En el campo matemático de la teoría de nudos , la coloración Fox n es un método para especificar una representación de un grupo de nudos o un grupo de un enlace (que no debe confundirse con un grupo de enlaces ) en el grupo diédrico de orden n, donde n es un entero impar coloreando arcos en un diagrama de enlaces (la representación en sí también suele denominarse coloración Fox n ). Ralph Fox descubrió este método (y el caso especial de la tricolorabilidad ) "en un esfuerzo por hacer que el tema sea accesible para todos" cuando explicaba la teoría de nudos a estudiantes universitarios en Haverford College en 1956. Fox n -coloring es un ejemplo de conjugación quando .
Sea L un eslabón y sea el grupo fundamental de su complemento . Una representación de sobre el grupo diédrico de orden 2n se llama coloración n de Fox (o simplemente coloración n ) de L. Un enlace L que admite tal representación se dice que es n -coloreable y se llama n -coloración de L. Tales representaciones de grupos de enlaces se habían considerado en el contexto de cubrir espacios desde Reidemeister en 1929. [En realidad, Reidemeister explicó todo esto completamente en 1926, en la página 18 de "Knoten und Gruppen" en Hamburger Abhandlungen 5. El nombre "Fox colouring" " le fue dada mucho más tarde por matemáticos que probablemente no sabían leer alemán.] El término preferido de Fox para la llamada "coloración de Fox 3" era "propiedad L"; consulte el ejercicio 6 en la página 92 de su libro "Introducción a la teoría de nudos" (1963).
El grupo de un enlace se genera mediante trayectorias desde un punto base hasta el límite de una vecindad tubular del enlace, alrededor de un meridiano de la vecindad tubular y de regreso al punto base. Por sobreyectividad de la representación, estos generadores deben asignarse a reflexiones de un n -gon regular. Tales reflexiones corresponden a elementos del grupo diédrico, donde t es una reflexión y s es una rotación generadora ( ) del n -gon. Los generadores del grupo de un enlace dado anteriormente están en correspondencia biyectiva con arcos de un diagrama de enlace , y si un generador se asigna a él, coloreamos el arco correspondiente . Esto se denomina coloración Fox n del diagrama de enlaces y satisface las siguientes propiedades:
Un enlace de color n produce una variedad M de 3 tomando la cubierta diédrica (irregular) de la esfera de 3 ramificada sobre L con monodromía dada por . Por un teorema de Montesinos y Hilden , cualquier 3-variedad cerrada orientada se puede obtener de esta manera para algún nudo K y alguna tricoloración de K. Esto ya no es cierto cuando n es mayor que tres.
El número de coloraciones distintas de Fox n de un enlace L , denotado
es una invariante del enlace, que es fácil de calcular a mano en cualquier diagrama de enlace coloreando arcos de acuerdo con las reglas de coloración. Al contar colores, por convención también consideramos el caso en el que a todos los arcos se les da el mismo color y llamamos trivial a ese color.
Por ejemplo, el diagrama de cruce mínimo estándar del nudo Trefoil tiene 9 colores tricolores distintos, como se ve en la figura:
El conjunto de Fox 'n'-coloraciones de un enlace forma un grupo abeliano , donde la suma de dos n -coloraciones es la n -coloración obtenida por suma hebra. Este grupo se divide como suma directa.
donde el primer sumando corresponde a los n colores triviales (constantes), y los elementos distintos de cero del sumando corresponden a n -coloraciones no triviales ( traducciones de módulo obtenidas agregando una constante a cada hebra).
Si es el operador de suma conexo y y son enlaces, entonces
Sea L un eslabón, sea π el grupo fundamental de su complemento y sea G un grupo. Un homomorfismo de π a G se llama coloración G de L . Una coloración G de un diagrama de nudos es una asignación inducida de un elemento de G a los hilos de L de modo que, en cada cruce, si c es el elemento de G asignado al hilo que se cruza y si a y b son los elementos de G asignado a las dos hebras de entrecruzamiento, entonces a = c −1 bc o b = c −1 ac , dependiendo de la orientación de la hebra de entrecruzamiento. Si el grupo G es diédrico de orden 2n , esta representación esquemática de una coloración G se reduce a una coloración Fox n . El nudo toroidal T(3,5) tiene sólo n -coloraciones constantes, pero para el grupo G igual al grupo alterno A 5 , T(3,5) tiene G -coloraciones no constantes .
