En el campo matemático de la teoría de nudos , la tricolorabilidad de un nudo es la capacidad que tiene un nudo de ser coloreado con tres colores sujeto a ciertas reglas. La tricolorabilidad es una invariante isotópica y, por lo tanto, se puede utilizar para distinguir entre dos nudos diferentes (no isotópicos ). En particular, dado que el nudo desatado no es tricolor, cualquier nudo tricolor no es necesariamente trivial.
En estas reglas, un hilo en un diagrama de nudos será un trozo del hilo que va de un cruce al siguiente. [1] Un nudo es tricolor si cada hebra del diagrama del nudo se puede colorear en uno de los tres colores, sujeto a las siguientes reglas: [2]
Algunas referencias afirman en cambio que se deben utilizar los tres colores. [3] Para un nudo, esto es equivalente a la definición anterior; sin embargo, para un enlace no lo es.
"El nudo de trébol y el nudo trivial de 2 eslabones son tricolores, pero el desanudado, el eslabón de Whitehead y el nudo en forma de ocho no lo son. Si la proyección de un nudo es tricolor, entonces los movimientos de Reidemeister sobre el nudo preservan la tricolorabilidad, por lo que cada proyección de un nudo es tricolor o ninguno lo es." [2]
A continuación se muestra un ejemplo de cómo colorear un nudo de acuerdo con las reglas de tricolorabilidad. Por convención, los teóricos de los nudos utilizan los colores rojo, verde y azul.
El nudo de la abuela es tricolor. En esta coloración las tres hebras en cada cruce tienen tres colores diferentes. Colorear uno, pero no ambos, los nudos del trébol, todos de rojo, también daría una coloración admisible. El nudo del verdadero amante también es tricolor. [4]
Los nudos tricolores con menos de nueve cruces incluyen 6 1 , 7 4 , 7 7 , 8 5 , 8 10 , 8 11 , 8 15 , 8 18 , 8 19 , 8 20 y 8 21 .
El nudo en forma de ocho no es tricolor. En el diagrama que se muestra, tiene cuatro hilos y cada par de hilos se unen en algún cruce. Si tres de los hilos tuvieran el mismo color, entonces todos los hilos se verían obligados a ser del mismo color. De lo contrario, cada una de estas cuatro hebras debe tener un color distinto. Dado que la tricolorabilidad es una invariante de nudos, ninguno de sus otros diagramas tampoco puede ser tricolor.
La tricolorabilidad es una invariante de isotopía , que es una propiedad de un nudo o vínculo que permanece constante independientemente de cualquier isotopía ambiental . Esto se puede comprobar examinando los movimientos de Reidemeister . Dado que cada movimiento de Reidemeister se puede realizar sin afectar la tricolorabilidad, la tricolorabilidad es una invariante de isotopía.
Debido a que la tricolorabilidad es una clasificación binaria (un enlace es tricolorable o no*), es una invariante relativamente débil. La composición de un nudo tricolor con otro nudo siempre es tricolor. Una forma de fortalecer el invariante es contar el número de 3 colores posibles. En este caso, la regla de que se usan al menos dos colores se relaja y ahora cada enlace tiene al menos tres colores de 3 (simplemente colorea cada arco del mismo color). En este caso, un enlace tiene 3 colores si tiene más de tres colores.
Cualquier enlace separable con un componente separable tricolor también es tricolorable.
Si el nudo/enlace toroidal denotado por (m,n) es tricolor, entonces también lo son (j*m,i*n) y (i*n,j*m) para cualquier número natural i y j.