Los teoremas de incrustación de Nash (o teoremas de incrustación ), llamados así por John Forbes Nash Jr. , establecen que cada variedad de Riemann puede incrustarse isométricamente en algún espacio euclidiano . Isométrico significa preservar la longitud de cada camino . Por ejemplo, doblar pero no estirar ni rasgar una página de papel da como resultado una incrustación isométrica de la página en el espacio euclidiano porque las curvas dibujadas en la página conservan la misma longitud de arco independientemente de cómo se doble la página.
El primer teorema es para incrustaciones continuamente diferenciables ( C 1 ) y el segundo para incrustaciones que son analíticas o suaves de clase C k , 3 ≤ k ≤ ∞. Estos dos teoremas son muy diferentes entre sí. El primer teorema tiene una prueba muy simple pero conduce a algunas conclusiones contraintuitivas, mientras que el segundo teorema tiene una prueba técnica y contraintuitiva pero conduce a un resultado menos sorprendente.
El teorema C 1 fue publicado en 1954, el teorema C k en 1956. El teorema analítico real fue tratado por primera vez por Nash en 1966; su argumento fue simplificado considerablemente por Greene y Jacobowitz (1971). (Una versión local de este resultado fue probada por Élie Cartan y Maurice Janet en la década de 1920). En el caso analítico real, los operadores de suavizado (ver más abajo) en el argumento de la función inversa de Nash pueden ser reemplazados por estimaciones de Cauchy. La prueba de Nash del caso C k fue extrapolada posteriormente al principio h y al teorema de la función implícita de Nash-Moser . Una prueba más simple del segundo teorema de incrustación de Nash fue obtenida por Günther (1989) quien redujo el conjunto de ecuaciones diferenciales parciales no lineales a un sistema elíptico, al que se podía aplicar el teorema de la función de contracción . [1]
Dada una variedad riemanniana m -dimensional ( M , g ) , una incrustación isométrica es una incrustación topológica continuamente diferenciable f : M → ℝ n tal que el pullback de la métrica euclidiana es igual a g . En términos analíticos, esto puede verse (en relación con un gráfico de coordenadas suave x ) como un sistema de 1/2 m ( m + 1) muchas ecuaciones diferenciales parciales de primer ordenpara n funciones desconocidas (de valor real):
Si n es menor que 1/2 m ( m + 1) , entonces hay más ecuaciones que incógnitas. Desde esta perspectiva, se considera sorprendente la existencia de incrustaciones isométricas dadas por el siguiente teorema.
Teorema de Nash-Kuiper. [2] Sea ( M , g ) una variedad de Riemann de dimensión m y f : M → ℝ n una incrustación (o inmersión ) corta y suave en el espacio euclidiano ℝ n , donde n ≥ m + 1 . No se requiere que esta función sea isométrica. Entonces existe una secuencia de incrustaciones (o inmersiones) isométricas continuamente diferenciables M → ℝ n de g que convergen uniformemente a f .
El teorema fue demostrado originalmente por John Nash con el supuesto más fuerte n ≥ m + 2 . Su método fue modificado por Nicolaas Kuiper para obtener el teorema anterior. [3] [4]
Las incrustaciones isométricas producidas por el teorema de Nash-Kuiper a menudo se consideran contraintuitivas y patológicas. [5] A menudo no son diferenciables suavemente. Por ejemplo, un conocido teorema de David Hilbert afirma que el plano hiperbólico no puede sumergirse isométricamente de manera suave en ℝ 3 . Cualquier variedad de Einstein de curvatura escalar negativa no puede sumergirse isométricamente de manera suave como una hipersuperficie, [6] y un teorema de Shiing-Shen Chern y Kuiper incluso dice que cualquier variedad cerrada m -dimensional de curvatura seccional no positiva no puede sumergirse isométricamente de manera suave en ℝ 2 m – 1 . [7] Además, algunas incrustaciones isométricas suaves exhiben fenómenos de rigidez que son violados por la elección en gran medida sin restricciones de f en el teorema de Nash-Kuiper. Por ejemplo, la imagen de cualquier inmersión isométrica suave de la hipersuperficie de la esfera redonda debe ser en sí misma una esfera redonda. [8] Por el contrario, el teorema de Nash-Kuiper asegura la existencia de inmersiones hipersuperficiales isométricas continuamente diferenciables de la esfera redonda que están arbitrariamente cerca de (por ejemplo) una incrustación topológica de la esfera como un pequeño elipsoide .
Cualquier variedad bidimensional cerrada y orientada puede ser embebida suavemente en ℝ 3 . Cualquier incrustación de este tipo puede ser escalada por una constante arbitrariamente pequeña para que se vuelva corta, en relación con cualquier métrica de Riemann dada en la superficie. Se deduce del teorema de Nash-Kuiper que hay incrustaciones isométricas continuamente diferenciables de cualquier superficie de Riemann de este tipo donde el radio de una bola circunscrita es arbitrariamente pequeño. Por el contrario, ninguna superficie cerrada de curva negativa puede incluso ser embebida isométricamente suave en ℝ 3 . [9] Además, para cualquier incrustación isométrica suave (o incluso C 2 ) de una superficie de Riemann cerrada arbitraria, hay un límite inferior cuantitativo (positivo) en el radio de una bola circunscrita en términos del área de superficie y la curvatura de la métrica embebida. [10]
En dimensiones superiores, como se desprende del teorema de incrustación de Whitney , el teorema de Nash-Kuiper muestra que cualquier variedad de Riemann cerrada de dimensión m admite una incrustación isométrica continuamente diferenciable en un entorno arbitrariamente pequeño en un espacio euclidiano de dimensión 2 m . Aunque el teorema de Whitney también se aplica a variedades no compactas, dichas incrustaciones no pueden simplemente escalarse mediante una pequeña constante para que se vuelvan cortas. Nash demostró que toda variedad de Riemann de dimensión m admite una incrustación isométrica continuamente diferenciable en ℝ 2 m + 1 . [11]
En la época en que Nash trabajó, su teorema se consideraba una curiosidad matemática. El resultado en sí no ha encontrado aplicaciones importantes. Sin embargo, el método de prueba de Nash fue adaptado por Camillo De Lellis y László Székelyhidi para construir soluciones de baja regularidad, con energía cinética prescrita , de las ecuaciones de Euler a partir del estudio matemático de la mecánica de fluidos . En términos analíticos, las ecuaciones de Euler tienen una similitud formal con las ecuaciones de incrustación isométrica, a través de la no linealidad cuadrática en las primeras derivadas de la función desconocida. [12] Las ideas de la prueba de Nash fueron abstraídas por Mikhael Gromov al principio de integración convexa , con un principio h correspondiente . [13] Esto fue aplicado por Stefan Müller y Vladimír Šverák al decimonoveno problema de Hilbert , construyendo minimizadores de diferenciabilidad mínima en el cálculo de variaciones . [14]
El enunciado técnico que aparece en el artículo original de Nash es el siguiente: si M es una variedad riemanniana m -dimensional dada (analítica o de clase C k , 3 ≤ k ≤ ∞), entonces existe un número n (con n ≤ m (3 m +11)/2 si M es una variedad compacta, y con n ≤ m ( m +1)(3 m +11)/2 si M es una variedad no compacta) y una incrustación isométrica ƒ: M → R n (también analítica o de clase C k ). [15] Es decir, ƒ es una incrustación de variedades C k y para cada punto p de M , la derivada dƒ p es una función lineal del espacio tangente T p M a R n que es compatible con el producto interno dado en T p M y el producto escalar estándar de R n en el siguiente sentido:
para todos los vectores u , v en T p M . Cuando n es mayor que 1/2 m ( m + 1) , este es un sistema subdeterminado de ecuaciones diferenciales parciales (EDP).
El teorema de incrustación de Nash es un teorema global en el sentido de que toda la variedad está incrustada en R n . Un teorema de incrustación local es mucho más simple y se puede demostrar utilizando el teorema de la función implícita del cálculo avanzado en un entorno de coordenadas de la variedad. La prueba del teorema de incrustación global se basa en el teorema de la función implícita de Nash para incrustaciones isométricas. Este teorema ha sido generalizado por varios otros autores a contextos abstractos, donde se lo conoce como teorema de Nash-Moser . La idea básica en la prueba del teorema de la función implícita de Nash es el uso del método de Newton para construir soluciones. El método estándar de Newton no converge cuando se aplica al sistema; Nash usa operadores de suavizado definidos por convolución para hacer que la iteración de Newton converja: este es el método de Newton con poscondicionamiento. El hecho de que esta técnica proporcione una solución es en sí mismo un teorema de existencia y de interés independiente. En otros contextos, la convergencia del método estándar de Newton había sido demostrada anteriormente por Leonid Kantorovitch .
