teorema de rokhlin

En la intersección hay una forma de 4 colectores lisos y cerrados con una estructura de espín.

En topología de 4 dimensiones, una rama de las matemáticas, el teorema de Rokhlin establece que si una variedad M cerrada, orientable y suave de 4 dimensiones tiene una estructura de espín (o, equivalentemente, la segunda clase de Stiefel-Whitney desaparece), entonces la firma de su intersección La forma cuadrática del segundo grupo de cohomología es divisible por 16. El teorema lleva el nombre de Vladimir Rokhlin , quien lo demostró en 1952. ${\displaystyle w_{2}(M)}$ ${\displaystyle H^{2}(M)}$

Ejemplos

• La forma de intersección en M

${\displaystyle Q_{M}\colon H^{2}(M,\mathbb {Z} )\times H^{2}(M,\mathbb {Z} )\rightarrow \mathbb {Z} }$

es unimodular según la dualidad de Poincaré , y la desaparición de implica que la forma de intersección es par. Según un teorema de Cahit Arf , cualquier red unimodular par tiene una firma divisible por 8, por lo que el teorema de Rokhlin fuerza un factor extra de 2 para dividir la firma. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle w_{2}(M)}$

• Una superficie K3 es compacta, de 4 dimensiones y desaparece, y la firma es −16, por lo que 16 es el mejor número posible en el teorema de Rokhlin. ${\displaystyle w_{2}(M)}$
• Una superficie compleja de grado es espín si y sólo si es par. Tiene firma , lo cual se puede ver en el teorema de firma de Friedrich Hirzebruch . El caso devuelve el último ejemplo de una superficie K3 . ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle (4-d^{2})d/3}$ ${\displaystyle d=4}$
• La variedad E8 de Michael Freedman es una variedad topológica compacta simplemente conectada con forma de intersección y desaparición de la firma 8. El teorema de Rokhlin implica que esta variedad no tiene una estructura suave . Esta variedad muestra que el teorema de Rokhlin falla para el conjunto de variedades meramente topológicas (en lugar de suaves). ${\displaystyle w_{2}(M)}$ ${\displaystyle E_{8}}$
• Si la variedad M es simplemente conexa (o más generalmente si el primer grupo de homología no tiene torsión 2), entonces la desaparición de es equivalente a que la forma de intersección sea par. Esto no es cierto en general: una superficie de Enriques es una variedad 4 compacta y lisa y tiene una forma de intersección par II _1,9 de firma −8 (no divisible por 16), pero la clase no desaparece y está representada por un elemento de torsión en el segundo grupo de cohomología. ${\displaystyle w_{2}(M)}$ ${\displaystyle w_{2}(M)}$

Pruebas

El teorema de Rokhlin se puede deducir del hecho de que el tercer grupo de esferas de homotopía estable es cíclico de orden 24; éste es el enfoque original de Rokhlin. ${\displaystyle \pi _{3}^{S}}$

También se puede deducir del teorema del índice Atiyah-Singer . Véase género y teorema de Rochlin .

Robion Kirby  (1989) ofrece una prueba geométrica.

El invariante de Rokhlin

Dado que el teorema de Rokhlin establece que la firma de una variedad suave de espín es divisible por 16, la definición del invariante de Rokhlin se deduce de la siguiente manera:

Para 3 variedades y una estructura de espín en , el invariante de Rokhlin en se define como la firma de cualquier 4 variedades de espín compacto y suave con límite de espín . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mu (N,s)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /16\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (N,s)}$

Si N es una variedad de espín 3 , entonces limita una variedad de espín 4 M. La firma de M es divisible por 8, y una sencilla aplicación del teorema de Rokhlin muestra que su valor mod 16 depende sólo de N y no de la elección de M. Las 3 esferas de homología tienen una estructura de espín única, por lo que podemos definir el invariante de Rokhlin de una 3 esferas de homología como el elemento de , donde M cualquier variedad de 4 espines que limita la esfera de homología. ${\displaystyle \operatorname {sign} (M)/8}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Por ejemplo, la esfera de homología de Poincaré limita una variedad de espín 4 con forma de intersección , por lo que su invariante de Rokhlin es 1. Este resultado tiene algunas consecuencias elementales: la esfera de homología de Poincaré no admite una incrustación suave en , ni limita una variedad de Mazur. . ${\displaystyle E_{8}}$ ${\displaystyle S^{4}}$

De manera más general, si N es una variedad de espín 3 (por ejemplo, cualquier esfera de homología), entonces la firma de cualquier variedad M de espín 4 con límite N está bien definida mod 16 y se denomina invariante de Rokhlin de N. En una variedad topológica de 3 N , el invariante de Rokhlin generalizado se refiere a la función cuyo dominio son las estructuras de espín en N , y que se evalúa como el invariante de Rokhlin del par donde s es una estructura de espín en N. ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (N,s)}$

El invariante de Rokhlin de M es igual a la mitad del invariante de Casson mod 2. El invariante de Casson se ve como la elevación con valor Z del invariante de Rokhlin de homología integral de 3 esferas.

Generalizaciones

El teorema de Kervaire-Milnor (Kervaire y Milnor 1960) establece que si es una esfera característica en una variedad M compacta y suave de 4 , entonces ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle \operatorname {signature} (M)=\Sigma \cdot \Sigma {\bmod {1}}6}$.

Una esfera característica es una 2 esferas incrustadas cuya clase de homología representa la clase Stiefel-Whitney . Si desaparece, podemos tomarlo como cualquier esfera pequeña, que tenga un número de autointersección 0, por lo que se sigue el teorema de Rokhlin. ${\displaystyle w_{2}(M)}$ ${\displaystyle w_{2}(M)}$ ${\displaystyle \Sigma }$

El teorema de Freedman-Kirby (Freedman y Kirby 1978) establece que si es una superficie característica en una variedad M compacta y lisa de 4 , entonces ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle \operatorname {signature} (M)=\Sigma \cdot \Sigma +8\operatorname {Arf} (M,\Sigma ){\bmod {1}}6}$.

¿Dónde está el invariante Arf de una determinada forma cuadrática en ? Esta invariante de Arf es obviamente 0 si es una esfera, por lo que el teorema de Kervaire-Milnor es un caso especial. ${\displaystyle \operatorname {Arf} (M,\Sigma )}$ ${\displaystyle H_{1}(\Sigma ,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \Sigma }$

Una generalización del teorema de Freedman-Kirby a variedades topológicas (en lugar de suaves) establece que

${\displaystyle \operatorname {signature} (M)=\Sigma \cdot \Sigma +8\operatorname {Arf} (M,\Sigma )+8\operatorname {ks} (M){\bmod {1}}6}$,

¿Dónde está el invariante de Kirby-Siebenmann de M ? La invariante de Kirby-Siebenmann de M es 0 si M es suave. ${\displaystyle \operatorname {ks} (M)}$

Armand Borel y Friedrich Hirzebruch demostraron el siguiente teorema: Si X es una variedad de espín compacta y suave de dimensión divisible por 4, entonces el género  es un número entero, y es par si la dimensión de X es 4 mod 8. Esto se puede deducir de la Teorema del índice de Atiyah-Singer : Michael Atiyah e Isadore Singer demostraron que el género  es el índice del operador Atiyah-Singer, que siempre es integral y tiene dimensiones pares 4 mod 8. Para una variedad de 4 dimensiones, la firma de Hirzebruch El teorema muestra que la firma es −8 veces el género Â, por lo que en la dimensión 4 esto implica el teorema de Rokhlin.

Ochanine (1980) demostró que si X es una variedad compacta de espín suave orientada de dimensión 4 mod 8, entonces su firma es divisible por 16.

Referencias

• Hombre libre, Michael ; Kirby, Robion (1978), "Una prueba geométrica del teorema de Rochlin", Topología algebraica y geométrica (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, California, 1976), Parte 2, págs. 85–97 , Actas de simposios de matemáticas puras, vol. XXXII, Providence, Rhode Island: Sociedad Estadounidense de Matemáticas, ISBN 0-8218-1432-X, SEÑOR  0520525
• Kirby, Robion (1989), La topología de 4 variedades , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1374, Springer-Verlag, doi :10.1007/BFb0089031, ISBN 0-387-51148-2, señor  1001966
• Kervaire, Michel A .; Milnor, John W. (1960), "Números de Bernoulli, grupos de homotopía y un teorema de Rohlin", Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, 1958 , Nueva York: Cambridge University Press , págs. 454–458, MR  0121801
• Kervaire, Michel A.; Milnor, John W. (1961), "Sobre 2 esferas en 4 variedades", Actas de la Academia Nacional de Ciencias , vol. 47, págs. 1651-1657, SEÑOR  0133134
• Matsumoto, Yoichirou (1986), Una prueba elemental del teorema característico de Rochlin y su extensión por Guillou y Marin (PDF)
• Michelsohn, Marie-Louise ; Lawson, H. Blaine (1989), Geometría de giro , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press , ISBN 0-691-08542-0, señor  1031992(especialmente la página 280)
• Ochanine, Serge, Firma módulo 16, invariantes de Kervaire généralisés et nombres caractéristiques dans la K-théorie réelle , Mém. Soc. Matemáticas. Francia 1980/81, núm. 5, señor  1809832
• Rokhlin, Vladimir A. , ​​Nuevos resultados en la teoría de variedades cuatridimensionales , Doklady Acad. Nauk. SSSR (NS) 84 (1952) 221–224. Señor 0052101
• Scorpan, Alexandru (2005), El mundo salvaje de las 4 variedades , Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-0-8218-3749-8, señor  2136212
• Szűcs, András (2003), "Dos teoremas de Rokhlin", Revista de Ciencias Matemáticas , 113 (6): 888–892, doi :10.1023/A:1021208007146, MR  1809832, S2CID  117175810