Espacio vectorial ordenado de Arquímedes

Una relación binaria en un espacio vectorial

En matemáticas, específicamente en teoría del orden , una relación binaria en un espacio vectorial sobre números reales o complejos se llama Arquímedes si para todos siempre que exista algo tal que para todos los números enteros positivos entonces necesariamente Un espacio vectorial (pre)ordenado de Arquímedes es un ( espacio vectorial pre) ordenado cuyo orden es de Arquímedes. ^[1] Un espacio vectorial preordenado se llama casi Arquímedes si para todos siempre que exista tal que para todos los números enteros positivos entonces ^[2] ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle nx\leq y}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle x\leq 0.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle -n^{-1}y\leq x\leq n^{-1}y}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle x=0.}$

Caracterizaciones

Un espacio vectorial preordenado con una unidad de orden es preordenado de Arquímedes si y sólo si para todos los números enteros no negativos implica ^[3] ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle nx\leq u}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x\leq 0.}$

Propiedades

Sea un espacio vectorial ordenado sobre los reales de dimensión finita. Entonces el orden de es Arquímedes si y sólo si el cono positivo de está cerrado para la topología única bajo la cual se encuentra un TVS de Hausdorff. ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Norma de unidad de pedido

Supongamos que es un espacio vectorial ordenado sobre los reales con una unidad de orden cuyo orden es Arquímedes y sea Entonces el funcional de Minkowski de (definido por ) es una norma llamada norma de unidad de orden . Satisface y la bola unitaria cerrada determinada por es igual a (es decir, ^[3] ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle U=[-u,u].}$ ${\displaystyle p_{U}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p_{U}(x):=\inf \left\{r>0:x\in r[-u,u]\right\}}$ ${\displaystyle p_{U}(u)=1}$ ${\displaystyle p_{U}}$ ${\displaystyle [-u,u]}$ ${\displaystyle [-u,u]=\{x\in X:p_{U}(x)\leq 1\}.}$

Ejemplos

El espacio de mapas acotados de valores reales en un conjunto con orden puntual está ordenado por Arquímedes con una unidad de orden (es decir, la función que es idéntica en ). La norma de unidad de orden on es idéntica a la norma sup habitual: ^[3] ${\displaystyle l_{\infty }(S,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle u:=1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle l_{\infty }(S,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \|f\|:=\sup _{}|f(S)|.}$

Ejemplos

Cada red vectorial completa de orden está ordenada por Arquímedes. ^[5] Una red vectorial de dimensión finita tiene el orden de Arquímedes si y sólo si es isomorfa con su orden canónico. ^[5] Sin embargo, un orden de dimensión vectorial totalmente ordenado no puede ser de Arquímedes. ^[5] Existen espacios vectoriales ordenados que son casi de Arquímedes pero no de Arquímedes. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \,>1}$

El espacio euclidiano sobre los reales con el orden lexicográfico no está ordenado arquímedes ya que para todos menos ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle r(0,1)\leq (1,1)}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle (0,1)\neq (0,0).}$

Ver también

• Propiedad de Arquímedes  : propiedad matemática de estructuras algebraicas
• Espacio vectorial ordenado  : espacio vectorial con orden parcial

Referencias

1. Schaefer y Wolff 1999, págs. 204-214.
2. Schaefer y Wolff 1999, pág. 254.
3. Narici y Beckenstein 2011, págs.
4. Schaefer y Wolff 1999, págs. 222-225.
5. Schaefer y Wolff 1999, págs.

Bibliografía

• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.