Esfera de homología

Variedad topológica cuya homología coincide con la de una esfera

En topología algebraica , una esfera de homología es una variedad n X que tiene los grupos de homología de una esfera n , para algún entero . Es decir, ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle H_{0}(X,\mathbb {Z} )=H_{n}(X,\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} }$

y

${\displaystyle H_{i}(X,\mathbb {Z} )=\{0\}}$para todos los demás i .

Por lo tanto, X es un espacio conexo , con un número de Betti superior distinto de cero , es decir, . No se sigue que X sea simplemente conexo , solo que su grupo fundamental es perfecto (véase el teorema de Hurewicz ). ${\displaystyle b_{n}=1}$

Una esfera de homología racional se define de manera similar pero utilizando homología con coeficientes racionales.

Esfera de homología de Poincaré

La esfera de homología de Poincaré (también conocida como espacio dodecaédrico de Poincaré) es un ejemplo particular de esfera de homología, construida por primera vez por Henri Poincaré . Al ser una 3-variedad esférica , es la única 3-esfera de homología (además de la propia 3-esfera ) con un grupo fundamental finito . Su grupo fundamental se conoce como grupo icosaédrico binario y tiene orden 120. Dado que el grupo fundamental de la 3-esfera es trivial, esto demuestra que existen 3-variedades con los mismos grupos de homología que la 3-esfera que no son homeomorfas a ella.

Construcción

Una construcción sencilla de este espacio comienza con un dodecaedro . Cada cara del dodecaedro se identifica con su cara opuesta, utilizando el giro mínimo en el sentido de las agujas del reloj para alinear las caras. Al pegar cada par de caras opuestas utilizando esta identificación se obtiene una variedad tridimensional cerrada. (Véase el espacio de Seifert-Weber para una construcción similar, utilizando más "giro", que da como resultado una variedad tridimensional hiperbólica ).

Alternativamente, la esfera de homología de Poincaré puede construirse como el espacio cociente SO(3) /I donde I es el grupo icosaédrico (es decir, el grupo de simetría rotacional del icosaedro y el dodecaedro regulares, isomorfo al grupo alternante A ₅ ). Más intuitivamente, esto significa que la esfera de homología de Poincaré es el espacio de todas las posiciones geométricamente distinguibles de un icosaedro (con centro y diámetro fijos) en el 3-espacio euclidiano. También se puede pasar en cambio a la cubierta universal de SO(3) que puede realizarse como el grupo de cuaterniones unitarios y es homeomorfa a la 3-esfera. En este caso, la esfera de homología de Poincaré es isomorfa a donde es el grupo icosaédrico binario , la doble cubierta perfecta de I incrustada en . ${\displaystyle S^{3}/{\widetilde {I}}}$ ${\displaystyle {\widetilde {I}}}$ ${\displaystyle S^{3}}$

Otro enfoque es la cirugía de Dehn . La esfera de homología de Poincaré resulta de la cirugía +1 en el nudo de trébol derecho .

Cosmología

En 2003, la falta de estructura en las escalas más grandes (por encima de 60 grados) en el fondo cósmico de microondas observado durante un año por la nave espacial WMAP condujo a la sugerencia, por Jean-Pierre Luminet del Observatorio de París y colegas, de que la forma del universo es una esfera de Poincaré . ^{[1] [2]} En 2008, los astrónomos encontraron la mejor orientación en el cielo para el modelo y confirmaron algunas de las predicciones del modelo, utilizando tres años de observaciones de la nave espacial WMAP. ^[3] El análisis de datos de la nave espacial Planck sugiere que no existe una topología no trivial observable para el universo. ^[4]

Construcciones y ejemplos

• La cirugía sobre un nudo en la 3-esfera S ³ con encuadre +1 o −1 da una esfera de homología.
• De manera más general, la cirugía sobre un enlace da una esfera de homología siempre que la matriz dada por los números de intersección (fuera de la diagonal) y los marcos (en la diagonal) tenga determinante +1 o −1.
• Si p , q y r son números enteros positivos primos entre sí por pares, entonces el vínculo de la singularidad x ^p + y ^q + z ^r = 0 (en otras palabras, la intersección de una pequeña 3-esfera alrededor de 0 con esta superficie compleja) es una variedad de Brieskorn que es una 3-esfera de homología, llamada 3-esfera de Brieskorn Σ( p , q , r ). Es homeomorfa a la 3-esfera estándar si uno de p , q y r es 1, y Σ(2, 3, 5) es la esfera de Poincaré.
• La suma conexa de dos 3-esferas homólogas orientadas es una 3-esfera homóloga. Una 3-esfera homóloga que no se puede escribir como una suma conexa de dos 3-esferas homólogas se llama irreducible o prima , y ​​cada 3-esfera homológica se puede escribir como una suma conexa de 3-esferas homólogas primas de una manera esencialmente única. (Véase Descomposición prima (3-variedad) .)
• Supongamos que son números enteros todos al menos 2 tales que dos cualesquiera son coprimos. Entonces el espacio de fibra de Seifert ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{r}}$

${\displaystyle \{b,(o_{1},0);(a_{1},b_{1}),\dots ,(a_{r},b_{r})\}\,}$

sobre la esfera con fibras excepcionales de grados a ₁ , ..., a _r es una esfera de homología, donde los b' se eligen de modo que

${\displaystyle b+b_{1}/a_{1}+\cdots +b_{r}/a_{r}=1/(a_{1}\cdots a_{r}).}$

(Siempre hay una manera de elegir los b ′ s, y la esfera de homología no depende (hasta el isomorfismo) de la elección de los b ′ s.) Si r es como máximo 2, esta es simplemente la 3-esfera habitual; de lo contrario, son esferas de homología no triviales distintas. Si los a ′ s son 2, 3 y 5, esto da la esfera de Poincaré. Si hay al menos 3 a ′ s, no 2, 3, 5, entonces esta es una 3-esfera de homología acíclica con un grupo fundamental infinito que tiene una geometría de Thurston modelada en la cubierta universal de SL ₂ ( R ) .

Invariantes

• El invariante de Rokhlin es un invariante de valor - de 3-esferas de homología. ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
• El invariante de Casson es un invariante de valor entero de 3-esferas de homología, cuya reducción módulo 2 es el invariante de Rokhlin.

Aplicaciones

Si A es una 3-esfera de homología no homeomorfa a la 3-esfera estándar, entonces la suspensión de A es un ejemplo de una variedad de homología de 4 dimensiones que no es una variedad topológica . La doble suspensión de A es homeomorfa a la 5-esfera estándar, pero su triangulación (inducida por alguna triangulación de A ) no es una variedad PL . En otras palabras, esto da un ejemplo de un complejo simplicial finito que es una variedad topológica pero no una variedad PL. (No es una variedad PL porque el vínculo de un punto no siempre es una 4-esfera).

Galewski y Stern demostraron que todas las variedades topológicas compactas (sin borde) de dimensión al menos 5 son homeomorfas a complejos simpliciales si y solo si hay una esfera de homología 3 Σ con invariante de Rokhlin 1 tal que la suma conexa Σ#Σ de Σ consigo misma limita una 4-variedad acíclica suave. Ciprian Manolescu demostró ^[5] que no existe tal esfera de homología con la propiedad dada y, por lo tanto, hay 5-variedades no homeomorfas a complejos simpliciales. En particular, el ejemplo dado originalmente por Galewski y Stern ^[6] no es triangulable.

Véase también

• Espacio de Eilenberg-MacLane
• Espacio de Moore (topología algebraica)

Referencias

1. "¿Es el universo un dodecaedro?", artículo en PhysicsWorld.
2. Luminet, Jean-Pierre ; Weeks, Jeff ; Riazuelo, Alain; Lehoucq, Roland; Uzan, Jean-Phillipe (9 de octubre de 2003). "Topología espacial dodecaédrica como explicación de correlaciones débiles de temperatura de ángulo amplio en el fondo cósmico de microondas". Nature . 425 (6958): 593–595. arXiv : astro-ph/0310253 . Código Bibliográfico :2003Natur.425..593L. doi :10.1038/nature01944. PMID  14534579. S2CID  4380713.
3. Roukema, Boudewijn; Buliński, Zbigniew; Szaniewska, Agnieszka; Gaudin, Nicolas E. (2008). "Una prueba de la hipótesis de la topología del espacio dodecaédrico de Poincaré con los datos CMB de WMAP". Astronomía y Astrofísica . 482 (3): 747–753. arXiv : 0801.0006 . Bibcode :2008A&A...482..747L. doi :10.1051/0004-6361:20078777. S2CID  1616362.
4. Colaboración Planck, "Resultados de Planck 2015. XVIII. Geometría y topología de fondo", (2015) ArXiv 1502.01593
5. Manolescu, Ciprian (2016). "Homología de Seiberg-Witten Floer Pin(2)-equivariante y la conjetura de triangulación". Revista de la Sociedad Americana de Matemáticas . 29 : 147–176. arXiv : 1303.2354 . doi : 10.1090/jams829 .
6. Galewski, David; Stern, Ronald (1979). "Una variedad quintuple universal con respecto a triangulaciones simpliciales". Topología geométrica (Actas de la Conferencia de Topología de Georgia, Atenas, Georgia, 1977) . Nueva York-Londres: Academic Press . págs. 345–350. MR  0537740.

Lecturas seleccionadas

• Dror, Emmanuel (1973). "Esferas de homología". Revista israelí de matemáticas . 15 (2): 115–129. doi :10.1007/BF02764597. MR  0328926. S2CID  189796498.
• Galewski, David; Stern, Ronald (1980). "Clasificación de triangulaciones simpliciales de variedades topológicas". Anales de Matemáticas . 111 (1): 1–34. doi :10.2307/1971215. JSTOR  1971215. MR  0558395.
• Robion Kirby , Martin Scharlemann, Ocho caras de la 3-esfera de homología de Poincaré . Topología geométrica (Proc. Georgia Topology Conf., Athens, Ga., 1977), págs. 113-146, Academic Press , Nueva York-Londres, 1979.
• Kervaire, Michel (1969). "Esferas de homología suave y sus grupos fundamentales". Transactions of the American Mathematical Society . 144 : 67–72. doi : 10.1090/S0002-9947-1969-0253347-3 . JSTOR  1995269. MR  0253347. S2CID  54063849.
• Nikolai Saveliev, Invariantes de homología de 3 esferas , Enciclopedia de ciencias matemáticas, vol. 140. Topología de baja dimensión, I. Springer-Verlag, Berlín, 2002. MR 1941324 ISBN 3-540-43796-7 

Enlaces externos

• Triangulación de 16 vértices de esferas de homología de Poincaré de 3 esferas y esferas no PL con pocos vértices por Anders Björner y Frank H. Lutz
• Conferencia de David Gillman sobre La mejor imagen de la esfera de homología de Poincaré