyle z^{-}:=\sup\{-z,0\}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in B,}$ ${\displaystyle A\perp B.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{a\}}$ ${\displaystyle a\perp B}$ ${\displaystyle \{a\}\perp B.}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A^{\perp }:=\left\{x\in X:x\perp A\right\}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x=\sup A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \{x\}.}$

Representación como suma disjunta de elementos positivos.

Para cualquier let y donde, tenga en cuenta que ambos elementos son y con Entonces y son disjuntos, y es la representación única de como la diferencia de elementos disjuntos que son ^[2] Para todos y ^[2] Si y entonces Además, si y solo si y ^[2] ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x^{+}:=\sup\{x,0\}}$ ${\displaystyle x^{-}:=\sup\{-x,0\},}$ ${\displaystyle \geq 0}$ ${\displaystyle x=x^{+}-x^{-}}$ ${\displaystyle |x|=x^{+}+x^{-}.}$ ${\displaystyle x^{+}}$ ${\displaystyle x^{-}}$ ${\displaystyle x=x^{+}-x^{-}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \geq 0.}$ ${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle \left|x^{+}-y^{+}\right|\leq |x-y|}$ ${\displaystyle x+y=\sup\{x,y\}+\inf\{x,y\}.}$ ${\displaystyle y\geq 0}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle x^{+}\leq y.}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle x^{+}\leq y^{+}}$ ${\displaystyle x^{-}\leq y^{-}.}$

Todo espacio de Riesz es una red distributiva ; es decir, tiene las siguientes propiedades equivalentes ^{[Nota 1]} : ^[8] para todos ${\displaystyle x,y,z\in X}$

1. ${\displaystyle x\wedge (y\vee z)=(x\wedge y)\vee (x\wedge z)}$
2. ${\displaystyle x\vee (y\wedge z)=(x\vee y)\wedge (x\vee z)}$
3. ${\displaystyle (x\wedge y)\vee (y\wedge z)\vee (z\wedge x)=(x\vee y)\wedge (y\vee z)\wedge (z\vee x).}$
4. ${\displaystyle x\wedge z=y\wedge z}$y siempre implicar ${\displaystyle x\vee z=y\vee z}$ ${\displaystyle x=y.}$

Todo espacio de Riesz tiene la propiedad de descomposición de Riesz .

Convergencia de órdenes

Hay varias formas significativas y no equivalentes de definir la convergencia de secuencias o redes con respecto a la estructura de orden de un espacio de Riesz. Se dice que una secuencia en un espacio de Riesz converge monótonamente si es una secuencia monótona decreciente (resp. creciente) y su mínimo (supremo) existe en y se denota (resp. ). ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x_{n}\downarrow x}$ ${\displaystyle x_{n}\uparrow x}$

Se dice que una secuencia en un espacio de Riesz converge si existe una secuencia convergente monótona tal que ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \left\{p_{n}\right\}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \left|x_{n}-x\right|<p_{n}\downarrow 0.}$

Si es un elemento positivo de un espacio de Riesz, entonces se dice que una secuencia en converge u-uniformemente si para cualquiera existe un tal que para todos ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \left|x_{n}-x\right|<ru}$ ${\displaystyle n>N.}$

Subespacios

La estructura adicional proporcionada por estos espacios proporciona distintos tipos de subespacios de Riesz. La colección de cada tipo de estructura en un espacio de Riesz (por ejemplo, la colección de todos los ideales) forma una red distributiva .

Subredes

Si es una red vectorial, entonces una subred vectorial es un subespacio vectorial tal al que pertenece todo (donde se toma este supremo ). ^[4] Puede suceder que un subespacio de sea una red vectorial bajo su orden canónico pero no sea una subred vectorial de ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,y\in F,}$ ${\displaystyle \sup\{x,y\}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Ideales

Un subespacio vectorial de un espacio de Riesz se llama ideal si es sólido , es decir, si es para e implica que ^[4] La intersección de una colección arbitraria de ideales es nuevamente un ideal, lo que permite la definición de un ideal más pequeño que contiene algunos no -subconjunto vacío de y se llama ideal generado por Un ideal generado por un singleton se llama ideal principal . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f\in I}$ ${\displaystyle g\in E,}$ ${\displaystyle |g|\leq |f|}$ ${\displaystyle g\in I.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle A.}$

Bandas e ideales σ

Una banda en un espacio de Riesz se define como un ideal con la propiedad adicional de que para cualquier elemento cuyo valor absoluto sea el supremo de un subconjunto arbitrario de elementos positivos que en realidad está en - Los ideales se definen de manera similar, con las palabras 'subconjunto arbitrario' reemplazado por 'subconjunto contable'. Es evidente que cada banda es un ideal, pero lo contrario no es cierto en general. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f\in E}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$

La intersección de una familia arbitraria de bandas es nuevamente una banda. Al igual que con los ideales, para cada subconjunto no vacío de existe una banda más pequeña que contiene ese subconjunto, llamada banda generada por Una banda generada por un singleton se llama banda principal . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle A.}$

Bandas de proyección

Una banda en un espacio de Riesz se llama banda de proyección , si significa que cada elemento puede escribirse de forma única como una suma de dos elementos, con y Entonces también existe un idempotente lineal positivo, o proyección , tal que ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle E=B\oplus B^{\bot },}$ ${\displaystyle f\in E}$ ${\displaystyle f=u+v}$ ${\displaystyle u\in B}$ ${\displaystyle v\in B^{\bot }.}$ ${\displaystyle P_{B}:E\to E,}$ ${\displaystyle P_{B}(f)=u.}$

La colección de todas las bandas de proyección en un espacio de Riesz forma un álgebra de Boole . Algunos espacios no tienen bandas de proyección no triviales (por ejemplo, ), por lo que este álgebra booleana puede ser trivial. ${\displaystyle C([0,1])}$

Lo completo

Una red vectorial está completa si cada subconjunto tiene tanto un supremo como un mínimo.

Una red vectorial es Dedekind completa si cada conjunto con un límite superior tiene un supremo y cada conjunto con un límite inferior tiene un mínimo.

Una red vectorial de orden completo y orden regular cuya imagen canónica en su orden bidual es de orden completo se llama mínima y se dice que es de tipo mínimo . ^[4]

Subespacios, cocientes y productos.

Subredes

Si es un subespacio vectorial de un espacio vectorial preordenado , entonces el orden canónico inducido por el cono positivo de es el preorden inducido por el cono convexo puntiagudo donde este cono es propio si es propio (es decir, si ). ^[3] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C\cap M,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C\cap (-C)=\varnothing }$

Una subred de una red vectorial es un subespacio vectorial tal que para todos pertenece (es importante tener en cuenta que este supremo se toma en y no en ). ^[3] Si con entonces el subespacio vectorial bidimensional definido por todos los mapas de la forma (donde ) es una red vectorial bajo el orden inducido pero no es una subred de ^[5] Esto a pesar de ser un vector topológico ordenado de Arquímedes completo celosía . Además, existe una subred vectorial de este espacio tal que tiene un interior vacío pero no tiene una función lineal positiva que se puede extender a una función lineal positiva en ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,y\in M,}$ ${\displaystyle \sup _{}{}_{X}(x,y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X=L^{p}([0,1],\mu )}$ ${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t\mapsto at+b}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N\cap C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X.}$

Redes de cocientes

Sea un subespacio vectorial de un espacio vectorial ordenado que tiene un cono positivo , sea la proyección canónica y sea entonces un cono que induce un preordenamiento canónico en el espacio cociente. Si es un cono propio, entonces se convierte en un espacio vectorial ordenado. ^[3] Si está saturado, entonces define el orden canónico de ^[5] Nota que proporciona un ejemplo de un espacio vectorial ordenado donde no hay un cono adecuado. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle \pi :X\to X/M}$ ${\displaystyle {\hat {C}}:=\pi (C).}$ ${\displaystyle {\hat {C}}}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle X/M.}$ ${\displaystyle {\hat {C}}}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle {\hat {C}}}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\hat {C}}}$ ${\displaystyle X/M.}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} _{0}^{2}}$ ${\displaystyle \pi (C)}$

Si es una red vectorial y es un subespacio vectorial sólido de entonces define el orden canónico de bajo el cual hay una red vectorial y el mapa canónico es un homomorfismo de red vectorial. Además, si el orden es completo y es una banda entonces es isomorfo con ^[5] Además, si es sólido entonces la topología de orden de es el cociente de la topología de orden en ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\hat {C}}}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle L/M}$ ${\displaystyle \pi :X\to X/M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle M^{\bot }.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle X.}$

Si es una red vectorial topológica y es una subred sólida cerrada, entonces también es una red vectorial topológica. ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/L}$

Producto

Si es cualquier conjunto, entonces el espacio de todas las funciones desde dentro está ordenado canónicamente por el cono adecuado ^[3] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X^{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{f\in X^{S}:f(s)\in C{\text{ for all }}s\in S\right\}.}$

Supongamos que es una familia de espacios vectoriales preordenados y que el cono positivo de es. Entonces es un cono convexo puntiagudo en el que se determina un orden canónico ; es un cono adecuado si todos son conos adecuados. ^[3] ${\displaystyle \left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$ ${\displaystyle X_{\alpha }}$ ${\displaystyle C_{\alpha }.}$ ${\displaystyle C:=\prod _{\alpha }C_{\alpha }}$ ${\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha },}$ ${\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C_{\alpha }}$

Suma directa algebraica

La suma directa algebraica de es un subespacio vectorial de que recibe el ordenamiento del subespacio canónico heredado de ^[3] Si hay subespacios vectoriales ordenados de un espacio vectorial ordenado , entonces es la suma directa ordenada de estos subespacios si se cumple el isomorfismo algebraico canónico de onto (con el orden canónico del producto) es un isomorfismo de orden . ^[3] ${\displaystyle \bigoplus _{\alpha }X_{\alpha }}$ ${\displaystyle \left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$ ${\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}$ ${\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }.}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}$

Espacios de mapas lineales.

Se dice que un cono en un espacio vectorial genera si es igual a todo el espacio vectorial. ^[3] Si y son dos espacios vectoriales ordenados no triviales con respectivos conos positivos y luego se generan en si y solo si el conjunto es un cono propio en el cual está el espacio de todos los mapas lineales desde En este caso, el orden definido por se llama orden canónico de ^[3] Más generalmente, si hay algún subespacio vectorial de tal que sea un cono propio, el orden definido por se llama orden canónico de ^[3] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C-C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q,}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C=\{u\in \operatorname {L} (X;W):u(P)\subseteq Q\}}$ ${\displaystyle \operatorname {L} (X;W),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \operatorname {L} (X;W).}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {L} (X;W)}$ ${\displaystyle C\cap M}$ ${\displaystyle C\cap M}$ ${\displaystyle M.}$

Una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales preordenados y con respectivos conos positivos se llama positiva si Si y son redes vectoriales con orden completo y si es el conjunto de todas las aplicaciones lineales positivas desde dentro, entonces el subespacio de es una red vectorial de orden completo bajo su orden canónico; además, contiene exactamente aquellos mapas lineales que mapean intervalos de orden de en intervalos de orden de ^[5] ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle u(X)\subseteq D.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle M:=H-H}$ ${\displaystyle \operatorname {L} (X;Y)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Funcionales positivos y el orden dual.

Una función lineal en un espacio vectorial preordenado se llama positiva si implica El conjunto de todas las formas lineales positivas en un espacio vectorial, denotado por es un cono igual al polar de El orden dual de un espacio vectorial ordenado es el conjunto, denotado por definido por Aunque existen espacios vectoriales ordenados para los cuales la igualdad de conjuntos no se cumple. ^[3] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle f(x)\geq 0.}$ ${\displaystyle C^{*},}$ ${\displaystyle -C.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{+},}$ ${\displaystyle X^{+}:=C^{*}-C^{*}.}$ ${\displaystyle X^{+}\subseteq X^{b},}$

Homomorfismo de red vectorial

Supongamos que y son redes vectoriales preordenadas con conos positivos y y sea un mapa. Entonces es un homomorfismo de red vectorial preordenado si es lineal y se cumple cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ^{[9] [5]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$

1. ${\displaystyle u}$conserva las operaciones de red
2. ${\displaystyle u(\sup\{x,y\})=\sup\{u(x),u(y)\}}$para todos ${\displaystyle x,y\in X.}$
3. ${\displaystyle u(\inf\{x,y\})=\inf\{u(x),u(y)\}}$para todos ${\displaystyle x,y\in X.}$
4. ${\displaystyle u(|x|)=\sup \left\{u\left(x^{+}\right),u\left(x^{-}\right)\right\}}$para todos ${\displaystyle x\in X.}$
5. ${\displaystyle 0=\inf \left\{u\left(x^{+}\right),u\left(x^{-}\right)\right\}}$para todos ${\displaystyle x\in X.}$
6. ${\displaystyle u(C)=D}$y es un subconjunto sólido de ^[5] ${\displaystyle u^{-1}(0)}$ ${\displaystyle X.}$
7. si entonces ^[1] ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle u(x)\geq 0.}$
8. ${\displaystyle u}$es preservar el orden. ^[1]

Un homomorfismo de red vectorial preordenado que es biyectivo es un isomorfismo de red vectorial preordenado .

Un homomorfismo de red vectorial preordenado entre dos espacios de Riesz se llama homomorfismo de red vectorial ; si también es biyectivo, entonces se llama isomorfismo de red vectorial .

Si es un funcional lineal distinto de cero en una red vectorial con cono positivo , entonces lo siguiente es equivalente: ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$

1. ${\displaystyle u:X\to \mathbb {R} }$es un homomorfismo de red vectorial sobreyectivo.
2. ${\displaystyle 0=\inf \left\{u\left(x^{+}\right),u\left(x^{-}\right)\right\}}$para todos ${\displaystyle x\in X.}$
3. ${\displaystyle u\geq 0}$y es un hiperplano sólido en ${\displaystyle u^{-1}(0)}$ ${\displaystyle X.}$
4. ${\displaystyle u'}$genera un rayo extremo del cono en ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X^{*}.}$

Un rayo extremo del cono es un conjunto donde no es cero, y si es tal que entonces para algunos tal que ^[9] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \{rx:r\geq 0\}}$ ${\displaystyle x\in C,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y\in C}$ ${\displaystyle x-y\in C}$ ${\displaystyle y=sx}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle 0\leq s\leq 1.}$

Un homomorfismo de red vectorial desde dentro es un homomorfismo topológico cuando y se les dan sus respectivas topologías de orden . ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Propiedades de proyección

Existen numerosas propiedades de proyección que pueden tener los espacios de Riesz. Se dice que un espacio de Riesz tiene la propiedad de proyección (principal) si cada banda (principal) es una banda de proyección.

El llamado teorema de inclusión principal relaciona las siguientes propiedades adicionales con la propiedad de proyección (principal): ^[10] Un espacio de Riesz es...

• Dedekind Complete (DC) si todo conjunto no vacío, acotado arriba, tiene un supremo ;
• Super Dedekind Complete (SDC) si cada conjunto no vacío, acotado arriba, tiene un subconjunto contable con supremo idéntico;
• Dedekind -completo si cada conjunto contable no vacío, acotado arriba, tiene un supremo; y ${\displaystyle \sigma }$
• Propiedad de Arquímedes si, para cada par de elementos positivos y , siempre que la desigualdad sea válida para todos los números enteros , . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle nx\leq y}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x=0}$

Entonces estas propiedades se relacionan de la siguiente manera. COSUDE implica CD; DC implica tanto la integridad de Dedekind como la propiedad de proyección; Tanto la integridad de Dedekind como la propiedad de proyección implican por separado la propiedad de proyección principal; y la propiedad de proyección principal implica la propiedad de Arquímedes . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$

Ninguna de las implicaciones inversas se cumple, pero la integridad de Dedekind y la propiedad de proyección juntas implican DC. ${\displaystyle \sigma }$

Ejemplos

• El espacio de funciones continuas de valores reales con soporte compacto en un espacio topológico con el orden parcial puntual definido por cuando para todos es un espacio de Riesz. Es de Arquímedes, pero normalmente no tiene la propiedad de proyección principal a menos que satisfaga condiciones adicionales (por ejemplo, estar extremadamente desconectado ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\leq g}$ ${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle X}$
• Cualquier espacio con el orden parcial puntual ( casi en todas partes ) es un espacio de Riesz completo de Dedekind. ${\displaystyle L^{p}}$
• El espacio con el orden lexicográfico es un espacio de Riesz no arquimediano. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Propiedades

• Los espacios de Riesz son grupos ordenados en celosía.
• Todo espacio de Riesz es una red distributiva.

Ver también

• Cono convexo  : conjunto matemático cerrado bajo combinaciones lineales positivas
• Infimum y supremum  : límite inferior máximo y límite superior mínimo
• Espacio vectorial ordenado  : espacio vectorial con orden parcial
• Espacio parcialmente ordenado  - Espacio topológico parcialmente ordenado

Notas

1. Las condiciones son equivalentes sólo cuando se aplican a todos los triples en una red. Hay elementos en (por ejemplo) N ₅ que satisfacen la primera ecuación pero no la segunda.

Referencias

1. Narici y Beckenstein 2011, págs.
2. Schaefer y Wolff 1999, págs. 74–78.
3. Schaefer y Wolff 1999, págs. 205-209.
4. Schaefer y Wolff 1999, págs.
5. Schaefer y Wolff 1999, págs. 250-257.
6. Birkhoff 1967, pág. 240.
7. Fremlin, Teoría de la medida , afirmación 352L.
8. Birkhoff, Garrett (1967). Teoría de la celosía . Publicaciones del Coloquio (3ª ed.). Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 11.ISBN​ 0-8218-1025-1.§6, Teorema 9
9. Schaefer y Wolff 1999, págs.
10. Luxemburgo, WAJ; Zaanen, AC (1971). Espacios Riesz: vol. 1. Londres: Holanda Septentrional. págs. 122-138. ISBN 0720424518. Consultado el 8 de enero de 2018 .

Bibliografía

• Bourbaki, Nicolás ; Elementos de las Matemáticas: Integración. Capítulos 1 a 6 ; ISBN 3-540-41129-1 
• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Riesz, Frigyes; Sur la décomposition des opérations fonctionelles linéaires , Congreso Atti. internaz. mathematici (Bolonia, 1928), 3, Zanichelli (1930) págs. 143-148
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Sobolev, VI (2001) [1994], "Riesz space", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , ISBN 978-1-4020-0609-8
• Zaanen, Adriaan C. (1996), Introducción a la teoría del operador en espacios de Riesz , Springer , ISBN 3-540-61989-5

enlaces externos

• Espacio Riesz en la Enciclopedia de Matemáticas