Estructura compleja lineal

Concepto de matemáticas

En matemáticas , una estructura compleja en un espacio vectorial real es un automorfismo de que elevado al cuadrado la identidad negativa , . Una estructura de este tipo en permite definir la multiplicación por escalares complejos de manera canónica para considerar como un espacio vectorial complejo . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle -Id_{V}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Todo espacio vectorial complejo puede estar dotado de una estructura compleja compatible de manera canónica; sin embargo, en general no existe una estructura compleja canónica. Las estructuras complejas tienen aplicaciones en la teoría de la representación , así como en la geometría compleja , donde desempeñan un papel esencial en la definición de variedades casi complejas , en contraste con las variedades complejas . El término "estructura compleja" se refiere a menudo a esta estructura en variedades; cuando se refiere, en cambio, a una estructura en espacios vectoriales, puede denominarse estructura compleja lineal .

Definición y propiedades

Una estructura compleja en un espacio vectorial real es una transformación lineal real tal que Aquí significa compuesta consigo misma y es la función identidad en . Es decir, el efecto de aplicar dos veces es el mismo que la multiplicación por . Esto recuerda a la multiplicación por la unidad imaginaria , . Una estructura compleja permite dotar a un espacio vectorial complejo de la estructura . La multiplicación escalar compleja se puede definir por para todos los números reales y todos los vectores en V . Se puede comprobar que esto, de hecho, da la estructura de un espacio vectorial complejo que denotamos . ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle J:V\to V}$$ $${\displaystyle J^{2}=-Id_{V}.}$$ ${\displaystyle J^{2}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle Id_{V}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle (x+iy){\vec {v}}=x{\vec {v}}+yJ({\vec {v}})}$$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{J}}$

Yendo en la otra dirección, si uno comienza con un espacio vectorial complejo , entonces puede definir una estructura compleja en el espacio real subyacente definiendo . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle Jw=iw~~\forall w\in W}$

Más formalmente, una estructura compleja lineal sobre un espacio vectorial real es una representación algebraica de los números complejos , pensada como un álgebra asociativa sobre los números reales . Esta álgebra se realiza concretamente como que corresponde a . Entonces una representación de es un espacio vectorial real , junto con una acción de sobre (una función ). Concretamente, esta es solo una acción de , ya que esto genera el álgebra, y el operador que representa (la imagen de en ) es exactamente . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1),}$$ ${\displaystyle i^{2}=-1}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \rightarrow {\text{End}}(V)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\text{End}}(V)}$ ${\displaystyle J}$

Si tiene dimensión compleja entonces debe tener dimensión real . Es decir, un espacio de dimensión finita admite una estructura compleja solo si es de dimensión par. No es difícil ver que todo espacio vectorial de dimensión par admite una estructura compleja. Se pueden definir pares de vectores base por y y luego extender por linealidad a todos los . Si es una base para el espacio vectorial complejo entonces es una base para el espacio real subyacente . ${\displaystyle V_{J}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle e,f}$ ${\displaystyle Je=f}$ ${\displaystyle Jf=-e}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (v_{1},\dots ,v_{n})}$ ${\displaystyle V_{J}}$ ${\displaystyle (v_{1},Jv_{1},\dots ,v_{n},Jv_{n})}$ ${\displaystyle V}$

Una transformación lineal real es una transformación lineal compleja del espacio complejo correspondiente si y solo si conmuta con , es decir, si y solo si . Asimismo, un subespacio real de es un subespacio complejo de si y solo si conserva , es decir, si y solo si ${\displaystyle A:V\rightarrow V}$ ${\displaystyle V_{J}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle J}$ $${\displaystyle AJ=JA.}$$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{J}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle JU=U.}$$

Ejemplos

Ejemplo elemental

La colección de matrices reales sobre el cuerpo real es de cuatro dimensiones. Cualquier matriz ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle \mathbb {M} (2,\mathbb {R} )}$

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}a&c\\b&-a\end{pmatrix}},~~a^{2}+bc=-1}$

tiene un cuadrado igual al negativo de la matriz identidad. Una estructura compleja se puede formar en : con matriz identidad , elementos , con multiplicación de matrices forman números complejos. ${\displaystyle \mathbb {M} (2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle xI+yJ}$

Complejonorte-espacio dimensionaldonorte

El ejemplo fundamental de una estructura compleja lineal es la estructura en R ^{2 n} que proviene de la estructura compleja en C ⁿ . Es decir, el espacio complejo n -dimensional C ⁿ es también un espacio real 2 n -dimensional –utilizando la misma adición vectorial y multiplicación escalar real– mientras que la multiplicación por el número complejo i no es sólo una transformada lineal compleja del espacio, pensada como un espacio vectorial complejo, sino también una transformada lineal real del espacio, pensada como un espacio vectorial real. Concretamente, esto se debe a que la multiplicación escalar por i conmuta con la multiplicación escalar por números reales –y se distribuye a través de la adición vectorial. Como matriz compleja n × n , esta es simplemente la matriz escalar con i en la diagonal. La matriz real 2 n ×2 n correspondiente se denota J . ${\displaystyle i(\lambda v)=(i\lambda )v=(\lambda i)v=\lambda (iv)}$

Dada una base para el espacio complejo, este conjunto, junto con estos vectores multiplicados por i, forman una base para el espacio real. Hay dos formas naturales de ordenar esta base, que corresponden de manera abstracta a si se escribe el producto tensorial como o en su lugar como ${\displaystyle \left\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{ie_{1},ie_{2},\dots ,ie_{n}\right\},}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{n}.}$

Si se ordena la base como entonces la matriz para J toma la forma diagonal en bloque (se agregan subíndices para indicar la dimensión): Este ordenamiento tiene la ventaja de que respeta las sumas directas de espacios vectoriales complejos, lo que significa aquí que la base para es la misma que para ${\displaystyle \left\{e_{1},ie_{1},e_{2},ie_{2},\dots ,e_{n},ie_{n}\right\},}$ $${\displaystyle J_{2n}={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\\&&0&-1\\&&1&0\\&&&&\ddots \\&&&&&\ddots \\&&&&&&0&-1\\&&&&&&1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}J_{2}\\&J_{2}\\&&\ddots \\&&&J_{2}\end{bmatrix}}.}$$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}\oplus \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m+n}.}$

Por otra parte, si uno ordena la base como , entonces la matriz para J es antidiagonal en bloques: Este ordenamiento es más natural si uno piensa en el espacio complejo como una suma directa de espacios reales, como se analiza más adelante. ${\displaystyle \left\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{n},ie_{1},ie_{2},\dots ,ie_{n}\right\}}$ $${\displaystyle J_{2n}={\begin{bmatrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{bmatrix}}.}$$

Los datos del espacio vectorial real y de la matriz J son exactamente los mismos que los del espacio vectorial complejo, ya que la matriz J permite definir la multiplicación compleja. A nivel de álgebras de Lie y grupos de Lie , esto corresponde a la inclusión de gl( n , C ) en gl(2 n , R ) (álgebras de Lie – matrices, no necesariamente invertibles) y GL( n , C ) en GL(2 n , R ):

gl( n , C ) < gl( 2n , R ) y GL( n , C ) < GL( 2n , R ).

La inclusión corresponde a olvidar la estructura compleja (y mantener sólo la real), mientras que el subgrupo GL( n , C ) puede ser caracterizado (dado en ecuaciones) como las matrices que conmutan con J: El enunciado correspondiente sobre las álgebras de Lie es que las subálgebras gl( n , C ) de matrices complejas son aquellas cuyo corchete de Lie con J se desvanece, es decir, como el núcleo de la función de corchete con J, $${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )=\left\{A\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} )\mid AJ=JA\right\}.}$$ ${\displaystyle [J,A]=0;}$ ${\displaystyle [J,-].}$

Obsérvese que las ecuaciones definitorias de estas afirmaciones son las mismas, ya que es lo mismo que , lo cual es lo mismo que si el significado de la desaparición del corchete de Lie fuera menos inmediato geométricamente que el significado de la conmutación. ${\displaystyle AJ=JA}$ ${\displaystyle AJ-JA=0,}$ ${\displaystyle [A,J]=0,}$

Suma directa

Si V es cualquier espacio vectorial real, existe una estructura compleja canónica en la suma directa V ⊕ V dada por La forma de matriz de bloques de J es donde es la función identidad en V . Esto corresponde a la estructura compleja en el producto tensorial $${\displaystyle J(v,w)=(-w,v).}$$ $${\displaystyle J={\begin{bmatrix}0&-I_{V}\\I_{V}&0\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle I_{V}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }V.}$

Compatibilidad con otras estructuras

Si B es una forma bilineal en V entonces decimos que J preserva B si para todo u , v ∈ V . Una caracterización equivalente es que J es antiadjunto con respecto a B : $${\displaystyle B(Ju,Jv)=B(u,v)}$$ $${\displaystyle B(Ju,v)=-B(u,Jv).}$$

Si g es un producto interno en V entonces J preserva g si y solo si J es una transformación ortogonal . De la misma manera, J preserva una forma no degenerada , antisimétrica ω si y solo si J es una transformación simpléctica (es decir, si ). Para las formas simplécticas ω una condición de compatibilidad interesante entre J y ω es que se cumple para todo u distinto de cero en V . Si se satisface esta condición, entonces decimos que J domestica a ω (sinónimos: que ω es domesticado con respecto a J ; que J es domesticado con respecto a ω ; o que el par es domesticado). ${\textstyle \omega (Ju,Jv)=\omega (u,v)}$ $${\displaystyle \omega (u,Ju)>0}$$ ${\textstyle (\omega ,J)}$

Dada una forma simpléctica ω y una estructura compleja lineal J en V , se puede definir una forma bilineal asociada g _J en V por Debido a que una forma simpléctica no es degenerada, también lo es la forma bilineal asociada. La forma asociada se conserva por J si y solo si la forma simpléctica lo es. Además, si la forma simpléctica se conserva por J , entonces la forma asociada es simétrica. Si además ω es domesticado por J , entonces la forma asociada es definida positiva . Por lo tanto, en este caso V es un espacio de producto interno con respecto a g _J . $${\displaystyle g_{J}(u,v)=\omega (u,Jv).}$$

Si la forma simpléctica ω se conserva (pero no necesariamente se domestica) por J , entonces g _J es la parte real de la forma hermítica (por convención antilineal en el primer argumento) definida por ${\textstyle h_{J}\colon V_{J}\times V_{J}\to \mathbb {C} }$ $${\displaystyle h_{J}(u,v)=g_{J}(u,v)+ig_{J}(Ju,v)=\omega (u,Jv)+i\omega (u,v).}$$

Relación con las complejizaciones

Dado cualquier espacio vectorial real V podemos definir su complejización por extensión de escalares :

${\displaystyle V^{\mathbb {C} }=V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} .}$

Este es un espacio vectorial complejo cuya dimensión compleja es igual a la dimensión real de V . Tiene una conjugación compleja canónica definida por

${\displaystyle {\overline {v\otimes z}}=v\otimes {\bar {z}}}$

Si J es una estructura compleja en V , podemos extender J por linealidad a V ^C :

${\displaystyle J(v\otimes z)=J(v)\otimes z.}$

Como C es algebraicamente cerrado , se garantiza que J tiene valores propios que satisfacen λ ² = −1, es decir λ = ± i . Por lo tanto, podemos escribir

${\displaystyle V^{\mathbb {C} }=V^{+}\oplus V^{-}}$

donde V ⁺ y V− son los espacios propios de + i y − ⁱ , respectivamente. La conjugación compleja intercambia V+ y V− . ^Las funciones de proyección sobre los ^{espacios propios} V ^± están dadas por

${\displaystyle {\mathcal {P}}^{\pm }={1 \over 2}(1\mp iJ).}$

De modo que

${\displaystyle V^{\pm }=\{v\otimes 1\mp Jv\otimes i:v\in V\}.}$

Existe un isomorfismo lineal complejo natural entre V _J y V ⁺ , por lo que estos espacios vectoriales pueden considerarse iguales, mientras que V ⁻ puede considerarse como el conjugado complejo de V _J .

Nótese que si V _J tiene dimensión compleja n entonces tanto V ⁺ como V ⁻ tienen dimensión compleja n mientras que V ^C tiene dimensión compleja 2 n .

De manera abstracta, si uno comienza con un espacio vectorial complejo W y toma la complejización del espacio real subyacente, se obtiene un espacio isomorfo a la suma directa de W y su conjugado:

${\displaystyle W^{\mathbb {C} }\cong W\oplus {\overline {W}}.}$

Extensión a espacios vectoriales relacionados

Sea V un espacio vectorial real con una estructura compleja J . El espacio dual V * tiene una estructura compleja natural J * dada por el dual (o transpuesta ) de J . La complejización del espacio dual ( V * ) ^C tiene por tanto una descomposición natural

${\displaystyle (V^{*})^{\mathbb {C} }=(V^{*})^{+}\oplus (V^{*})^{-}}$

en los ± i espacios propios de J *. Bajo la identificación natural de ( V *) ^C con ( V ^C )* se puede caracterizar ( V *) ⁺ como aquellos funcionales lineales complejos que se anulan en V ⁻ . Asimismo ( V *) ⁻ consiste en aquellos funcionales lineales complejos que se anulan en V ⁺ .

Las álgebras tensoriales (complejas) , simétricas y exteriores sobre V ^C también admiten descomposiciones. El álgebra exterior es quizás la aplicación más importante de esta descomposición. En general, si un espacio vectorial U admite una descomposición U = S ⊕ T entonces las potencias exteriores de U pueden descomponerse de la siguiente manera:

${\displaystyle \Lambda ^{r}U=\bigoplus _{p+q=r}(\Lambda ^{p}S)\otimes (\Lambda ^{q}T).}$

Por lo tanto, una estructura compleja J en V induce una descomposición

${\displaystyle \Lambda ^{r}\,V^{\mathbb {C} }=\bigoplus _{p+q=r}\Lambda ^{p,q}\,V_{J}}$

dónde

${\displaystyle \Lambda ^{p,q}\,V_{J}\;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\,(\Lambda ^{p}\,V^{+})\otimes (\Lambda ^{q}\,V^{-}).}$

Se toman todas las potencias exteriores sobre los números complejos. Por lo tanto, si V _J tiene dimensión compleja n (dimensión real 2 n ), entonces

${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }\Lambda ^{r}\,V^{\mathbb {C} }={2n \choose r}\qquad \dim _{\mathbb {C} }\Lambda ^{p,q}\,V_{J}={n \choose p}{n \choose q}.}$

Las dimensiones suman correctamente como consecuencia de la identidad de Vandermonde .

El espacio de ( p , q )-formas Λ ^{p , q} V _J * es el espacio de formas multilineales (complejas) en V ^C que se anulan en elementos homogéneos a menos que p sean de V ⁺ y q sean de V ⁻ . También es posible considerar Λ ^{p , q} V _J * como el espacio de aplicaciones multilineales reales de V _J a C que son lineales complejas en términos p y lineales conjugadas en términos q .

Véase la forma diferencial compleja y la variedad casi compleja para aplicaciones de estas ideas.

Véase también

• Variedad casi compleja
• Variedad compleja
• Forma diferencial compleja
• Espacio vectorial conjugado complejo
• Estructura hermítica
• Estructura real

Referencias

• Kobayashi S. y Nomizu K., Foundations of Differential Geometry , John Wiley & Sons, 1969. ISBN  0-470-49648-7 . (Las estructuras complejas se analizan en el Volumen II, Capítulo IX, sección 1).
• Budinich, P. y Trautman, A. The Spinorial Chessboard , Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3 . (Las estructuras complejas se analizan en la sección 3.1). 
• Goldberg SI, Curvature and Homology , Dover Publications, 1982. ISBN 0-486-64314-X . (Las estructuras complejas y las variedades casi complejas se analizan en la sección 5.2).