En el campo matemático de la teoría de nudos , una invariante de nudo es una cantidad (en sentido amplio) definida para cada nudo que es la misma para nudos equivalentes . La equivalencia suele estar dada por la isotopía ambiental , pero puede estar dada por el homeomorfismo . [1] Algunas invariantes son de hecho números (algebraicas [2] ), pero las invariantes pueden variar desde simples, como una respuesta sí/no, hasta aquellas tan complejas como una teoría de homología (por ejemplo, "una invariante de nudo es una regla que asigna a cualquier nudo K una cantidad φ( K ) tal que si K y K' son equivalentes entonces φ( K ) = φ( K' ) . " [3] ). La investigación sobre invariantes no sólo está motivada por el problema básico de distinguir un nudo de otro sino también por comprender las propiedades fundamentales de los nudos y sus relaciones con otras ramas de las matemáticas. Por tanto, las invariantes de nudos se utilizan en la clasificación de nudos, [3] [4] tanto en "enumeración" como en "eliminación de duplicaciones". [2]
Una invariante de nudo es una cantidad definida en el conjunto de todos los nudos, que toma el mismo valor para dos nudos equivalentes cualesquiera. Por ejemplo, un grupo de nudos es un invariante de nudos. [5]
Normalmente, una invariante de nudo es una cantidad combinatoria definida en diagramas de nudos. Por lo tanto, si dos diagramas de nudos difieren con respecto a algún invariante de nudo, deben representar nudos diferentes. Sin embargo, como suele ser el caso con los invariantes topológicos, si dos diagramas de nudos comparten los mismos valores con respecto a un invariante de nudo [único], entonces todavía no podemos concluir que los nudos son iguales. [6]
Desde la perspectiva moderna, es natural definir un nudo invariante a partir de un diagrama de nudos . Por supuesto, debe permanecer sin cambios (es decir, invariante) bajo los movimientos de Reidemeister ("movimientos triangulares" [4] ). La tricolorabilidad (y n -colorabilidad) es un ejemplo particularmente simple y común. Otros ejemplos son los polinomios de nudos , como el polinomio de Jones , que actualmente se encuentran entre los invariantes más útiles para distinguir nudos entre sí, aunque actualmente no se sabe si existe un polinomio de nudos que distinga todos los nudos entre sí. [7] [8] [9] Sin embargo, hay invariantes que distinguen el nudo sin nudo de todos los demás nudos, como la homología de Khovanov y la homología de Floer del nudo .
Se pueden definir otras invariantes considerando alguna función de diagramas de nudos con valores enteros y tomando su valor mínimo sobre todos los diagramas posibles de un nudo dado. Esta categoría incluye el número de cruces , que es el número mínimo de cruces para cualquier diagrama del nudo, y el número de puentes , que es el número mínimo de puentes para cualquier diagrama del nudo.
Históricamente, muchas de las primeras invariantes de nudos no se definen seleccionando primero un diagrama, sino intrínsecamente, lo que puede hacer que calcular algunas de estas invariantes sea un desafío. Por ejemplo, el género de nudos es particularmente complicado de calcular, pero puede ser eficaz (por ejemplo, para distinguir mutantes ).
El complemento de un nudo en sí (como espacio topológico ) se conoce como un "invariante completo" del nudo según el teorema de Gordon-Luecke en el sentido de que distingue el nudo dado de todos los demás nudos hasta la isotopía ambiental y la imagen especular. . Algunas invariantes asociadas con el complemento de nudos incluyen el grupo de nudos , que es simplemente el grupo fundamental del complemento. El nudo quandle también es un invariante completo en este sentido, pero es difícil determinar si dos quandles son isomórficos. El subgrupo periférico también puede funcionar como un invariante completo. [10]
Por rigidez de Mostow-Prasad , la estructura hiperbólica en el complemento de un vínculo hiperbólico es única, lo que significa que el volumen hiperbólico es una invariante para estos nudos y vínculos. El volumen y otras invariantes hiperbólicas han demostrado ser muy eficaces y se han utilizado en algunos de los extensos esfuerzos de tabulación de nudos .
En los últimos años, ha habido mucho interés en las invariantes homológicas de nudos que categorizan invariantes bien conocidas. La homología de Heegaard Floer es una teoría de homología cuya característica de Euler es el polinomio del nudo de Alexander. Se ha demostrado eficaz para deducir nuevos resultados sobre las invariantes clásicas. En otra línea de estudio, existe una teoría de cohomología de nudos definida combinatoriamente llamada homología de Khovanov cuya característica de Euler es el polinomio de Jones . Recientemente se ha demostrado que esto es útil para obtener límites en géneros de corte cuyas pruebas anteriores requerían la teoría de calibre . Desde entonces, Mikhail Khovanov y Lev Rozansky han definido varias otras teorías de cohomología relacionadas cuyas características de Euler recuperan otras invariantes clásicas. Catharina Stroppel dio una interpretación teórica de la representación de la homología de Khovanov categorizando los invariantes de grupos cuánticos.
También existe un interés creciente tanto por parte de los teóricos de nudos como de los científicos por comprender las propiedades "físicas" o geométricas de los nudos y relacionarlas con las invariantes topológicas y el tipo de nudo. Un antiguo resultado en esta dirección es el teorema de Fáry-Milnor que establece que si la curvatura total de un nudo K satisface
donde κ ( p ) es la curvatura en p , entonces K es un nudo. Por lo tanto, para curvas anudadas,
Un ejemplo de invariante "físico" es la longitud de la cuerda , que es la longitud de una cuerda de diámetro unitario necesaria para realizar un tipo de nudo particular.
