variedad de riemann

Colector liso con un producto interior en cada espacio tangente.

Un toro lleva naturalmente una métrica euclidiana, que se obtiene identificando los lados opuestos de un cuadrado (izquierda). La variedad de Riemann resultante, llamada toro plano, no puede incrustarse isométricamente en un espacio euclidiano tridimensional (derecha), porque es necesario doblar y estirar la hoja para hacerlo. Por tanto, la geometría intrínseca de un toroide plano es diferente de la de un toroide incrustado.

En geometría diferencial , una variedad de Riemann es un espacio geométrico en el que se definen muchas nociones geométricas como distancia, ángulos, longitud, volumen y curvatura. El espacio euclidiano , la esfera , el espacio hiperbólico y las superficies lisas en el espacio tridimensional, como los elipsoides y los paraboloides , son variedades de Riemann. Las variedades de Riemann llevan el nombre del matemático alemán Bernhard Riemann , quien las conceptualizó por primera vez. ${\displaystyle n}$

Formalmente, una métrica de Riemann (o simplemente una métrica ) en una variedad suave es una elección del producto interno para cada espacio tangente de la variedad. Una variedad de Riemann es una variedad suave junto con una métrica de Riemann. Las técnicas de cálculo diferencial e integral se utilizan para extraer datos geométricos de la métrica de Riemann. Por ejemplo, la integración conduce a la función de distancia de Riemann, mientras que la diferenciación se utiliza para definir la curvatura y el transporte paralelo.

Cualquier superficie lisa en el espacio euclidiano tridimensional es una variedad de Riemann con una métrica de Riemann proveniente de la forma en que se asienta dentro del espacio ambiental. Lo mismo ocurre con cualquier subvariedad del espacio euclidiano de cualquier dimensión. Aunque John Nash demostró que toda variedad de Riemann surge como una subvariedad del espacio euclidiano, y aunque algunas variedades de Riemann se exhiben o definen naturalmente de esa manera, la idea de una variedad de Riemann enfatiza el punto de vista intrínseco, que define las nociones geométricas directamente en el espacio abstracto en sí sin hacer referencia a un espacio ambiental. En muchos casos, como en el espacio hiperbólico y el espacio proyectivo , las métricas de Riemann se definen o construyen de forma más natural utilizando el punto de vista intrínseco. Además, muchas métricas sobre grupos de Lie y espacios homogéneos se definen intrínsecamente mediante el uso de acciones grupales para transportar un producto interno en un único espacio tangente a toda la variedad, y muchas métricas especiales, como las métricas de curvatura escalar constante y las métricas de Kähler-Einstein, se construyen intrínsecamente. utilizando herramientas de ecuaciones diferenciales parciales .

La geometría de Riemann , el estudio de las variedades de Riemann, tiene conexiones profundas con otras áreas de las matemáticas, incluida la topología geométrica , la geometría compleja y la geometría algebraica . Las aplicaciones incluyen física (especialmente relatividad general y teoría de calibre ), gráficos por computadora , aprendizaje automático y cartografía . Las generalizaciones de las variedades riemannianas incluyen variedades pseudoriemannianas , variedades de Finsler y variedades subriemannianas .

Historia

Las variedades de Riemann fueron conceptualizadas por primera vez por su homónimo, el matemático alemán Bernhard Riemann .

En 1827, Carl Friedrich Gauss descubrió que la curvatura gaussiana de una superficie incrustada en un espacio tridimensional sólo depende de mediciones locales realizadas dentro de la superficie (la primera forma fundamental ). ^[1] Este resultado se conoce como Theorema Egregium ("teorema notable" en latín).

Un mapa que preserva las medidas locales de una superficie se llama isometría local . Llame a una propiedad de una superficie propiedad intrínseca si está preservada por isometrías locales y llámela propiedad extrínseca si no lo es. En este lenguaje, el Theorema Egregium dice que la curvatura gaussiana es una propiedad intrínseca de las superficies.

Las variedades de Riemann y su curvatura fueron introducidas por primera vez sin rigor por Bernhard Riemann en 1854. ^[2] Sin embargo, no se formalizarían hasta mucho más tarde. De hecho, el concepto más primitivo de variedad suave no se definió explícitamente por primera vez hasta 1913 en un libro de Hermann Weyl . ^[2]

Élie Cartan introdujo la conexión Cartan , uno de los primeros conceptos de conexión . Levi-Civita definió la conexión Levi-Civita , una conexión especial en una variedad de Riemann.

Albert Einstein utilizó la teoría de las variedades pseudo-riemannianas (una generalización de las variedades riemannianas) para desarrollar la relatividad general . Específicamente, las ecuaciones de campo de Einstein son restricciones a la curvatura del espacio-tiempo , que es una variedad pseudo-riemanniana de 4 dimensiones.

Definición

Métricas de Riemann y variedades de Riemann

Un plano tangente de la esfera con dos vectores en él. Una métrica de Riemann permite tomar el producto interno de estos vectores.

Sea una variedad suave . Para cada punto , hay un espacio vectorial asociado llamado espacio tangente de at . Los vectores in se consideran vectores tangentes a at . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$

Sin embargo, no viene equipado con un producto interno , una vara de medir que da a los vectores tangentes un concepto de longitud y ángulo. Esta es una deficiencia importante porque el cálculo enseña que para calcular la longitud de una curva, se debe definir la longitud de los vectores tangentes a la curva. Una métrica de Riemann pone una vara de medir en cada espacio tangente. ${\displaystyle T_{p}M}$

Una métrica de Riemann asigna a cada uno un producto interno definido positivo de forma suave (consulte la sección sobre regularidad a continuación). ^[3] Esto induce una norma definida por . Una variedad suave dotada de una métrica de Riemann es una variedad de Riemann , denotada . ^[3] Una métrica de Riemann es un caso especial de tensor métrico . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle g_{p}:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}:T_{p}M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \|v\|_{p}={\sqrt {g_{p}(v,v)}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (M,g)}$

Una métrica de Riemann no debe confundirse con la función de distancia de un espacio métrico , que también se llama métrica.

La métrica de Riemann en coordenadas

Si hay coordenadas locales suaves en , los vectores ${\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n}):U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \left\{{\frac {\partial }{\partial x^{1}}}{\Big |}_{p},\dotsc ,{\frac {\partial }{\partial x^{n}}}{\Big |}_{p}\right\}}$

forman una base del espacio vectorial para cualquier . En relación con esta base, se pueden definir los componentes de la métrica de Riemann en cada punto mediante ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle p\in U}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle g_{ij}|_{p}:=g_{p}\left(\left.{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{p},\left.{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right|_{p}\right)}$. ^[4]

Estas funciones se pueden juntar en una función con valores matriciales en . El requisito de que sea un producto interno definido positivo dice exactamente que esta función valorada por matriz es una matriz definida positiva simétrica en . ${\displaystyle n^{2}}$ ${\displaystyle g_{ij}:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle g_{p}}$ ${\displaystyle p}$

En términos del álgebra tensorial , la métrica de Riemann se puede escribir en términos de la base dual del paquete cotangente como ${\displaystyle \{dx^{1},\ldots ,dx^{n}\}}$

${\displaystyle g=\sum _{i,j}g_{ij}\,dx^{i}\otimes dx^{j}.}$^[4]

Regularidad de la métrica de Riemann

La métrica de Riemann es continua si sus componentes son continuos en cualquier gráfico de coordenadas fluido. La métrica de Riemann es continua si sus componentes son continuos en cualquier gráfico de coordenadas fluido. Se pueden considerar muchos otros tipos de métricas de Riemann con este espíritu, como las métricas de Lipschitz Riemann o las métricas de Riemann medibles . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g_{ij}:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (U,x).}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g_{ij}}$

Hay situaciones en el análisis geométrico en las que se quieren considerar métricas de Riemann no suaves. Véase, por ejemplo, (Gromov 1999) y (Shi y Tam 2002). Sin embargo, en este artículo se supone que es suave a menos que se indique lo contrario. ${\displaystyle g}$

Isomorfismo musical

En analogía con cómo un producto interno en un espacio vectorial induce un isomorfismo entre un espacio vectorial y su dual dado por , una métrica de Riemann induce un isomorfismo de paquetes entre el paquete tangente y el paquete cotangente . Es decir, si es una métrica de Riemann, entonces ${\displaystyle v\mapsto \langle v,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle (p,v)\mapsto g_{p}(v,\cdot )}$

es un isomorfismo de haces de vectores suaves desde el haz tangente al haz cotangente . ^[5] ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle T^{*}M}$

Isometrias

Una isometría es una función entre variedades de Riemann que conserva toda la estructura de las variedades de Riemann. Si dos variedades de Riemann tienen una isometría entre ellas, se llaman isométricas y se consideran la misma variedad a los efectos de la geometría de Riemann.

Específicamente, si y son dos variedades de Riemann, un difeomorfismo se llama isometría si , ^[6] es decir, si ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle (N,h)}$ ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle g=f^{\ast }h}$

${\displaystyle g_{p}(u,v)=h_{f(p)}(df_{p}(u),df_{p}(v))}$

para todos y Por ejemplo, las traslaciones y rotaciones son isometrías del espacio euclidiano (que se definirá pronto) hacia sí mismo. ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle u,v\in T_{p}M.}$

Se dice que un mapa suave que no se supone que sea un difeomorfismo, es una isometría local si cada uno tiene una vecindad abierta tal que es una isometría (y por lo tanto un difeomorfismo). ^[6] ${\displaystyle f:M\to N,}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f:U\to f(U)}$

Volumen

Una variedad de Riemann de dimensión orientada tiene una forma única llamada forma de volumen de Riemann . ^[7] La ​​forma del volumen de Riemann se conserva mediante isometrías que preservan la orientación. ^[8] La forma del volumen da lugar a una medida sobre la que se pueden integrar funciones medibles. ^{[ cita requerida ]} Si es compacto , el volumen de es . ^[7] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle dV_{g}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \int _{M}dV_{g}}$

Ejemplos

espacio euclidiano

Denotemos las coordenadas estándar en La métrica euclidiana (canónica) viene dada por ^[9] ${\displaystyle x^{1},\ldots ,x^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle g^{\text{can}}}$

${\displaystyle g^{\text{can}}\left(\sum _{i}a_{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}},\sum _{j}b_{j}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right)=\sum _{i}a_{i}b_{i}}$

o equivalente

${\displaystyle g^{\text{can}}=(dx^{1})^{2}+\cdots +(dx^{n})^{2}}$

o equivalentemente por sus funciones de coordenadas

${\displaystyle g_{ij}^{\text{can}}=\delta _{ij}}$¿Dónde está el delta del Kronecker ? ${\displaystyle \delta _{ij}}$

La variedad de Riemann se llama espacio euclidiano . ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},g^{\text{can}})}$

Subvariedades

La esfera con la métrica redonda es una subvariedad de Riemann incrustada de . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$

Sea una variedad de Riemann y sea una subvariedad sumergida o una subvariedad incrustada de . El retroceso de es una métrica de Riemann y se dice que es una subvariedad de Riemann de . ^[10] ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle i:N\to M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle i^{*}g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle (N,i^{*}g)}$ ${\displaystyle (M,g)}$

En el caso de , el mapa está dado por y la métrica es solo la restricción de vectores tangentes a lo largo de . En general, la fórmula para es ${\displaystyle N\subseteq M}$ ${\displaystyle i:N\to M}$ ${\displaystyle i(x)=x}$ ${\displaystyle i^{*}g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle i^{*}g}$

${\displaystyle i^{*}g_{p}(v,w)=g_{i(p)}{\big (}di_{p}(v),di_{p}(w){\big )},}$

¿Dónde está el avance de por? ${\displaystyle di_{p}(v)}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle i.}$

Ejemplos:

• La esfera ${\displaystyle n}$

  ${\displaystyle S^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:(x^{1})^{2}+\cdots +(x^{n+1})^{2}=1\}}$

es una subvariedad incrustada suave del espacio euclidiano . ^[11] La métrica de Riemann que esto induce se llama métrica redonda o métrica estándar . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle S^{n}}$

• Fijar números reales . el elipsoide ${\displaystyle a,b,c}$

  ${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} ^{3}:{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\right\}}$

es una subvariedad incrustada suave del espacio euclidiano . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

• La gráfica de una función suave es una subvariedad incrustada suave con su métrica estándar. ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$
• Si no está simplemente conectado, hay un mapa de cobertura , donde está la cobertura universal de . Se trata de una inmersión (ya que localmente es un difeomorfismo), por lo que hereda automáticamente una métrica de Riemann. Por el mismo principio, cualquier espacio de cobertura suave de una variedad de Riemann hereda una métrica de Riemann. ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle {\widetilde {M}}\to M}$ ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$

Por otro lado, si ya tiene una métrica riemanniana , entonces la inmersión (o incrustación) se llama inmersión isométrica (o incrustación isométrica ) si . Por tanto, las inmersiones isométricas y las incrustaciones isométricas son subvariedades de Riemann. ^[10] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\tilde {g}}}$ ${\displaystyle i:N\to M}$ ${\displaystyle {\tilde {g}}=i^{*}g}$

Productos

Sean y dos variedades de Riemann y consideremos la variedad producto . Las métricas de Riemann y, naturalmente, ponen una métrica de Riemann que se puede describir de varias maneras. ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle (N,h)}$ ${\displaystyle M\times N}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\widetilde {g}}}$ ${\displaystyle M\times N,}$

• Considerando la descomposición se puede definir ${\displaystyle T_{(p,q)}(M\times N)\cong T_{p}M\oplus T_{q}N,}$

  ${\displaystyle {\widetilde {g}}_{p,q}((u_{1},u_{2}),(v_{1},v_{2}))=g_{p}(u_{1},v_{1})+h_{q}(u_{2},v_{2}).}$^[12]

• Si es un gráfico de coordenadas suaves y es un gráfico de coordenadas suaves , entonces es un gráfico de coordenadas suaves. Sea la representación de en el gráfico y sea la representación de en el gráfico . La representación de en las coordenadas es ${\displaystyle (U,x)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (V,y)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle (U\times V,(x,y))}$ ${\displaystyle M\times N.}$ ${\displaystyle g_{U}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (U,x)}$ ${\displaystyle h_{V}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle (V,y)}$ ${\displaystyle {\widetilde {g}}}$ ${\displaystyle (U\times V,(x,y))}$

  ${\displaystyle {\widetilde {g}}=\sum _{ij}{\widetilde {g}}_{ij}\,dx^{i}\,dx^{j}}$donde ^[12] ${\displaystyle ({\widetilde {g}}_{ij})={\begin{pmatrix}g_{U}&0\\0&h_{V}\end{pmatrix}}.}$

Por ejemplo, considere el -toro . Si a cada copia se le da la métrica redonda, el producto de la variedad de Riemann se llama toro plano . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T^{n}=S^{1}\times \cdots \times S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle T^{n}}$

Combinaciones positivas de métricas.

Sean métricas de Riemann en Si hay funciones suaves positivas en , entonces hay otra métrica de Riemann en ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{k}}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f_{1}g_{1}+\ldots +f_{k}g_{k}}$ ${\displaystyle M.}$

Toda variedad suave admite una métrica de Riemann

Teorema: Toda variedad suave admite una métrica de Riemann (no canónica). ^[13]

Éste es un resultado fundamental. Aunque gran parte de la teoría básica de la métrica de Riemann puede desarrollarse utilizando únicamente que una variedad suave es un espacio topológico localmente euclidiano, para este resultado es necesario utilizar que las variedades suaves son de Hausdorff y paracompactas . La razón es que la prueba hace uso de una partición de unidad .

Una prueba alternativa utiliza el teorema de incrustación de Whitney para incrustar en el espacio euclidiano y luego retira la métrica del espacio euclidiano a . Por otro lado, el teorema de incrustación de Nash establece que, dada cualquier variedad de Riemannian suave, existe una incrustación para alguna tal que el retroceso de la métrica de Riemannian estándar en es. Es decir, toda la estructura de una variedad de Riemannian suave puede codificarse mediante un difeomorfismo para una determinada subvariedad incrustada de algún espacio euclidiano. Por lo tanto, se podría argumentar que no se puede ganar nada considerando las variedades suaves abstractas y sus métricas riemannianas. Sin embargo, hay muchas variedades riemannianas suaves naturales, como el conjunto de rotaciones del espacio tridimensional y el espacio hiperbólico , de las cuales cualquier representación como una subvariedad del espacio euclidiano no logrará representar sus notables simetrías y propiedades tan claramente como sus abstractas. las presentaciones sí. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (M,g),}$ ${\displaystyle F:M\to \mathbb {R} ^{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$ ${\displaystyle g.}$

Estructura del espacio métrico

Una curva admisible es una curva suave por tramos cuya velocidad es distinta de cero en todos los lugares donde está definida. La función no negativa se define en el intervalo excepto en un número finito de puntos. La longitud de una curva admisible se define como ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to M}$ ${\displaystyle \gamma '(t)\in T_{\gamma (t)}M}$ ${\displaystyle t\mapsto \|\gamma '(t)\|_{\gamma (t)}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle L(\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to M}$

${\displaystyle L(\gamma )=\int _{0}^{1}\|\gamma '(t)\|_{\gamma (t)}\,dt.}$

El integrando es acotado y continuo excepto en un número finito de puntos, por lo que es integrable. Para una variedad de Riemann conexa, defina por ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle d_{g}:M\times M\to [0,\infty )}$

${\displaystyle d_{g}(p,q)=\inf\{L(\gamma ):\gamma {\text{ an admissible curve with }}\gamma (0)=p,\gamma (1)=q\}.}$

Teorema: es un espacio métrico y la topología métrica coincide con la topología de . ^[14] ${\displaystyle (M,d_{g})}$ ${\displaystyle (M,d_{g})}$ ${\displaystyle M}$

Aunque la longitud de una curva viene dada por una fórmula explícita, generalmente es imposible escribir la función de distancia por ningún medio explícito. De hecho, si es compacto, siempre existen puntos en los que no es diferenciable, y puede ser notablemente difícil incluso determinar la ubicación o naturaleza de estos puntos, incluso en casos aparentemente simples, como cuando es un elipsoide. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle d_{g}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d_{g}:M\times M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (M,g)}$

Si se trabaja con métricas de Riemann que son simplemente continuas pero posiblemente no suaves, la longitud de una curva admisible y la función de distancia de Riemann se definen exactamente igual y, como antes, es un espacio métrico y la topología métrica coincide con la topología. en . ^[15] ${\displaystyle (M,d_{g})}$ ${\displaystyle (M,d_{g})}$ ${\displaystyle M}$

Diámetro

El diámetro del espacio métrico es ${\displaystyle (M,d_{g})}$

${\displaystyle \operatorname {diam} (M,d_{g})=\sup\{d_{g}(p,q):p,q\in M\}.}$

El teorema de Hopf-Rinow muestra que si es completo y tiene un diámetro finito, es compacto. Por el contrario, si es compacta, entonces la función tiene un máximo, ya que es una función continua en un espacio métrico compacto. Esto prueba lo siguiente. ${\displaystyle (M,d_{g})}$ ${\displaystyle (M,d_{g})}$ ${\displaystyle d_{g}:M\times M\to \mathbb {R} }$

Si es completo, entonces es compacto si y sólo si tiene un diámetro finito. ${\displaystyle (M,d_{g})}$

Este no es el caso sin el supuesto de integridad; como contraejemplos se podría considerar cualquier subconjunto acotado abierto de un espacio euclidiano con la métrica de Riemann estándar. Tampoco es cierto que cualquier espacio métrico completo de diámetro finito deba ser compacto; importa que el espacio métrico provenga de una variedad de Riemann.

Conexiones, geodésicas y curvatura.

Conexiones

Una conexión (afín) es una estructura adicional en una variedad de Riemann que define la diferenciación de un campo vectorial con respecto a otro. Las conexiones contienen datos geométricos y dos variedades de Riemann con diferentes conexiones tienen una geometría diferente.

Denotemos el espacio de los campos vectoriales en . Una conexión (afín) ${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \nabla :{\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\to {\mathfrak {X}}(M)}$

on es un mapa bilineal tal que ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (X,Y)\mapsto \nabla _{X}Y}$

1. Para cada función , ${\displaystyle f\in C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle \nabla _{f_{1}X_{1}+f_{2}X_{2}}Y=f_{1}\,\nabla _{X_{1}}Y+f_{2}\,\nabla _{X_{2}}Y,}$
2. La regla del producto se cumple. ^[dieciséis] ${\displaystyle \nabla _{X}fY=X(f)Y+f\,\nabla _{X}Y}$

La expresión se llama derivada covariante de con respecto a . ${\displaystyle \nabla _{X}Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

Conexión Levi-Civita

Dos variedades de Riemann con diferentes conexiones tienen diferente geometría. Afortunadamente, existe una conexión natural asociada a una variedad de Riemann llamada conexión Levi-Civita .

Se dice que una conexión preserva la métrica si ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)}$

Una conexión está libre de torsión si ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y],}$

¿Dónde está el soporte de mentira ? ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$

Una conexión Levi-Civita es una conexión sin torsión que conserva la métrica. Una vez que se fija una métrica de Riemann, existe una conexión única Levi-Civita. ^[17] Tenga en cuenta que la definición de preservar la métrica utiliza la regularidad de . ${\displaystyle g}$

Derivada covariante a lo largo de una curva

Si es una curva suave, un campo vectorial suave es un mapa suave tal que para todos . El conjunto de campos vectoriales suaves a lo largo es un espacio vectorial bajo suma de vectores puntuales y multiplicación escalar. ^[18] También se puede multiplicar puntualmente un campo vectorial suave por una función suave : ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to M}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle X:[0,1]\to TM}$ ${\displaystyle X(t)\in T_{\gamma (t)}M}$ ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}(\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle (fX)(t)=f(t)X(t)}$para ${\displaystyle X\in {\mathfrak {X}}(\gamma ).}$

Sea un campo vectorial suave a lo largo de . Si hay un campo vectorial suave en una vecindad de la imagen de tal que , entonces se llama extensión de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle X(t)={\tilde {X}}_{\gamma (t)}}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle X}$

Dada una conexión fija y una curva suave , existe un operador único , llamado derivada covariante a lo largo de , tal que: ^[19] ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to M}$ ${\displaystyle D_{t}:{\mathfrak {X}}(\gamma )\to {\mathfrak {X}}(\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma }$

1. ${\displaystyle D_{t}(aX+bY)=a\,D_{t}X+b\,D_{t}Y,}$
2. ${\displaystyle D_{t}(fX)=f'X+f\,D_{t}X,}$
3. Si es una extensión de , entonces . ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D_{t}X(t)=\nabla _{\gamma '(t)}{\tilde {X}}}$

Geodésicas

En el espacio euclidiano , las geodésicas máximas son líneas rectas. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

En la esfera redonda , las geodésicas máximas son círculos máximos . ${\displaystyle S^{n}}$

Las geodésicas son curvas sin aceleración intrínseca. Son la generalización de líneas rectas en el espacio euclidiano a variedades arbitrarias de Riemann. Una hormiga que viviera en una variedad de Riemann y caminara en línea recta sin hacer ningún esfuerzo para acelerar o girar, trazaría una geodésica.

Arreglar una conexión en . Sea una curva suave. La aceleración de es el campo vectorial a lo largo de . En todo caso , se llama geodésica . ^[20] ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to M}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle D_{t}\gamma '}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle D_{t}\gamma '=0}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \gamma }$

Para cada y , existe una geodésica definida en algún intervalo abierto que contiene 0 tal que y . Dos geodésicas cualesquiera de este tipo coinciden en su dominio común. ^[21] Tomando la unión de todos los intervalos abiertos que contienen 0 en los que existe una geodésica que satisface y , se obtiene una geodésica llamada geodésica máxima de la cual cada geodésica que satisface y es una restricción. ^[22] ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle v\in T_{p}M}$ ${\displaystyle \gamma :I\to M}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \gamma (0)=p}$ ${\displaystyle \gamma '(0)=v}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \gamma (0)=p}$ ${\displaystyle \gamma '(0)=v}$ ${\displaystyle \gamma (0)=p}$ ${\displaystyle \gamma '(0)=v}$

Cada curva que tiene la longitud más corta de cualquier curva admisible con los mismos puntos finales que una geodésica (en una reparametrización de velocidad unitaria). ^[23] ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to M}$ ${\displaystyle \gamma }$

Ejemplos

• Las geodésicas máximas no constantes del plano euclidiano son exactamente las líneas rectas. ^[22] Esto concuerda con el hecho de la geometría euclidiana de que el camino más corto entre dos puntos es un segmento de línea recta. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
• Las geodésicas máximas no constantes con la métrica redonda son exactamente los círculos máximos . ^[24] Dado que la Tierra es aproximadamente una esfera, esto significa que el camino más corto que un avión puede volar entre dos lugares de la Tierra es un segmento de un círculo máximo. ${\displaystyle S^{2}}$

Teorema de Hopf-Rinow

El plano perforado no es geodésicamente completo porque la geodésica máxima con condiciones iniciales , no tiene dominio . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\backslash \{(0,0)\}}$ ${\displaystyle p=(1,1)}$ ${\displaystyle v=(1,1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

La variedad de Riemann con su conexión Levi-Civita es geodésica completa si el dominio de cada geodésica máxima es . ^[25] El avión está geodésicamente completo. Por otro lado, el plano perforado con la restricción de la métrica de Riemann no es geodésicamente completo ya que la geodésica máxima con condiciones iniciales no tiene dominio . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{(0,0)\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle p=(1,1)}$ ${\displaystyle v=(1,1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

El teorema de Hopf-Rinow caracteriza variedades geodésicamente completas.

Teorema: Sea una variedad de Riemann conexa. Los siguientes son equivalentes: ^[26] ${\displaystyle (M,g)}$

• El espacio métrico está completo (todas las secuencias de Cauchy convergen ), ${\displaystyle (M,d_{g})}$ ${\displaystyle d_{g}}$
• Todos los subconjuntos cerrados y acotados de son compactos, ${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle M}$está geodésicamente completo.

Transporte paralelo

Transporte paralelo de un vector tangente a lo largo de una curva en la esfera.

En el espacio euclidiano, todos los espacios tangentes se identifican canónicamente entre sí mediante traducción, por lo que es fácil mover vectores de un espacio tangente a otro. El transporte paralelo es una forma de mover vectores de un espacio tangente a otro a lo largo de una curva en el contexto de una variedad de Riemann general. Dada una conexión fija, existe una forma única de realizar transporte paralelo. ^[27]

Específicamente, llame a un campo vectorial suave a lo largo de una curva suave paralela si es idéntica. ^[22] Fijar una curva con y . para transportar en paralelo un vector a un vector a lo largo , primero extiéndalo a un campo vectorial paralelo a lo largo y luego tome el valor de este campo vectorial en . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle D_{t}V=0}$ ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to M}$ ${\displaystyle \gamma (0)=p}$ ${\displaystyle \gamma (1)=q}$ ${\displaystyle v\in T_{p}M}$ ${\displaystyle T_{q}M}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle q}$

Las imágenes siguientes muestran el transporte paralelo inducido por la conexión Levi-Civita asociada a dos métricas riemannianas diferentes en el plano perforado . La curva por la que se realiza el transporte paralelo es el círculo unitario. En coordenadas polares , la métrica de la izquierda es la métrica euclidiana estándar , mientras que la métrica de la derecha lo es . Esta segunda métrica tiene una singularidad en el origen, por lo que no se extiende más allá del pinchazo, pero la primera métrica se extiende a todo el plano. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{0,0\}}$ ${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}=dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}}$ ${\displaystyle dr^{2}+d\theta ^{2}}$

Transportes paralelos en el avión pinchado en las conexiones Levi-Civita

Advertencia: Este es un transporte paralelo en el plano perforado a lo largo del círculo unitario, no un transporte paralelo en el círculo unitario. De hecho, en la primera imagen, los vectores caen fuera del espacio tangente al círculo unitario.

tensor de curvatura de Riemann

El tensor de curvatura de Riemann mide precisamente hasta qué punto los vectores de transporte paralelos alrededor de un pequeño rectángulo no son el mapa de identidad. ^[28] El tensor de curvatura de Riemann es 0 en cada punto si y sólo si la variedad es localmente isométrica al espacio euclidiano. ^[29]

Arreglar una conexión en . El tensor de curvatura de Riemann es el mapa definido por ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R:{\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\to {\mathfrak {X}}(M)}$

${\displaystyle R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z}$

¿Dónde está el corchete de Lie de los campos vectoriales ? El tensor de curvatura de Riemann es un campo tensor. ^[30] ${\displaystyle [X,Y]}$ ${\displaystyle (1,3)}$

tensor de curvatura de Ricci

Arreglar una conexión en . El tensor de curvatura de Ricci es ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle Ric(X,Y)=\operatorname {tr} (Z\mapsto R(Z,X)Y)}$

¿Dónde está el rastro? El tensor de curvatura de Ricci es un campo covariante de 2 tensores. ^[31] ${\displaystyle \operatorname {tr} }$

variedades de Einstein

El tensor de curvatura de Ricci juega un papel decisivo en la teoría de las variedades de Einstein , que tiene aplicaciones al estudio de la gravedad . Una métrica (pseudo)riemanniana se llama métrica de Einstein si la ecuación de Einstein ${\displaystyle Ric}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle Ric=\lambda g}$por alguna constante ${\displaystyle \lambda }$

se cumple, y una variedad (pseudo-)riemanniana cuya métrica es Einstein se llama variedad de Einstein . ^[32] Ejemplos de variedades de Einstein incluyen el espacio euclidiano, la esfera, el espacio hiperbólico y el espacio proyectivo complejo con la métrica del estudio Fubini . ${\displaystyle n}$

Curvatura escalar

Curvatura constante y formas espaciales.

Se dice que una variedad de Riemann tiene curvatura constante κ si cada curvatura seccional es igual al número κ . Esto es equivalente a la condición de que, en relación con cualquier gráfico de coordenadas, el tensor de curvatura de Riemann pueda expresarse en términos del tensor métrico como

${\displaystyle R_{ijkl}=\kappa (g_{il}g_{jk}-g_{ik}g_{jl}).}$

Esto implica que la curvatura de Ricci viene dada por R _jk = ( n – 1) κg _jk y la curvatura escalar es n ( n – 1) κ , donde n es la dimensión de la variedad. En particular, cada variedad de Riemann de curvatura constante es una variedad de Einstein , por lo que tiene curvatura escalar constante. Como lo descubrió Bernhard Riemann en su conferencia de 1854 en la que presentó la geometría de Riemann, la métrica de Riemann definida localmente

${\displaystyle {\frac {dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}}{(1+{\frac {\kappa }{4}}(x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}))^{2}}}}$

tiene curvatura constante κ . Dos variedades de Riemann de la misma curvatura constante son localmente isométricas , por lo que se deduce que cualquier variedad de Riemann de curvatura constante κ puede cubrirse mediante gráficos de coordenadas respecto de los cuales la métrica tiene la forma anterior. ^[33]

Una forma espacial de Riemann es una variedad de Riemann con curvatura constante que además está conectada y geodésicamente completa . Se dice que una forma espacial de Riemann es una forma espacial esférica si la curvatura es positiva, una forma espacial euclidiana si la curvatura es cero y una forma espacial hiperbólica o variedad hiperbólica si la curvatura es negativa. En cualquier dimensión, la esfera con su métrica riemanniana estándar, el espacio euclidiano y el espacio hiperbólico son formas espaciales riemannianas de curvatura constante 1 , 0 y –1 respectivamente. Además, el teorema de Killing-Hopf dice que cualquier forma de espacio esférico simplemente conexa es homotética con la esfera, cualquier forma de espacio euclidiano simplemente conexa es homotética con el espacio euclidiano y cualquier forma de espacio hiperbólico simplemente conexa es homotética con el espacio hiperbólico. ^[33]

Utilizando la construcción de la variedad de cobertura , cualquier forma espacial de Riemann es isométrica a la variedad cociente de una forma espacial de Riemann simplemente conexa, módulo de una determinada acción grupal de isometrías. Por ejemplo, el grupo de isometría de la n -esfera es el grupo ortogonal O( n + 1) . Dado cualquier subgrupo finito G del mismo en el que sólo la matriz identidad posee 1 como valor propio , la acción de grupo natural del grupo ortogonal en la n -esfera se restringe a una acción de grupo de G , con la variedad cociente S ⁿ / G heredando una geodésica Métrica de Riemann completa de curvatura constante 1 . Hasta la homotecia, toda forma espacial esférica surge de esta manera; esto reduce en gran medida el estudio de las formas del espacio esférico a problemas de teoría de grupos . Por ejemplo, esto se puede utilizar para mostrar directamente que cada forma de espacio esférico de dimensión par es homotética con respecto a la métrica estándar, ya sea en la esfera o en el espacio proyectivo real . Hay muchas más formas espaciales esféricas de dimensiones impares, aunque existen algoritmos conocidos para su clasificación. La lista de formas de espacios esféricos tridimensionales es infinita pero explícitamente conocida, e incluye los espacios de lentes y el espacio dodecaédrico de Poincaré . ^[34]

El caso de las formas del espacio euclidiano e hiperbólico también puede reducirse a la teoría de grupos, basada en el estudio del grupo de isometría del espacio euclidiano y del espacio hiperbólico. Por ejemplo, la clase de formas espaciales euclidianas bidimensionales incluye la métrica de Riemann en la botella de Klein , la cinta de Möbius , el toro , el cilindro S ¹ × R , junto con el plano euclidiano. A diferencia del caso de formas espaciales esféricas bidimensionales, en algunos casos dos estructuras de formas espaciales en la misma variedad no son homotéticas. El caso de las formas espaciales hiperbólicas bidimensionales es aún más complicado y tiene que ver con el espacio de Teichmüller . En tres dimensiones, las formas del espacio euclidiano son conocidas, mientras que la geometría de las formas del espacio hiperbólico en tres y más dimensiones sigue siendo un área de investigación activa conocida como geometría hiperbólica . ^[35]

Ejemplos basados ​​en grupos de Lie

Métricas invariantes a la izquierda en grupos de Lie

Sea G un grupo de Lie , como el grupo de rotaciones en el espacio tridimensional . Usando la estructura de grupo, cualquier producto interno en el espacio tangente en la identidad (o cualquier otro espacio tangente particular) puede transportarse a todos los demás espacios tangentes para definir una métrica de Riemann. Formalmente, dado un producto interno g _e en el espacio tangente en la identidad, el producto interno en el espacio tangente en un punto arbitrario p se define por

${\displaystyle g_{p}(u,v)=g_{e}(dL_{p^{-1}}(u),dL_{p^{-1}}(v)),}$

donde para x arbitrario , L _x es el mapa de multiplicación izquierdo G → G que envía un punto y a xy . Las métricas de Riemann construidas de esta manera son invariantes a la izquierda ; Las métricas de Riemann invariantes por la derecha podrían construirse de la misma manera utilizando el mapa de multiplicación correcto.

La conexión de Levi-Civita y la curvatura de una métrica de Riemann general invariante a la izquierda se pueden calcular explícitamente en términos de g _e , la representación adjunta de G y el álgebra de Lie asociada a G . ^[36] Estas fórmulas se simplifican considerablemente en el caso especial de una métrica de Riemann que es bi-invariante (es decir, simultáneamente invariante a la izquierda y a la derecha). ^[37] Todas las métricas invariantes a la izquierda tienen curvatura escalar constante.

Las métricas de invariante izquierda y biinvariante en grupos de Lie son una fuente importante de ejemplos de variedades de Riemann. Las esferas de Berger , construidas como métricas invariantes por la izquierda en el grupo unitario especial SU(2), se encuentran entre los ejemplos más simples de fenómenos de colapso , en los que una variedad de Riemann simplemente conectada puede tener un volumen pequeño sin tener una gran curvatura. ^[38] También dan un ejemplo de una métrica de Riemann que tiene curvatura escalar constante pero que no es Einstein , o incluso de curvatura de Ricci paralela. ^[39] Al espacio hiperbólico se le puede dar una estructura de grupo de Lie respecto de la cual la métrica es invariante a la izquierda. ^{[40] [41]} Cualquier métrica de Riemann bi-invariante en un grupo de Lie tiene curvatura seccional no negativa, dando una variedad de tales métricas: a un grupo de Lie se le puede dar una métrica de Riemann bi-invariante si y sólo si es el producto de una Grupo de Lie compacto con un grupo de Lie abeliano . ^[42]

Espacios homogéneos

Se dice que una variedad de Riemann ( M , g ) es homogénea si para cada par de puntos x e y en M , hay alguna isometría f de la variedad de Riemann que envía x a y . Esto puede reformularse en el lenguaje de las acciones grupales como el requisito de que la acción natural del grupo de isometría sea transitiva. Cada variedad de Riemann homogénea es geodésicamente completa y tiene una curvatura escalar constante . ^[43]

Hasta la isometría, todas las variedades de Riemann homogéneas surgen de la siguiente construcción. Dado un grupo de Lie G con un subgrupo compacto K que no contiene ningún subgrupo normal no trivial de G , fije cualquier subespacio complementado W del álgebra de Lie de K dentro del álgebra de Lie de G. Si este subespacio es invariante bajo el mapa lineal ad _G ( k ): W → W para cualquier elemento k de K , entonces G -las métricas de Riemann invariantes en el espacio lateral G / K están en correspondencia uno a uno con esos productos internos en W que son invariantes bajo ad _G ( k ): W → W para cada elemento k de K . ^[44] Cada una de estas métricas de Riemann es homogénea, y G se considera naturalmente como un subgrupo del grupo de isometría completo.

El ejemplo anterior de grupos de Lie con métricas de Riemann invariantes a la izquierda surge como un caso muy especial de esta construcción, concretamente cuando K es el subgrupo trivial que contiene sólo el elemento identidad. Los cálculos de la conexión Levi-Civita y la curvatura a la que se hace referencia allí se pueden generalizar a este contexto, donde ahora los cálculos se formulan en términos del producto interno de W , el álgebra de Lie de G y la descomposición por suma directa del álgebra de Lie. de G en el álgebra de Lie de K y W. ^[44] Esto reduce el estudio de la curvatura de variedades riemannianas homogéneas en gran medida a problemas algebraicos. Esta reducción, junto con la flexibilidad de la construcción anterior, hace que la clase de variedades de Riemann homogéneas sea muy útil para construir ejemplos.

Espacios simétricos

Se dice que una variedad de Riemann conexa ( M , g ) es simétrica si para cada punto p de M existe alguna isometría de la variedad con p como punto fijo y para la cual la negación del diferencial en p es el mapa de identidad . Todo espacio simétrico de Riemann es homogéneo y, en consecuencia, geodésicamente completo y tiene curvatura escalar constante . Sin embargo, los espacios simétricos de Riemann también tienen una propiedad de curvatura mucho más fuerte que no poseen la mayoría de las variedades de Riemann homogéneas, a saber, que el tensor de curvatura de Riemann y la curvatura de Ricci son paralelos . Se dice que las variedades de Riemann con esta propiedad de curvatura, que podría expresarse libremente como "tensor de curvatura de Riemann constante" (que no debe confundirse con curvatura constante ), son localmente simétricas . Esta propiedad casi caracteriza espacios simétricos; Élie Cartan demostró en la década de 1920 que una variedad de Riemann localmente simétrica que es geodésicamente completa y simplemente conectada debe ser de hecho simétrica. ^[45]

Muchos de los ejemplos fundamentales de variedades de Riemann son simétricos. Los más básicos incluyen la esfera y los espacios proyectivos reales con sus métricas estándar, junto con el espacio hiperbólico . El espacio proyectivo complejo , el espacio proyectivo cuaterniónico y el plano de Cayley son análogos del espacio proyectivo real que también son simétricos, al igual que el espacio hiperbólico complejo , el espacio hiperbólico cuaterniónico y el espacio hiperbólico de Cayley, que son en cambio análogos del espacio hiperbólico. Las variedades de Grassmann también llevan métricas de Riemann naturales, lo que las convierte en espacios simétricos. Entre los grupos de Lie con métricas riemannianas invariantes a la izquierda, los que son biinvariantes son simétricos. ^[45]

Basándose en su formulación algebraica como tipos especiales de espacios homogéneos, Cartan logró una clasificación explícita de espacios simétricos que son irreducibles , refiriéndose a aquellos que no pueden descomponerse localmente como espacios producto . Cada uno de esos espacios es un ejemplo de una variedad de Einstein ; entre ellos, sólo las variedades unidimensionales tienen curvatura escalar cero. Estos espacios son importantes desde la perspectiva de la holonomía riemanniana . Como descubrió Marcel Berger en la década de 1950 , cualquier variedad de Riemann que sea simplemente conexa e irreducible es un espacio simétrico o tiene una holonomía de Riemann que pertenece a una lista de sólo siete posibilidades. Seis de las siete excepciones a los espacios simétricos en la clasificación de Berger caen en los campos de la geometría de Kähler , la geometría de cuaternión-Kähler , la geometría G 2 y la geometría de Spin(7) , cada una de las cuales estudia variedades de Riemann equipadas con ciertas estructuras y simetrías adicionales. La séptima excepción es el estudio de variedades riemannianas "genéricas" sin simetría particular, como lo refleja el grupo de holonomía máximo posible. ^[45]

Colectores de dimensión infinita

Los enunciados y teoremas anteriores son para variedades de dimensión finita, variedades cuyos gráficos se asignan a subconjuntos abiertos de. Estos se pueden extender, hasta cierto punto, a variedades de dimensión infinita; es decir, variedades que se modelan a partir de un espacio vectorial topológico ; por ejemplo, variedades de Fréchet , Banach y Hilbert . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Definiciones

Las métricas de Riemann se definen de forma similar al caso de dimensión finita. Sin embargo, existe una distinción entre dos tipos de métricas de Riemann:

• Una métrica de Riemann débil es una función suave tal que para cualquier restricción es un producto interno de ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g:TM\times TM\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle g_{x}:T_{x}M\times T_{x}M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle T_{x}M.}$
• Una métrica de Riemann fuerte es una métrica de Riemann débil que induce la topología de . Si es una métrica riemanniana fuerte, entonces debe ser una variedad de Hilbert. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g_{x}}$ ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle M}$

Ejemplos

• Si es un espacio de Hilbert , entonces cualquiera puede identificarse con La métrica para todos es una métrica riemanniana fuerte. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle (H,\langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle )}$ ${\displaystyle x\in H,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T_{x}H.}$ ${\displaystyle g_{x}(u,v)=\langle u,v\rangle }$ ${\displaystyle x,u,v\in H}$
• Sea una variedad de Riemann compacta y denotémosla por su grupo de difeomorfismo. Esta última es una variedad suave ( ver aquí ) y, de hecho, un grupo de Lie . ^{[ cita necesaria ]} Su paquete tangente en la identidad es el conjunto de campos vectoriales suaves en ^{[ cita necesaria ]} Sea una forma de volumen en La métrica de Riemann débil en , denotada , se define de la siguiente manera. Deja entonces por , ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \operatorname {Diff} (M)}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Diff} (M)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f\in \operatorname {Diff} (M),}$ ${\displaystyle u,v\in T_{f}\operatorname {Diff} (M).}$ ${\displaystyle x\in M,u(x)\in T_{f(x)}M}$

  ${\displaystyle G_{f}(u,v)=\int _{M}g_{f(x)}(u(x),v(x))\,d\mu (x)}$. ^{[ cita necesaria ]}

Estructura del espacio métrico

La longitud de las curvas y la función de distancia de Riemann se definen de forma similar al caso de dimensión finita. La función de distancia , llamada distancia geodésica , es siempre una pseudométrica (una métrica que no separa puntos), pero puede no ser una métrica. ^[46] En el caso de dimensión finita, la prueba de que la función de distancia de Riemann separa puntos utiliza la existencia de un conjunto abierto precompacto alrededor de cualquier punto. En el caso infinito, los conjuntos abiertos ya no son precompactos, por lo que la prueba falla. ${\displaystyle d_{g}:M\times M\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle d_{g}}$

• Si hay una métrica de Riemann fuerte en , entonces separa puntos (por lo tanto es una métrica) e induce la topología original. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d_{g}}$
• Si es una métrica riemanniana débil, es posible que no se puedan separar los puntos. De hecho, puede incluso ser idénticamente 0. ^[46] Por ejemplo, si es una variedad de Riemann compacta, entonces la métrica de Riemann débil induce una distancia geodésica que desaparece. ^[47] ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle d_{g}}$ ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Diff} (M)}$

Teorema de Hopf-Rinow

En el caso de métricas riemannianas fuertes, una parte de la dimensión finita de Hopf-Rinow todavía se mantiene.

Teorema : Sea una variedad de Riemann fuerte. Entonces la integridad métrica (en la métrica ) implica integridad geodésica. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle d_{g}}$

Sin embargo, una variedad riemanniana fuerte geodésicamente completa podría no ser métricamente completa y podría tener subconjuntos cerrados y acotados que no sean compactos. ^{[ cita necesaria ]} Además, una variedad de Riemann fuerte para la cual todos los subconjuntos cerrados y acotados son compactos podría no ser geodésicamente completa. ^{[ cita necesaria ]}

Si es una métrica riemanniana débil, entonces ninguna noción de completitud implica la otra en general. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle g}$

Ver también

• Colector liso
• geometría riemanniana
• colector finsler
• Colector subriemanniano
• Variedad pseudo-riemanniana
• tensor métrico
• colector hermitiano
• variedad simpléctica
• colector Kahler
• colector de Einstein

Referencias

Notas

1. do Carmo 1992, págs. 35-36.
2. do Carmo 1992, pag. 37.
3. do Carmo 1992, pag. 38.
4. Lee 2018, pag. 13.
5. Lee 2018, pag. 26.
6. Lee 2018, pag. 12.
7. Lee 2018, pag. 30.
8. Lee 2018, pag. 31.
9. Lee 2018, págs. 12-13.
10. Lee 2018, pag. 15.
11. Lee 2018, pag. dieciséis.
12. Lee 2018, pag. 20.
13. Lee 2018, pag. 11.
14. Lee 2018, pag. 39.
15. Burtscher 2015, pag. 276.
16. Lee 2018, págs. 89–91.
17. Lee 2018, págs. 122-123.
18. Lee 2018, pag. 100.
19. Lee 2018, págs. 101-102.
20. Lee 2018, pag. 103.
21. Lee 2018, págs. 103-104.
22. Lee 2018, pag. 105.
23. Lee 2018, pag. 156.
24. Lee 2018, pag. 137.
25. Lee 2018, pag. 131.
26. do Carmo 1992, págs. 146-147.
27. Lee 2018, págs. 105-110.
28. Lee 2018, pag. 201.
29. Lee 2018, pag. 200.
30. Lee 2018, págs. 196-197.
31. Lee 2018, pag. 207.
32. Lee 2018, pag. 210.
33. Wolf 2011, Capítulo 2.
34. Wolf 2011, Capítulos 2 y 7.
35. Wolf 2011, Capítulos 2 y 3.
36. Cheeger y Ebin 2008, Proposición 3.18.
37. Cheeger y Ebin 2008, Corolario 3.19; Petersen 2016, Sección 4.4.
38. Petersen 2016, Sección 4.4.3 y p. 399.
39. Petersen 2016, pag. 369.
40. En el modelo del semiespacio superior del espacio hiperbólico, la estructura del grupo de Lie está definida por ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})\cdot (y_{1},\ldots ,y_{n})=(x_{1}+y_{n}x_{1},\ldots ,x_{n-1}+y_{n}x_{n-1},x_{n}y_{n}).}$
41. Lee 2018, ejemplo 3.16 y siguientes.
42. Lee 2018, pag. 72; Milnor 1976.
43. Kobayashi y Nomizu 1963, Teorema IV.4.5.
44. Besse 1987, Sección 7C.
45. Petersen 2016, Capítulo 10.
46. Magnani y Tiberio 2020.
47. Micor y Mumford 2005.

Fuentes

• Besse, Arthur L. (1987). Variedades de Einstein . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3). vol. 10. Berlín: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-540-74311-8. ISBN 3-540-15279-2. SEÑOR  0867684. Zbl  0613.53001.
• Cheeger, Jeff ; Ebin, David G. (2008). Teoremas de comparación en geometría de Riemann (reimpresión revisada de la edición original de 1975). Providencia, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing . doi :10.1090/chel/365. ISBN 978-0-8218-4417-5. SEÑOR  2394158. Zbl  1142.53003.
• do Carmo, Manfredo Perdigão (1992). Geometría riemanniana . Matemáticas: Teoría y Aplicaciones (Traducido de la segunda edición portuguesa de la edición original de 1979). Boston, MA: Birkhäuser Boston . ISBN 978-0-8176-3490-2. SEÑOR  1138207. Zbl  0752.53001.
• Grómov, Misha (1999). Estructuras métricas para espacios riemannianos y no riemannianos . Progreso en Matemáticas. vol. 152. Traducido por Bates, Sean Michael. Con apéndices de M. Katz , P. Pansu y S. Semmes . (Basado en la edición original francesa de 1981). Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. doi :10.1007/978-0-8176-4583-0. ISBN 0-8176-3898-9. SEÑOR  1699320. Zbl  0953.53002.
• Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1963). Fundamentos de la geometría diferencial. Tomo I. Nueva York – Londres: John Wiley & Sons, Inc. MR  0152974. Zbl  0119.37502.
• Lee, John M. (2018). Introducción a las variedades de Riemann . Springer-Verlag . ISBN 978-3-319-91754-2.
• Petersen, Peter (2016). Geometría riemanniana . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 171 (Tercera edición de la edición original de 1998). Springer, Cham . doi :10.1007/978-3-319-26654-1. ISBN 978-3-319-26652-7. SEÑOR  3469435. Zbl  1417.53001.
• Lobo, Joseph A. (2011). Espacios de curvatura constante (Sexta edición de 1967 ed. original). Providencia, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing . doi :10.1090/chel/372. ISBN 978-0-8218-5282-8. SEÑOR  2742530. Zbl  1216.53003.
• Burtscher, Annegret (2015). "Estructuras de longitud en variedades con métricas riemannianas continuas". Revista de Matemáticas de Nueva York . 21 : 273–296. ISSN  1076-9803.
• Magnani, Valentino; Tiberio, Daniele (2020). "Un comentario sobre la desaparición de distancias geodésicas en infinitas dimensiones". Proc. América. Matemáticas. Soc . 148 (1): 3653–3656. arXiv : 1910.06430 . doi :10.1090/proc/14986. S2CID  204578276.
• Micor, Peter W.; Mumford, David (2005). "Distancia geodésica de desaparición en espacios de subvariedades y difeomorfismos". Documenta Matemáticas . 10 : 217–245. arXiv : matemáticas/0409303 . doi :10.4171/dm/187. S2CID  69260.
• Milnor, Juan (1976). "Curvaturas de métricas invariantes a la izquierda en grupos de Lie". Avances en Matemáticas . 21 (3): 293–329. doi : 10.1016/S0001-8708(76)80002-3 . SEÑOR  0425012. Zbl  0341.53030.

enlaces externos

• LA Sidorov (2001) [1994], "Métrica de Riemann", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press