En el área matemática de la teoría de nudos , un movimiento de Reidemeister es cualquiera de los tres movimientos locales en un diagrama de vínculos . Kurt Reidemeister (1927) e, independientemente, James Waddell Alexander y Garland Baird Briggs (1926), demostraron que dos diagramas de nudos pertenecientes al mismo nudo, hasta una isotopía plana , pueden relacionarse mediante una secuencia de los tres movimientos de Reidemeister.
Cada movimiento opera en una pequeña región del diagrama y es de tres tipos:
Ninguna otra parte del diagrama interviene en la imagen de un movimiento, y una isotopía plana puede distorsionar la imagen. La numeración de los tipos de movimientos corresponde a la cantidad de hilos involucrados; por ejemplo, un movimiento de tipo II opera en dos hilos del diagrama.
Un contexto importante en el que aparecen los movimientos de Reidemeister es en la definición de invariantes de nudos . Al demostrar una propiedad de un diagrama de nudos que no cambia cuando aplicamos cualquiera de los movimientos de Reidemeister, se define una invariante. De esta manera se pueden definir muchas invariantes importantes, incluido el polinomio de Jones .
El tipo de movimiento que hago es el único movimiento que afecta la contorsión del diagrama. El movimiento tipo III es el único que no cambia el número de cruce del diagrama.
En aplicaciones como el cálculo de Kirby , en las que la clase de equivalencia deseada de los diagramas de nudos no es un nudo sino un vínculo enmarcado , se debe reemplazar el tipo de movimiento I con un movimiento de "tipo I modificado" (tipo I') compuesto por dos tipos de movimiento. Movimientos de sentido contrario. El movimiento de tipo I no afecta ni al encuadre del vínculo ni a la contorsión del diagrama general del nudo.
Trace (1983) demostró que dos diagramas de nudos para el mismo nudo se relacionan utilizando sólo movimientos de tipo II y III si y sólo si tienen el mismo número de contorsiones y vueltas . Además, el trabajo combinado de Östlund (2001), Manturov (2004) y Hagge (2006) muestra que para cada tipo de nudo hay un par de diagramas de nudos, de modo que cada secuencia de movimientos de Reidemeister que lleven uno al otro debe utilizar los tres tipos. de movimientos. Alexander Coward demostró que para los diagramas de vínculos que representan vínculos equivalentes, existe una secuencia de movimientos ordenados por tipo: primero movimientos de tipo I, luego movimientos de tipo II, tipo III y luego tipo II. Los movimientos anteriores a los movimientos de tipo III aumentan el número de cruces, mientras que los posteriores disminuyen el número de cruces.
Coward y Lackenby (2014) demostraron la existencia de un límite superior de torre exponencial (dependiendo del número de cruces) sobre el número de movimientos de Reidemeister necesarios para pasar entre dos diagramas del mismo enlace. En detalle, sea la suma de los números de cruce de los dos diagramas, entonces el límite superior es donde está la altura de la torre de s (con una sola en la parte superior)
Lackenby (2015) demostró la existencia de un límite superior polinómico (dependiendo del número de cruces) en el número de movimientos de Reidemeister necesarios para cambiar un diagrama del desanudado al desanudado estándar. En detalle, para cualquier diagrama con cruces, el límite superior es .
Hayashi (2005) demostró que también existe un límite superior, dependiendo del número de cruces, en el número de movimientos de Reidemeister necesarios para dividir un enlace .
Medios relacionados con los movimientos de Reidemeister en Wikimedia Commons
