Teorema de rigidez de Mostow

Theorem in hyperbolic geometry

En matemáticas , el teorema de rigidez de Mostow , o teorema de rigidez fuerte , o teorema de rigidez de Mostow-Prasad , esencialmente establece que la geometría de una variedad hiperbólica completa, de volumen finito y de dimensión mayor que dos está determinada por el grupo fundamental y, por lo tanto, es única. El teorema fue demostrado para variedades cerradas por Mostow  (1968) y extendido a variedades de volumen finito por Marden (1974) en 3 dimensiones, y por Prasad  (1973) en todas las dimensiones al menos 3. Gromov (1981) dio una prueba alternativa utilizando el Norma de Gromov . Besson, Courtois y Gallot (1996) proporcionaron la prueba disponible más sencilla.

Si bien el teorema muestra que el espacio de deformación de estructuras hiperbólicas (completas) en una variedad hiperbólica de volumen finito (para ) es un punto, para una superficie hiperbólica de género hay un espacio de módulos de dimensión que parametriza todas las métricas de curvatura constante (arriba al difeomorfismo ), hecho esencial para la teoría de Teichmüller . También existe una rica teoría de los espacios de deformación de estructuras hiperbólicas en variedades de volumen infinito en tres dimensiones. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle g>1}$ ${\displaystyle 6g-6}$

el teorema

El teorema se puede dar en una formulación geométrica (perteneciente a variedades completas de volumen finito) y en una formulación algebraica (perteneciente a redes en grupos de Lie ).

forma geométrica

Sea el espacio hiperbólico -dimensional . Una variedad hiperbólica completa se puede definir como un cociente de un grupo de isometrías que actúan libre y adecuadamente de manera discontinua (equivale a definirla como una variedad riemanniana con curvatura seccional -1 que es completa ). Es de volumen finito si la integral de una forma de volumen es finita (que es el caso, por ejemplo, si es compacta). El teorema de rigidez de Mostow se puede expresar como: ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$

Supongamos que y son variedades hiperbólicas completas de volumen finito de dimensión . Si existe un isomorfismo , entonces es inducido por una isometría única de a . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle f\colon \pi _{1}(M)\to \pi _{1}(N)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

Aquí está el grupo fundamental de una variedad . Si es una variedad hiperbólica obtenida como el cociente de por un grupo entonces . ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)\cong \Gamma }$

Una afirmación equivalente es que cualquier equivalencia de homotopía de a puede ser homotopía a una isometría única. En realidad, la prueba muestra que si tiene una dimensión mayor que entonces, no puede haber equivalencia de homotopía entre ellos. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$

forma algebraica

El grupo de isometrías del espacio hiperbólico se puede identificar con el grupo de Lie (el grupo ortogonal proyectivo de una forma cuadrática de firma . Entonces la siguiente afirmación es equivalente a la anterior. ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {PO} (n,1)}$ ${\displaystyle (n,1)}$

Sean y y dos redes en y supongamos que hay un isomorfismo de grupo . Entonces y están conjugados en . Es decir, existe tal que . ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathrm {PO} (n,1)}$ ${\displaystyle f\colon \Gamma \to \Lambda }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathrm {PO} (n,1)}$ ${\displaystyle g\in \mathrm {PO} (n,1)}$ ${\displaystyle \Lambda =g\Gamma g^{-1}}$

En mayor generalidad

La rigidez de Mostow se cumple (en su formulación geométrica) de manera más general para grupos fundamentales de todos los espacios completos, de volumen finito, no curvados positivamente (sin factores euclidianos) localmente simétricos de dimensión al menos tres, o en su formulación algebraica para todas las redes en Lie simple. grupos no localmente isomorfos a . ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

Aplicaciones

Del teorema de rigidez de Mostow se deduce que el grupo de isometrías de una variedad n hiperbólica de volumen finito M (para n > 2) es finita e isomorfa a . ${\displaystyle \operatorname {Out} (\pi _{1}(M))}$

Thurston también utilizó la rigidez de Mostow para demostrar la singularidad de las representaciones de empaquetamiento circular de gráficos planos triangulados . ^[1]

Una consecuencia de la rigidez del interés de Mostow en la teoría de grupos geométricos es que existen grupos hiperbólicos que son cuasi isométricos pero no conmensurables entre sí.

Ver también

• Superrigidez , un resultado más fuerte para espacios de rango superior
• Rigidez local , resultado de deformaciones que no necesariamente son reticulares.

Notas

1. Thurston 1978-1981, Capítulo 13.

Referencias

• Besson, Gerard; Courtois, Gilles; Gallot, Sylvestre (1996), "Entropía mínima y teoremas de rigidez de Mostow", Teoría ergódica y sistemas dinámicos , 16 (4): 623–649, doi :10.1017/S0143385700009019, S2CID  122773907
• Gromov, Michael (1981), "Variedades hiperbólicas (según Thurston y Jørgensen)", Seminario Bourbaki, vol. 1979/80 (PDF) , Apuntes de conferencias sobre matemáticas, vol. 842, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 40–53, doi :10.1007/BFb0089927, ISBN 978-3-540-10292-2, MR  0636516, archivado desde el original el 10 de enero de 2016
• Marden, Albert (1974), "La geometría de grupos kleinianos generados finitamente", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 99 (3): 383–462, doi :10.2307/1971059, ISSN  0003-486X, JSTOR  1971059, SEÑOR  0349992, Zbl  0282.30014
• Mostow, GD (1968), "Asignaciones cuasi-conformes en el espacio n y la rigidez de las formas del espacio hiperbólico", Publ. Matemáticas. IHÉS , 34 : 53–104, doi : 10.1007/bf02684590, S2CID  55916797
• Mostow, GD (1973), Fuerte rigidez de espacios localmente simétricos, Anales de estudios matemáticos, vol. 78, Prensa de la Universidad de Princeton , ISBN 978-0-691-08136-6, señor  0385004
• Prasad, Gopal (1973), "Fuerte rigidez de las celosías de rango Q 1", Inventiones Mathematicae , 21 (4): 255–286, Bibcode :1973InMat..21..255P, doi :10.1007/BF01418789, ISSN  0020-9910 , SEÑOR  0385005, S2CID  55739204
• Spatzier, RJ (1995), "Análisis armónico en la teoría de la rigidez", en Petersen, Karl E.; Salama, Ibrahim A. (eds.), Teoría ergódica y su conexión con el análisis armónico, Actas de la Conferencia de Alejandría de 1993 , Cambridge University Press, págs. 153–205, ISBN 0-521-45999-0. (Proporciona un estudio de una gran variedad de teoremas de rigidez, incluidos los relacionados con grupos de Lie, grupos algebraicos y dinámica de flujos. Incluye 230 referencias).
• Thurston, William (1978-1981), La geometría y topología de 3 variedades, notas de conferencias de Princeton. (Da dos pruebas: una similar a la prueba original de Mostow y otra basada en la norma de Gromov )