En la teoría de nudos , un nudo en forma de ocho (también llamado nudo de Listing [1] ) es el único nudo con un número de cruce de cuatro. Esto lo convierte en el tercer nudo con el número de cruces más pequeño posible, después del nudo desatado y el nudo trébol . El nudo en forma de ocho es un nudo principal .
El nombre se debe a que al hacer un nudo normal en forma de ocho en una cuerda y luego unir los extremos, de la manera más natural, se obtiene un modelo del nudo matemático.
Una representación paramétrica simple del nudo en forma de ocho es como el conjunto de todos los puntos ( x , y , z ) donde
para t variando sobre los números reales (ver realización visual 2D en la parte inferior derecha).
El nudo en forma de ocho es primo , alterno , racional con un valor asociado de 5/3, [2] y es aquiral . El nudo en forma de ocho también es un nudo fibroso . Esto se desprende de otras representaciones del nudo menos simples (pero muy interesantes):
(1) Es una trenza cerrada homogénea [nota 1] (es decir, el cierre de la trenza de 3 cuerdas σ 1 σ 2 −1 σ 1 σ 2 −1 ), y un teorema de John Stallings muestra que cualquier trenza homogénea cerrada es fibroso.
(2) Es el vínculo en (0,0,0,0) de un punto crítico aislado de un mapa polinómico real F : R 4 → R 2 , por lo que (según un teorema de John Milnor ) el mapa de Milnor de F es en realidad una fibración. Bernard Perron encontró la primera F para este nudo, a saber,
dónde
El nudo en forma de ocho ha jugado un papel importante históricamente (y continúa haciéndolo) en la teoría de las 3 variedades . En algún momento entre mediados y finales de la década de 1970, William Thurston demostró que la figura del ocho era hiperbólica , al descomponer su complemento en dos tetraedros hiperbólicos ideales . (Robert Riley y Troels Jørgensen, trabajando independientemente uno del otro, habían demostrado anteriormente que el nudo en forma de ocho era hiperbólico por otros medios). Esta construcción, nueva en ese momento, lo llevó a muchos resultados y métodos poderosos. Por ejemplo, pudo demostrar que todas las cirugías de Dehn, excepto diez , en el nudo en forma de ocho dieron como resultado 3 colectores irreducibles sin fibras de Haken ni de Seifert ; estos fueron los primeros ejemplos de este tipo. Se han descubierto muchos más generalizando la construcción de Thurston a otros nudos y eslabones.
El nudo en forma de ocho es también el nudo hiperbólico cuyo complemento tiene el menor volumen posible , (secuencia A091518 en la OEIS ), donde está la función de Lobachevsky . [3] Desde esta perspectiva, el nudo en forma de ocho puede considerarse el nudo hiperbólico más simple. El complemento de nudos en forma de ocho es una doble cubierta de la variedad Gieseking , que tiene el volumen más pequeño entre las 3 variedades hiperbólicas no compactas.
El nudo en forma de ocho y el nudo de pretzel (−2,3,7) son los únicos dos nudos hiperbólicos que se sabe que tienen más de 6 cirugías excepcionales ; las cirugías de Dehn dan como resultado una variedad 3 no hiperbólica; tienen 10 y 7, respectivamente. Un teorema de Lackenby y Meyerhoff, cuya demostración se basa en la conjetura de geometrización y en la asistencia informática , sostiene que 10 es el mayor número posible de cirugías excepcionales de cualquier nudo hiperbólico. Sin embargo, actualmente no se sabe si el nudo en forma de ocho es el único que alcanza el límite de 10. Una conjetura muy conocida es que el límite (a excepción de los dos nudos mencionados) es 6.
El nudo en forma de ocho tiene género 1 y tiene fibras. Por lo tanto, sus fibras complementarias sobre el círculo, siendo las fibras superficies de Seifert que son toros bidimensionales con un componente límite. El mapa de monodromía es entonces un homeomorfismo del 2-toro, que puede representarse en este caso mediante la matriz .
El polinomio de Alexander del nudo en forma de ocho es
el polinomio de Conway es
y el polinomio de Jones es
La simetría entre y en el polinomio de Jones refleja el hecho de que el nudo en forma de ocho es aquiral.
