Punto ideal

Punto en el infinito en geometría hiperbólica

Tres triángulos ideales en el modelo del disco de Poincaré ; los vértices son puntos ideales

En geometría hiperbólica , un punto ideal , punto omega ^[1] o punto en el infinito es un punto bien definido fuera del plano o espacio hiperbólico. Dada una línea l y un punto P que no está en l , las paralelas límite derecha e izquierda a l que pasan por P convergen a l en puntos ideales .

A diferencia del caso proyectivo, los puntos ideales forman un límite , no una subvariedad. Por lo tanto, estas líneas no se cortan en un punto ideal y dichos puntos, aunque bien definidos, no pertenecen al espacio hiperbólico en sí.

Los puntos ideales forman juntos el absoluto de Cayley o límite de una geometría hiperbólica . Por ejemplo, el círculo unitario forma el absoluto de Cayley del modelo de disco de Poincaré y del modelo de disco de Klein . La línea real forma el absoluto de Cayley del modelo de semiplano de Poincaré . ^[2]

El axioma de Pasch y el teorema del ángulo exterior todavía son válidos para un triángulo omega, definido por dos puntos en el espacio hiperbólico y un punto omega. ^[3]

Propiedades

• La distancia hiperbólica entre un punto ideal y cualquier otro punto o punto ideal es infinita.
• Los centros de los horociclos y horobolas son puntos ideales; dos horociclos son concéntricos cuando tienen el mismo centro.

Polígonos con vértices ideales

Triángulos ideales

Si todos los vértices de un triángulo son puntos ideales, el triángulo es un triángulo ideal .

Algunas propiedades de los triángulos ideales incluyen:

• Todos los triángulos ideales son congruentes.
• Los ángulos interiores de un triángulo ideal son todos cero.
• Cualquier triángulo ideal tiene un perímetro infinito.
• Cualquier triángulo ideal tiene un área donde K es la curvatura (siempre negativa) del plano. ^[4] ${\displaystyle -\pi /K}$

Cuadriláteros ideales

Si todos los vértices de un cuadrilátero son puntos ideales, el cuadrilátero es un cuadrilátero ideal.

Si bien todos los triángulos ideales son congruentes, no todos los cuadriláteros ideales convexos lo son. Pueden variar entre sí, por ejemplo, en el ángulo en el que se cruzan sus dos diagonales. Sin embargo, todos los cuadriláteros ideales convexos tienen ciertas propiedades en común:

• Los ángulos interiores de un cuadrilátero ideal convexo son todos cero.
• Cualquier cuadrilátero ideal convexo tiene un perímetro infinito.
• Cualquier cuadrilátero ideal convexo tiene un área donde K es la curvatura (siempre negativa) del plano. ${\displaystyle -2\pi /K}$

Cuadrado ideal

El cuadrilátero ideal donde las dos diagonales son perpendiculares entre sí forman un cuadrado ideal.

Fue utilizado por Ferdinand Karl Schweikart en su memorándum sobre lo que llamó "geometría astral", una de las primeras publicaciones que reconocieron la posibilidad de la geometría hiperbólica . ^[5]

Idealnorte-gones

Un n -gono ideal se puede subdividir en ( n − 2) triángulos ideales, con un área ( n − 2) veces el área de un triángulo ideal.

Representaciones en modelos de geometría hiperbólica

En el modelo de disco de Klein y en el modelo de disco de Poincaré del plano hiperbólico, los puntos ideales están en el círculo unitario (plano hiperbólico) o en la esfera unitaria (dimensiones superiores), que es el límite inalcanzable del plano hiperbólico.

Al proyectar la misma línea hiperbólica al modelo de disco de Klein y al modelo de disco de Poincaré, ambas líneas pasan por los mismos dos puntos ideales (los puntos ideales en ambos modelos están en el mismo lugar).

Modelo de disco de Klein

Dados dos puntos distintos p y q en el disco unitario abierto, la única línea recta que los conecta interseca el círculo unitario en dos puntos ideales, a y b , etiquetados de modo que los puntos sean, en orden, a , p , q , b de modo que |aq| > |ap| y |pb| > |qb|. Entonces, la distancia hiperbólica entre p y q se expresa como

${\displaystyle d(p,q)={\frac {1}{2}}\log {\frac {\left|qa\right|\left|bp\right|}{\left|pa\right|\left|bq\right|}},}$

Modelo de disco de Poincaré

Dados dos puntos distintos p y q en el disco unitario abierto, entonces el único arco circular ortogonal al límite que los conecta interseca al círculo unitario en dos puntos ideales, a y b , etiquetados de modo que los puntos sean, en orden, a , p , q , b de modo que |aq| > |ap| y |pb| > |qb|. Entonces la distancia hiperbólica entre p y q se expresa como

${\displaystyle d(p,q)=\log {\frac {\left|qa\right|\left|bp\right|}{\left|pa\right|\left|bq\right|}},}$

Donde las distancias se miden a lo largo de los segmentos (en línea recta) aq, ap, pb y qb.

Modelo de semiplano de Poincaré

En el modelo de semiplano de Poincaré los puntos ideales son los puntos sobre el eje límite. Existe también otro punto ideal que no está representado en el modelo de semiplano (pero los rayos paralelos al eje y positivo se acercan a él).

Modelo hiperboloide

En el modelo hiperboloide no hay puntos ideales.

Véase también

• Triángulo ideal
• Poliedro ideal
• Puntos en el infinito para usos en otras geometrías.

Referencias

1. Sibley, Thomas Q. (1998). El punto de vista geométrico: un estudio de las geometrías. Reading, Mass.: Addison-Wesley. pág. 109. ISBN 0-201-87450-4.
2. Struve, Horst; Struve, Rolf (2010), "Geometrías no euclidianas: el enfoque de Cayley-Klein", Journal of Geometry , 89 (1): 151–170, doi :10.1007/s00022-010-0053-z, ISSN  0047-2468, MR  2739193
3. Hvidsten, Michael (2005). Geometría con Geometry Explorer . Nueva York, NY: McGraw-Hill. págs. 276–283. ISBN 0-07-312990-9.
4. Thurston, Dylan (otoño de 2012). «274 Curves on Surfaces, Lecture 5» (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 9 de enero de 2022. Consultado el 23 de julio de 2013 .
5. Bonola, Roberto (1955). Geometría no euclidiana: un estudio crítico e histórico de sus desarrollos (Republicación íntegra y sin modificaciones de la primera traducción inglesa, 1912. ed.). Nueva York, NY: Dover. pp. 75–77. ISBN 0486600270.