En el campo matemático de la teoría de nudos , el volumen hiperbólico de un enlace hiperbólico es el volumen del complemento del enlace con respecto a su métrica hiperbólica completa. El volumen es necesariamente un número real finito y es una invariante topológica del enlace. [1] Como invariante de enlace, fue estudiado por primera vez por William Thurston en relación con su conjetura de geometrización . [2]
Un enlace hiperbólico es un enlace en las 3 esferas a cuyo complemento (el espacio formado al eliminar el enlace de las 3 esferas) se le puede dar una métrica riemanniana completa de curvatura negativa constante , dándole la estructura de una variedad 3 hiperbólica . un cociente de espacio hiperbólico por un grupo que actúa libre y discontinuamente sobre él. Los componentes del enlace se convertirán en cúspides de la variedad 3, y la variedad misma tendrá un volumen finito. Por rigidez de Mostow , cuando un complemento de enlace tiene una estructura hiperbólica, esta estructura está determinada de forma única, y cualquier invariante geométrico de la estructura también es invariante topológico del enlace. En particular, el volumen hiperbólico del complemento es una invariante de nudo . Para que esté bien definido para todos los nudos o eslabones, el volumen hiperbólico de un nudo o eslabón no hiperbólico a menudo se define como cero.
Sólo hay un número finito de nudos hiperbólicos para un volumen determinado. [2] Una mutación de un nudo hiperbólico tendrá el mismo volumen, [3] por lo que es posible inventar ejemplos con volúmenes iguales; de hecho, existen conjuntos finitos arbitrariamente grandes de nudos distintos con volúmenes iguales. [2] En la práctica, el volumen hiperbólico ha demostrado ser muy eficaz para distinguir nudos, y se utiliza en algunos de los extensos esfuerzos de tabulación de nudos . El programa informático SnapPea de Jeffrey Weeks es la herramienta omnipresente que se utiliza para calcular el volumen hiperbólico de un enlace. [1]
De manera más general, el volumen hiperbólico se puede definir para cualquier variedad 3 hiperbólica . La variedad de Weeks tiene el volumen más pequeño posible de cualquier variedad cerrada (una variedad que, a diferencia de los complementos de enlace, no tiene cúspides); su volumen es aproximadamente 0,9427. [5]
Thurston y Jørgensen demostraron que el conjunto de números reales que son volúmenes hiperbólicos de 3 variedades está bien ordenado , con tipo de orden ω ω . [6] El punto límite más pequeño en este conjunto de volúmenes viene dado por el complemento del nudo en forma de ocho , [7] y el punto límite más pequeño de puntos límite está dado por el complemento del enlace de Whitehead . [8]