En geometría , el axioma de Pasch es un enunciado en geometría plana , utilizado implícitamente por Euclides , que no puede derivarse de los postulados tal como Euclides los dio. [1] Su papel esencial fue descubierto por Moritz Pasch en 1882. [2]
El axioma establece que, [3]
Axioma de Pasch : Sean A , B , C tres puntos que no están sobre una recta y sea a una recta en el plano ABC que no corta ninguno de los puntos A , B , C. Si la recta a pasa por un punto del segmento AB , también pasa por un punto del segmento AC , o por un punto del segmento BC .
El hecho de que los segmentos AC y BC no sean ambos intersectados por la recta a se demuestra en el Suplemento I,1, escrito por P. Bernays . [4]
Una versión más moderna de este axioma es la siguiente: [5]
Una versión más moderna del axioma de Pasch : En el plano, si una línea interseca un lado de un triángulo internamente , entonces interseca precisamente otro lado internamente y el tercer lado externamente , si no pasa por un vértice del triángulo.
(En caso de que el tercer lado sea paralelo a nuestra línea, consideramos una "intersección en el infinito" como externa). A menudo se ve una versión más informal del axioma:
Una versión más informal del axioma de Pasch : si una línea que no pasa por ningún vértice de un triángulo se encuentra con un lado del triángulo, entonces se encuentra con otro lado.
Pasch publicó este axioma en 1882 [2] y demostró que los axiomas de Euclides eran incompletos. El axioma formaba parte del enfoque de Pasch para introducir el concepto de orden en la geometría plana.
En otros tratamientos de la geometría elemental, utilizando diferentes conjuntos de axiomas, el axioma de Pasch puede demostrarse como un teorema; [6] es una consecuencia del axioma de separación de planos cuando este se toma como uno de los axiomas. Hilbert utiliza el axioma de Pasch en su tratamiento axiomático de la geometría euclidiana . [7] Dados los axiomas restantes en el sistema de Hilbert, se puede demostrar que el axioma de Pasch es lógicamente equivalente al axioma de separación de planos. [8]
David Hilbert utiliza el axioma de Pasch en su libro Fundamentos de geometría , que proporciona una base axiomática para la geometría euclidiana. Según la edición, se numera como II.4 o II.5. [7] Su afirmación se encuentra más arriba.
En el tratamiento de Hilbert, este axioma aparece en la sección relativa a los axiomas de orden y se lo denomina axioma plano de orden . Puesto que no formula el axioma en términos de los lados de un triángulo (considerados como líneas en lugar de segmentos de línea), no hay necesidad de hablar de intersecciones internas y externas de la línea a con los lados del triángulo ABC .
El axioma de Pasch es distinto del teorema de Pasch , que es un enunciado sobre el orden de cuatro puntos en una línea. Sin embargo, en la literatura hay muchos casos en los que el axioma de Pasch se menciona como teorema de Pasch. Un ejemplo notable de esto es Greenberg (1974, p. 67).
El axioma de Pasch no debe confundirse con el axioma de Veblen-Young para geometría proyectiva , [9] que puede enunciarse como:
Axioma de Veblen-Young para geometría proyectiva : si una línea interseca dos lados de un triángulo, entonces también interseca el tercer lado.
No se mencionan intersecciones internas y externas en el enunciado del axioma de Veblen-Young, que solo se ocupa de la propiedad de incidencia de las líneas que se encuentran. En geometría proyectiva, el concepto de interrelación (necesario para definir lo interno y lo externo) no es válido y todas las líneas se encuentran (por lo que no se plantea la cuestión de las líneas paralelas).