Estructura real

Concepto de matemáticas

En matemáticas , una estructura real sobre un espacio vectorial complejo es una forma de descomponer el espacio vectorial complejo en la suma directa de dos espacios vectoriales reales . El prototipo de una estructura de este tipo es el propio cuerpo de números complejos, considerado como un espacio vectorial complejo sobre sí mismo y con la función de conjugación , con , dando la estructura real "canónica" sobre , es decir . ${\displaystyle \sigma :{\mathbb {C} }\to {\mathbb {C} }\,}$ ${\displaystyle \sigma (z)={\bar {z}}}$ ${\displaystyle {\mathbb {C} }\,}$ ${\displaystyle {\mathbb {C} }={\mathbb {R} }\oplus i{\mathbb {R} }\,}$

El mapa de conjugación es antilineal : y . ${\displaystyle \sigma (\lambda z)={\bar {\lambda }}\sigma (z)\,}$ ${\displaystyle \sigma (z_{1}+z_{2})=\sigma (z_{1})+\sigma (z_{2})\,}$

Espacio vectorial

Una estructura real en un espacio vectorial complejo V es una involución antilineal . Una estructura real define un subespacio real , su lugar geométrico fijo y la función natural. ${\displaystyle \sigma :V\to V}$ ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\subset V}$

${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }{\mathbb {C} }\to V}$

es un isomorfismo. Por el contrario, cualquier espacio vectorial que sea la complejización de un espacio vectorial real tiene una estructura real natural.

En primer lugar, se observa que todo espacio complejo V tiene una realización que se obtiene tomando los mismos vectores que en el conjunto original y restringiendo los escalares para que sean reales. Si y entonces los vectores y son linealmente independientes en la realización de V . Por lo tanto: ${\displaystyle t\in V\,}$ ${\displaystyle t\neq 0}$ ${\displaystyle t\,}$ ${\displaystyle it\,}$

${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }V=2\dim _{\mathbb {C} }V}$

Naturalmente, uno querría representar V como la suma directa de dos espacios vectoriales reales, las "partes real e imaginaria de V ". No hay una manera canónica de hacer esto: tal división es una estructura real adicional en V . Puede introducirse de la siguiente manera. ^[1] Sea una función antilineal tal que , que es una involución antilineal del espacio complejo V . Cualquier vector puede escribirse , donde y . ${\displaystyle \sigma :V\to V\,}$ ${\displaystyle \sigma \circ \sigma =id_{V}\,}$ ${\displaystyle v\in V\,}$ ${\displaystyle {v=v^{+}+v^{-}}\,}$ ${\displaystyle v^{+}={1 \over {2}}(v+\sigma v)}$ ${\displaystyle v^{-}={1 \over {2}}(v-\sigma v)\,}$

Por lo tanto, se obtiene una suma directa de espacios vectoriales donde: ${\displaystyle V=V^{+}\oplus V^{-}\,}$

${\displaystyle V^{+}=\{v\in V|\sigma v=v\}}$y . ${\displaystyle V^{-}=\{v\in V|\sigma v=-v\}\,}$

Ambos conjuntos y son espacios vectoriales reales . La función lineal , donde , es un isomorfismo de espacios vectoriales reales, de donde: ${\displaystyle V^{+}\,}$ ${\displaystyle V^{-}\,}$ ${\displaystyle K:V^{+}\to V^{-}\,}$ ${\displaystyle K(t)=it\,}$

${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }V^{+}=\dim _{\mathbb {R} }V^{-}=\dim _{\mathbb {C} }V\,}$.

El primer factor también se denota por y se deja invariante por , es decir . El segundo factor se suele denotar por . La suma directa se lee ahora como: ${\displaystyle V^{+}\,}$ ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\,}$ ${\displaystyle \sigma \,}$ ${\displaystyle \sigma (V_{\mathbb {R} })\subset V_{\mathbb {R} }\,}$ ${\displaystyle V^{-}\,}$ ${\displaystyle iV_{\mathbb {R} }\,}$ ${\displaystyle V=V^{+}\oplus V^{-}\,}$

${\displaystyle V=V_{\mathbb {R} }\oplus iV_{\mathbb {R} }\,}$,

es decir, como la suma directa de las partes "reales" e "imaginarias" de V. Esta construcción depende en gran medida de la elección de una involución antilineal del espacio vectorial complejo V. La complejización del espacio vectorial real , es decir, admite una estructura real natural y, por lo tanto, es canónicamente isomorfa a la suma directa de dos copias de : ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\,}$ ${\displaystyle iV_{\mathbb {R} }\,}$ ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\,}$ ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }=V_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \,}$ ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\,}$

${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =V_{\mathbb {R} }\oplus iV_{\mathbb {R} }\,}$.

Sigue un isomorfismo lineal natural entre espacios vectoriales complejos con una estructura real dada. ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \to V\,}$

Una estructura real en un espacio vectorial complejo V , es decir una involución antilineal , puede describirse de manera equivalente en términos de la función lineal del espacio vectorial al espacio vectorial conjugado complejo definido por ${\displaystyle \sigma :V\to V\,}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}:V\to {\bar {V}}\,}$ ${\displaystyle V\,}$ ${\displaystyle {\bar {V}}\,}$

${\displaystyle v\mapsto {\hat {\sigma }}(v):={\overline {\sigma (v)}}\,}$. ^[2]

Variedad algebraica

Para una variedad algebraica definida sobre un subcuerpo de los números reales , la estructura real es la conjugación compleja que actúa sobre los puntos de la variedad en el espacio proyectivo complejo o afín. Su lugar geométrico fijo es el espacio de puntos reales de la variedad (que puede estar vacío).

Esquema

Para un esquema definido sobre un subcuerpo de los números reales, la conjugación compleja es de manera natural un miembro del grupo de Galois de la clausura algebraica del cuerpo base. La estructura real es la acción de Galois de esta conjugación sobre la extensión del esquema sobre la clausura algebraica del cuerpo base. Los puntos reales son los puntos cuyo cuerpo de residuos es fijo (que puede estar vacío).

Estructura de la realidad

En matemáticas , una estructura de realidad en un espacio vectorial complejo V es una descomposición de V en dos subespacios reales, llamados partes real e imaginaria de V :

${\displaystyle V=V_{\mathbb {R} }\oplus iV_{\mathbb {R} }.}$

Aquí V _R es un subespacio real de V , es decir, un subespacio de V considerado como un espacio vectorial sobre los números reales . Si V tiene dimensión compleja n (dimensión real 2 n ), entonces V _R debe tener dimensión real n .

La estructura de la realidad estándar en el espacio vectorial es la descomposición ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\oplus i\,\mathbb {R} ^{n}.}$

En presencia de una estructura de realidad, cada vector en V tiene una parte real y una parte imaginaria, cada una de las cuales es un vector en V _R :

${\displaystyle v=\operatorname {Re} \{v\}+i\,\operatorname {Im} \{v\}}$

En este caso, el conjugado complejo de un vector v se define de la siguiente manera:

${\displaystyle {\overline {v}}=\operatorname {Re} \{v\}-i\,\operatorname {Im} \{v\}}$

Este mapa es una involución antilineal , es decir ${\displaystyle v\mapsto {\overline {v}}}$

${\displaystyle {\overline {\overline {v}}}=v,\quad {\overline {v+w}}={\overline {v}}+{\overline {w}},\quad {\text{and}}\quad {\overline {\alpha v}}={\overline {\alpha }}\,{\overline {v}}.}$

Por el contrario, dada una involución antilineal en un espacio vectorial complejo V , es posible definir una estructura de realidad en V de la siguiente manera. Sea ${\displaystyle v\mapsto c(v)}$

${\displaystyle \operatorname {Re} \{v\}={\frac {1}{2}}\left(v+c(v)\right),}$

y definir

${\displaystyle V_{\mathbb {R} }=\left\{\operatorname {Re} \{v\}\mid v\in V\right\}.}$

Entonces

${\displaystyle V=V_{\mathbb {R} }\oplus iV_{\mathbb {R} }.}$

En realidad, se trata de la descomposición de V como los espacios propios del operador lineal real c . Los valores propios de c son +1 y −1, con espacios propios V _R y V _R , respectivamente. Normalmente, se hace referencia al operador c en sí, en lugar de a la descomposición del espacio propio que implica, como la estructura de la realidad en V . ${\displaystyle i}$ 

Véase también

• Mapa antilineal
• Mapa de conjugación complejo canónico
• Conjugado complejo
• Espacio vectorial conjugado complejo
• Complejización
• Estructura compleja lineal
• Mapa lineal
• Forma sesquilineal
• Cálculo de espinores

Notas

1. Budinich, P. y Trautman, A. El tablero de ajedrez Spinorial . Springer-Verlag, 1988, pág. 29.
2. Budinich, P. y Trautman, A. El tablero de ajedrez Spinorial . Springer-Verlag, 1988, pág. 29.

Referencias

• Horn y Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN  0-521-38632-2 . (Los mapas antilineales se analizan en la sección 4.6).
• Budinich, P. y Trautman, A. El tablero de ajedrez espinorial . Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3 . (Los mapas antilineales se analizan en la sección 3.3). 
• Penrose, Roger ; Rindler, Wolfgang (1986), Espinores y espacio-tiempo. Vol. 2 , Cambridge Monographs on Mathematical Physics, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-25267-6, Sr.  0838301