Conjugado complejo de un espacio vectorial

Concepto de matemáticas

En matemáticas , el conjugado complejo de un espacio vectorial complejo es un espacio vectorial complejo que tiene los mismos elementos y estructura de grupo aditivo que pero cuya multiplicación escalar implica la conjugación de los escalares. En otras palabras, la multiplicación escalar de satisface ${\displaystyle V\,}$ ${\displaystyle {\overline {V}}}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle {\overline {V}}}$

$${\displaystyle \alpha \,*\,v={\,{\overline {\alpha }}\cdot \,v\,}}$$

conjugado complejo^[1] ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle {\overline {V}}}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\overline {\alpha }}}$ ${\displaystyle \alpha .}$

Más concretamente, el espacio vectorial conjugado complejo es el mismo espacio vectorial real subyacente (mismo conjunto de puntos, misma suma de vectores y multiplicación escalar real) con la estructura compleja lineal conjugada (multiplicación diferente por ). ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle i}$

Motivación

Si y son espacios vectoriales complejos, una función es antilineal si ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f:V\to W}$

$${\displaystyle f(v+w)=f(v)+f(w)\quad {\text{ and }}\quad f(\alpha v)={\overline {\alpha }}\,f(v)}$$

aplicación lineal ${\displaystyle {\overline {V}}}$ ${\displaystyle f:V\to W}$ ${\displaystyle {\overline {V}}\to W.}$

$${\displaystyle f(\alpha *v)=f({\overline {\alpha }}\cdot v)={\overline {\overline {\alpha }}}\cdot f(v)=\alpha \cdot f(v)}$$

${\displaystyle {\overline {V}}}$ ${\displaystyle V.}$

Este es el mismo principio subyacente que se utiliza al definir el anillo opuesto para que un módulo derecho pueda considerarse como un módulo izquierdo, o el de una categoría opuesta para que un funtor contravariante pueda considerarse como un funtor ordinario de tipo ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{op}}$ ${\displaystyle C\to D}$ ${\displaystyle C^{op}\to D.}$

Functor de conjugación complejo

Un mapa lineal da lugar a un mapa lineal correspondiente que tiene la misma acción que la nota que conserva la multiplicación escalar porque ${\displaystyle f:V\to W\,}$ ${\displaystyle {\overline {f}}:{\overline {V}}\to {\overline {W}}}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle {\overline {f}}}$

$${\displaystyle {\overline {f}}(\alpha *v)=f({\overline {\alpha }}\cdot v)={\overline {\alpha }}\cdot f(v)=\alpha *{\overline {f}}(v)}$$

functorcategoría ${\displaystyle V\mapsto {\overline {V}}}$ ${\displaystyle f\mapsto {\overline {f}}}$

Si y son de dimensión finita y el mapa se describe mediante la matriz compleja con respecto a las bases de y de entonces el mapa se describe mediante el conjugado complejo de con respecto a las bases de y de ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle W,}$ ${\displaystyle {\overline {f}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}}$ ${\displaystyle {\overline {V}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {C}}}}$ ${\displaystyle {\overline {W}}.}$

Estructura del conjugado

Los espacios vectoriales y tienen la misma dimensión que los números complejos y, por tanto, son isomórficos como espacios vectoriales complejos. Sin embargo, no existe un isomorfismo natural de a ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\overline {V}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\overline {V}}.}$

El doble conjugado es idéntico a ${\displaystyle {\overline {\overline {V}}}}$ ${\displaystyle V.}$

Conjugado complejo de un espacio de Hilbert

Dado un espacio de Hilbert (ya sea de dimensión finita o infinita), su conjugado complejo es el mismo espacio vectorial que su espacio dual continuo. Existe una correspondencia antilineal uno a uno entre funcionales lineales continuos y vectores. En otras palabras, cualquier funcional lineal continua es una multiplicación interna de algún vector fijo, y viceversa. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {H}}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{\prime }.}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Por lo tanto, el conjugado complejo a un vector, particularmente en el caso de dimensión finita, puede denotarse como (v-dagger, un vector de fila que es el conjugado transpuesto a un vector de columna ). En mecánica cuántica , el conjugado de un vector ket se denota como – un vector bra (ver notación bra-ket ). ${\displaystyle v,}$ ${\displaystyle v^{\dagger }}$ ${\displaystyle v}$  ${\displaystyle \,|\psi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \psi |\,}$

Ver también

• Espacio antidual  : mapa aditivo homogéneo conjugadoPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Estructura lineal compleja  – Concepto matemático
• Teorema de representación de Riesz  - Teorema sobre el dual de un espacio de Hilbert
• paquete conjugado

Referencias

1. K. Schmüdgen (11 de noviembre de 2013). Álgebras de operadores ilimitados y teoría de la representación. Birkhäuser. pag. 16.ISBN​ 978-3-0348-7469-4.

Otras lecturas

• Budinich, P. y Trautman, A. El tablero de ajedrez Spinorial . Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3 . (Los espacios vectoriales conjugados complejos se analizan en la sección 3.3, página 26).