TVS cuyo fuerte dual está acorralado
En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , los espacios distinguidos son espacios vectoriales topológicos (TVS) que tienen la propiedad de que los subconjuntos débilmente* acotados de sus biduales (es decir, el espacio dual fuerte de su espacio dual fuerte) están contenidos en el cierre débil* de algún subconjunto acotado del bidual.
Definición
Supóngase que es un espacio localmente convexo y sea y el dual fuerte de (es decir, el espacio dual continuo de dotado de la topología dual fuerte ). Sea el espacio dual continuo de y sea el dual fuerte de
Sea dotado de la topología débil-* inducida por donde esta topología se denota por (es decir, la topología de convergencia puntual en ). Decimos que un subconjunto de es -acotado si es un subconjunto acotado de y llamamos al cierre de en el TVS el -cierre de . Si es un subconjunto de entonces la polar de es
Un espacio localmente convexo de Hausdorff se denomina espacio distinguido si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- Si es un subconjunto acotado de entonces existe un subconjunto acotado de cuya clausura contiene .
- Si es un subconjunto acotado de entonces existe un subconjunto acotado de tal que está contenido en el cual es el polar (relativo a la dualidad ) de
- El dual fuerte de es un espacio en forma de barril .
Si además hay un espacio vectorial topológico localmente convexo metrizable , entonces esta lista puede ampliarse para incluir:
- ( Grothendieck ) El dual fuerte de es un espacio bornológico .
Condiciones suficientes
Todos los espacios normados y semirreflexivos son espacios distinguidos. Los espacios LF son espacios distinguidos.
El espacio dual fuerte de un espacio de Fréchet se distingue si y sólo si es cuasibarrelled . [3]
Propiedades
Todo espacio distinguido localmente convexo es un H-espacio .
Ejemplos
Existen espacios de Banach distinguidos que no son semirreflexivos .
El dual fuerte de un espacio de Banach distinguido no es necesariamente separable ; es un espacio de este tipo.
El espacio dual fuerte de un espacio de Fréchet distinguido no es necesariamente metrizable .
Existe un espacio de Mackey distinguido , semirreflexivo , no reflexivo , no cuasibarrelizado , cuyo dual fuerte es un espacio de Banach no reflexivo.
Existen H-espacios que no son espacios distinguidos.
Los espacios Fréchet Montel son espacios distinguidos.
Véase también
Referencias
- ^ Gabriyelyan, SS "Sobre espacios topológicos y grupos topológicos con ciertas redes contables locales (2014)
Bibliografía
- Bourbaki, Nicolás (1950). "Sur sures espaces vectoriels topologiques". Annales de l'Institut Fourier (en francés). 2 : 5-16 (1951). doi : 10.5802/aif.16 . SEÑOR 0042609.
- Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Espacios vectoriales topológicos . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 53. Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7.OCLC 589250 .
- Husain, Taqdir; Khaleelulla, SM (1978). Barrelización en espacios vectoriales topológicos y ordenados . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 692. Berlín, Nueva York, Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-09096-0.OCLC 4493665 .
- Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4.OCLC 8210342 .
- Khaleelulla, SM (1982). Contraejemplos en espacios vectoriales topológicos . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 936. Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-11565-6.OCLC 8588370 .
- Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834 .
- Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135 .
- Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322 .