En la teoría de nudos , el nudo en forma de ocho (también llamado nudo de Listing [1] ) es el único nudo con un número de cruces de cuatro. Esto lo convierte en el nudo con el tercer número de cruces más pequeño posible, después del nudo desuniforme y el nudo de trébol . El nudo en forma de ocho es un nudo primo .
El nombre se da porque al hacer un nudo normal en forma de ocho en una cuerda y luego unir los extremos, de la forma más natural, se obtiene un modelo del nudo matemático.
Una representación paramétrica simple del nudo en forma de ocho es el conjunto de todos los puntos ( x , y , z ) donde
para t variando sobre los números reales (ver realización visual 2D en la parte inferior derecha).
El nudo en forma de ocho es primo , alterno , racional con un valor asociado de 5/3, [2] y es aquiral . El nudo en forma de ocho también es un nudo fibroso . Esto se desprende de otras representaciones del nudo menos simples (pero muy interesantes):
(1) Es una trenza cerrada homogénea [nota 1] (es decir, el cierre de la trenza de 3 cuerdas σ 1 σ 2 −1 σ 1 σ 2 −1 ), y un teorema de John Stallings muestra que cualquier trenza homogénea cerrada está fibrosa.
(2) Es el enlace en (0,0,0,0) de un punto crítico aislado de una función polinomial real F : R 4 → R 2 , por lo que (según un teorema de John Milnor ) la función Milnor de F es en realidad una fibración. Bernard Perron encontró la primera F de este tipo para este nudo, a saber,
dónde
El nudo en forma de ocho ha desempeñado un papel importante históricamente (y sigue haciéndolo) en la teoría de las 3-variedades . En algún momento entre mediados y finales de la década de 1970, William Thurston demostró que el nudo en forma de ocho era hiperbólico , al descomponer su complemento en dos tetraedros hiperbólicos ideales . (Robert Riley y Troels Jørgensen, trabajando independientemente uno del otro, habían demostrado anteriormente que el nudo en forma de ocho era hiperbólico por otros medios). Esta construcción, nueva en ese momento, lo llevó a muchos resultados y métodos poderosos. Por ejemplo, pudo demostrar que todas las cirugías de Dehn en el nudo en forma de ocho, excepto diez, dieron como resultado 3-variedades irreducibles sin fibras de Haken ni de Seifert ; estos fueron los primeros ejemplos de este tipo. Se han descubierto muchos más al generalizar la construcción de Thurston a otros nudos y enlaces.
El nudo en ocho es también el nudo hiperbólico cuyo complemento tiene el menor volumen posible , (secuencia A091518 en la OEIS ), donde es la función de Lobachevsky . [3] Desde esta perspectiva, el nudo en ocho puede considerarse el nudo hiperbólico más simple. El complemento del nudo en ocho es una doble cobertura de la variedad de Gieseking , que tiene el menor volumen entre las 3-variedades hiperbólicas no compactas.
El nudo en forma de ocho y el nudo de pretzel (−2,3,7) son los únicos dos nudos hiperbólicos conocidos que tienen más de 6 cirugías excepcionales , cirugías de Dehn que dan como resultado una 3-variedad no hiperbólica; tienen 10 y 7, respectivamente. Un teorema de Lackenby y Meyerhoff, cuya demostración se basa en la conjetura de geometrización y la asistencia informática , sostiene que 10 es el mayor número posible de cirugías excepcionales de cualquier nudo hiperbólico. Sin embargo, actualmente no se sabe si el nudo en forma de ocho es el único que alcanza el límite de 10. Una conjetura bien conocida es que el límite (excepto para los dos nudos mencionados) es 6.
El nudo en forma de ocho tiene género 1 y está fibrilado. Por lo tanto, sus fibras complementarias sobre el círculo son superficies de Seifert que son toros bidimensionales con un componente de borde. El mapa de monodromía es entonces un homeomorfismo del 2-toro, que puede representarse en este caso por la matriz .
El polinomio de Alexander del nudo en forma de ocho es
El polinomio de Conway es
y el polinomio de Jones es
La simetría entre y en el polinomio de Jones refleja el hecho de que el nudo en forma de ocho es aquiral.
