En matemáticas , un conjunto de niveles de una función de valor real f de n variables reales es un conjunto donde la función toma un valor constante dado c , es decir:
Cuando el número de variables independientes es dos, un conjunto de niveles se denomina curva de nivel , también conocida como línea de contorno o isolínea ; entonces una curva de nivel es el conjunto de todas las soluciones con valores reales de una ecuación en dos variables x 1 y x 2 . Cuando n = 3 , un conjunto de niveles se denomina superficie nivelada (o isosuperficie ); entonces una superficie nivelada es el conjunto de todas las raíces de valor real de una ecuación en tres variables x 1 , x 2 y x 3 . Para valores más altos de n , el conjunto de niveles es una hipersuperficie de nivel , el conjunto de todas las raíces con valores reales de una ecuación en n > 3 variables.
Un conjunto de niveles es un caso especial de fibra .
Los conjuntos de niveles aparecen en muchas aplicaciones, a menudo con nombres diferentes. Por ejemplo, una curva implícita es una curva de nivel, que se considera independientemente de sus curvas vecinas, enfatizando que dicha curva está definida por una ecuación implícita . De manera análoga, una superficie nivelada a veces se denomina superficie implícita o isosuperficie .
También se utiliza el nombre de isocontorno, que significa contorno de igual altura. En diversas áreas de aplicación, los isocontornos han recibido nombres específicos, que a menudo indican la naturaleza de los valores de la función considerada, como isobara , isoterma , isógono , isócrona , isocuanta y curva de indiferencia .
Considere la distancia euclidiana bidimensional:
Un segundo ejemplo es el gráfico de la función de Himmelblau que se muestra en la figura de la derecha. Cada curva que se muestra es una curva de nivel de la función y están espaciadas logarítmicamente: si una curva representa , la curva directamente "dentro" representa y la curva directamente "afuera" representa .
Para entender lo que esto significa, imagine que dos excursionistas se encuentran en el mismo lugar de una montaña. Uno de ellos se atreve y decide ir en la dirección donde la pendiente es más pronunciada. El otro es más cauteloso y no quiere ni subir ni bajar, eligiendo un camino que se mantiene a la misma altura. En nuestra analogía, el teorema anterior dice que los dos excursionistas partirán en direcciones perpendiculares entre sí.
Una consecuencia de este teorema (y su demostración) es que si f es diferenciable, un conjunto de niveles es una hipersuperficie y una variedad fuera de los puntos críticos de f . En un punto crítico, un conjunto de niveles puede reducirse a un punto (por ejemplo, en un extremo local de f ) o puede tener una singularidad como un punto de autointersección o una cúspide .
un conjunto de la forma
se denomina conjunto de subniveles de f (o, alternativamente, conjunto de niveles inferiores o trinchera de f ). Un conjunto de subnivel estricto de f es
Similarmente
se llama conjunto de nivel superior de f (o, alternativamente, conjunto de nivel superior de f ). Y un conjunto estricto de supernivel de f es
Los conjuntos de subniveles son importantes en la teoría de la minimización . Según el teorema de Weierstrass , la limitación de algún conjunto de subniveles no vacío y la semicontinuidad inferior de la función implica que una función alcanza su mínimo. La convexidad de todos los conjuntos de subniveles caracteriza funciones cuasiconvexas . [2]