Dimensión compleja

En matemáticas , dimensión compleja se refiere usualmente a la dimensión de una variedad compleja o una variedad algebraica compleja . ^[1] Estos son espacios en los cuales los vecindarios locales de puntos (o de puntos no singulares en el caso de una variedad) se modelan sobre un producto cartesiano de la forma para algún , y la dimensión compleja es el exponente en este producto. Debido a que a su vez puede ser modelado por , un espacio con dimensión compleja tendrá dimensión real . ^[2] Es decir, una variedad suave de dimensión compleja tiene dimensión real ; y una variedad algebraica compleja de dimensión compleja , alejada de cualquier punto singular , también será una variedad suave de dimensión real . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 2d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 2d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 2d}$

Sin embargo, para una variedad algebraica real (es decir, una variedad definida por ecuaciones con coeficientes reales), su dimensión se refiere comúnmente a su dimensión compleja, y su dimensión real se refiere al máximo de las dimensiones de las variedades contenidas en el conjunto de sus puntos reales. La dimensión real no es mayor que la dimensión, y la iguala si la variedad es irreducible y tiene puntos reales que no son singulares . Por ejemplo, la ecuación define una variedad de dimensión (compleja) 2 (una superficie), pero de dimensión real 0 — tiene solo un punto real, (0, 0, 0), que es singular. ^[3] ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=0}$

Las mismas consideraciones se aplican a la codimensión . Por ejemplo, una hipersuperficie compleja lisa en un espacio proyectivo complejo de dimensión n será una variedad de dimensión 2( n − 1). Un hiperplano complejo no separa un espacio proyectivo complejo en dos componentes, porque tiene codimensión real 2.

Referencias

1. Cavagnaro, Catherine ; Haight, William T. II (2001), Diccionario de matemáticas clásicas y teóricas, CRC Press, pág. 22, ISBN 978-1-58488-050-9.
2. Marsden, Jerrold E. ; Ratiu, Tudor S. (1999), Introducción a la mecánica y la simetría: una exposición básica de los sistemas mecánicos clásicos, Textos en Matemáticas Aplicadas, vol. 17, Springer, pág. 152, ISBN 978-0-387-98643-2.
3. Bates, Daniel J.; Hauenstein, Jonathan D.; Sommese, Andrew J.; Wampler, Charles W. (2013), Resolución numérica de sistemas polinomiales con Bertini, Software, entornos y herramientas, vol. 25, SIAM, pág. 225, ISBN 978-1-61197-270-2.