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Variedad de Riemann en la que las geodésicas se extienden infinitamente en todas las direcciones

En matemáticas , una variedad completa (o variedad geodésicamente completa ) M es una variedad ( pseudo ) riemanniana para la cual, a partir de cualquier punto p , existen caminos rectos que se extienden infinitamente en todas las direcciones.

Formalmente, una variedad es (geodésicamente) completa si para cualquier geodésica máxima , se cumple que . ^[1] Una geodésica es máxima si su dominio no se puede extender. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \ell :I\to M}$ ${\displaystyle I=(-\infty ,\infty )}$

De manera equivalente, es (geodésicamente) completo si para todos los puntos , la función exponencial en está definida en , todo el espacio tangente en . ^[1] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle p}$

Teorema de Hopf-Rinow

El teorema de Hopf-Rinow ofrece caracterizaciones alternativas de completitud. Sea una variedad riemanniana conexa y sea su función de distancia riemanniana . ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle d_{g}:M\times M\to [0,\infty )}$

El teorema de Hopf-Rinow establece que es (geodésicamente) completo si y sólo si satisface una de las siguientes condiciones equivalentes: ^[2] ${\displaystyle (M,g)}$

• El espacio métrico es completo (toda secuencia de Cauchy converge), ${\displaystyle (M,d_{g})}$ ${\displaystyle d_{g}}$
• Todos los subconjuntos cerrados y acotados de son compactos. ${\displaystyle M}$

Ejemplos y no ejemplos

El espacio euclidiano , la esfera y los toros (con sus métricas riemannianas naturales ) son todas variedades completas. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$

Todas las variedades riemannianas compactas y todas las variedades homogéneas son geodésicamente completas. Todos los espacios simétricos son geodésicamente completos.

No-ejemplos

El plano perforado no es geodésicamente completo porque la geodésica máxima con condiciones iniciales , no tiene dominio . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\backslash \{(0,0)\}}$ ${\displaystyle p=(1,1)}$ ${\displaystyle v=(1,1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Un ejemplo sencillo de variedad no completa lo da el plano perforado (con su métrica inducida). No se pueden definir geodésicas que vayan al origen sobre la línea real entera. Por el teorema de Hopf-Rinow, podemos observar alternativamente que no es un espacio métrico completo: cualquier sucesión en el plano que converja al origen es una sucesión de Cauchy no convergente en el plano perforado. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \lbrace 0\rbrace }$

Existen variedades pseudoriemannianas (pero no riemannianas) compactas no geodésicamente completas. Un ejemplo de esto es el toro de Clifton-Pohl .

En la teoría de la relatividad general , que describe la gravedad en términos de una geometría pseudo-riemanniana, surgen muchos ejemplos importantes de espacios geodésicamente incompletos, por ejemplo, agujeros negros no cargados que no giran o cosmologías con un Big Bang . El hecho de que dicha incompletitud sea bastante genérica en la relatividad general se muestra en los teoremas de singularidad de Penrose-Hawking .

Extensibilidad

Si es geodésicamente completa, entonces no es isométrica a una subvariedad propia abierta de cualquier otra variedad de Riemann. La recíproca no se cumple. ^[3] ${\displaystyle M}$

Referencias

Notas

1. Lee 2018, pág. 131.
2. del Carmo 1992, pág. 146-147.
3. del Carmo 1992, pág. 145.

Fuentes

• do Carmo, Manfredo Perdigão (1992), Geometría riemanniana , Matemáticas: teoría y aplicaciones, Boston: Birkhäuser, pp. xvi+300, ISBN 0-8176-3490-8

• Lee, John (2018). Introducción a las variedades de Riemann . Textos de posgrado en matemáticas. Springer International Publishing AG.

• O'Neill, Barrett (1983). Geometría semiriemanniana . Academic Press . Capítulo 3. ISBN. 0-12-526740-1.