En la teoría de nudos , una rama de las matemáticas , el nudo trébol es el ejemplo más simple de nudo no trivial . El trébol se puede obtener uniendo los dos extremos sueltos de un nudo simple común, dando como resultado un bucle anudado . Como nudo más simple, el trébol es fundamental para el estudio de la teoría matemática de nudos.
El nudo del trébol lleva el nombre de la planta del trébol de tres hojas (o trébol).
El nudo trébol se puede definir como la curva obtenida a partir de las siguientes ecuaciones paramétricas :
El nudo toroide (2,3) también es un nudo trébol. Las siguientes ecuaciones paramétricas dan un nudo de toro (2,3) situado sobre un toro :
Cualquier deformación continua de la curva de arriba también se considera un nudo trébol. En concreto, cualquier curva isotópica de un nudo trébol también se considera un trébol. Además, la imagen especular de un nudo trébol también se considera un trébol. En topología y teoría de nudos, el trébol suele definirse mediante un diagrama de nudos en lugar de una ecuación paramétrica explícita.
En geometría algebraica , el trébol también se puede obtener como la intersección en C 2 de la unidad de 3 esferas S 3 con la curva plana compleja de ceros del polinomio complejo z 2 + w 3 (una cúbica cúspide ).
Si se gira un extremo de una cinta o cinturón tres veces y luego se pega al otro, el borde forma un nudo trébol. [1]
El nudo trébol es quiral , en el sentido de que un nudo trébol se puede distinguir de su propia imagen especular. Las dos variantes resultantes se conocen como trébol para zurdos y trébol para diestros . No es posible deformar continuamente un trébol zurdo en un trébol diestro, o viceversa. (Es decir, los dos tréboles no son isotópicos ambientales ).
Aunque quiral, el nudo trébol también es invertible, lo que significa que no hay distinción entre un trébol orientado en sentido contrario a las agujas del reloj y uno orientado en el sentido de las agujas del reloj. Es decir, la quiralidad de un trébol depende sólo de los cruces superiores e inferiores, no de la orientación de la curva.
El nudo trébol no es trivial, lo que significa que no es posible "desatar" un nudo trébol en tres dimensiones sin cortarlo. Matemáticamente, esto significa que un nudo trébol no es isotópico respecto del nudo desatado . En particular, no existe una secuencia de movimientos de Reidemeister que desate un trébol.
Demostrar esto requiere la construcción de una invariante de nudo que distinga el trébol del no nudo. La invariante más simple es la tricolorabilidad : el trébol es tricolorable, pero el desanudado no. Además, prácticamente todos los polinomios de nudos principales distinguen el trébol de un no nudo, al igual que la mayoría de los demás invariantes de nudos fuertes.
En la teoría de nudos, el trébol es el primer nudo no trivial y es el único nudo con el cruce número tres. Es un nudo primo y figura como 3 1 en la notación de Alexander-Briggs . La notación de Dowker para el trébol es 4 6 2 y la notación de Conway es [3].
El trébol puede describirse como el nudo (2,3)-toroide . También es el nudo que se obtiene al cerrar la trenza σ 1 3 .
El trébol es un nudo alterno . Sin embargo, no es un nudo cortado , lo que significa que no une un disco bidimensional liso en una bola de cuatro dimensiones; una forma de demostrarlo es observar que su firma no es cero. Otra prueba es que su polinomio de Alexander no satisface la condición de Fox-Milnor .
El trébol es un nudo fibroso , lo que significa que su complemento es un haz de fibras sobre el círculo . El trébol K puede verse como el conjunto de pares de números complejos tales que y . Entonces este haz de fibras tiene el mapa de Milnor como proyección del haz de fibras del complemento del nudo al círculo . La fibra es un toro una vez perforado . Dado que el complemento del nudo también es una fibra de Seifert con límite, tiene una superficie horizontal incompresible; esta también es la fibra del mapa de Milnor . (Esto supone que el nudo se ha engrosado hasta convertirse en un toro sólido N ε ( K ), y que el interior de este toro sólido se ha eliminado para crear un complemento de nudo compacto .)
El polinomio de Alexander del nudo trébol es
Como nudo no trivial más simple, el trébol es un motivo común en la iconografía y las artes visuales . Por ejemplo, la forma común del símbolo triquetra es un trébol, al igual que algunas versiones del germánico Valknut .
En el arte moderno, el grabado en madera Knots de MC Escher representa tres nudos tréboles cuyas formas sólidas están retorcidas de diferentes maneras. [4]
