Polinomio HOMFLY

Polinomios que surgen en la teoría de nudos

En el campo matemático de la teoría de nudos , el polinomio HOMFLY o polinomio HOMFLYPT , a veces llamado polinomio de Jones generalizado , es un polinomio de nudo de 2 variables , es decir, un invariante de nudo en forma de polinomio de variables m y l .

Una pregunta central en la teoría matemática de los nudos es si dos diagramas de nudos representan el mismo nudo. Una herramienta utilizada para responder a estas preguntas es un polinomio de nudo, que se calcula a partir de un diagrama del nudo y se puede demostrar que es un invariante del nudo , es decir, los diagramas que representan el mismo nudo tienen el mismo polinomio . La inversa puede no ser cierta. El polinomio de HOMFLY es uno de esos invariantes y generaliza dos polinomios previamente descubiertos, el polinomio de Alexander y el polinomio de Jones , ambos de los cuales se pueden obtener mediante sustituciones apropiadas de HOMFLY. El polinomio de HOMFLY también es un invariante cuántico .

El nombre HOMFLY combina las iniciales de sus codescubridores: Jim Hoste, Adrian Ocneanu , Kenneth Millett , Peter J. Freyd , WBR Lickorish y David N. Yetter. ^[1] La adición de PT reconoce el trabajo independiente realizado por Józef H. Przytycki y Paweł Traczyk. ^[2]

Definición

El polinomio se define utilizando relaciones de madeja :

${\displaystyle P(\mathrm {unknot} )=1,\,}$

${\displaystyle \ell P(L_{+})+\ell ^{-1}P(L_{-})+mP(L_{0})=0,\,}$

donde se forman enlaces al cruzar y suavizar los cambios en una región local de un diagrama de enlaces, como se indica en la figura. ${\displaystyle L_{+},L_{-},L_{0}}$

El polinomio HOMFLY de un enlace L que es una unión dividida de dos enlaces y está dado por ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$

${\displaystyle P(L)={\frac {-(\ell +\ell ^{-1})}{m}}P(L_{1})P(L_{2}).}$

Consulte la página sobre la relación de madeja para ver un ejemplo de un cálculo que utiliza dichas relaciones.

Otras relaciones de madejas HOMFLY

Este polinomio se puede obtener también utilizando otras relaciones de madeja:

${\displaystyle \alpha P(L_{+})-\alpha ^{-1}P(L_{-})=zP(L_{0}),\,}$

${\displaystyle xP(L_{+})+yP(L_{-})+zP(L_{0})=0,\,}$

Propiedades principales

${\displaystyle P(L_{1}\#L_{2})=P(L_{1})P(L_{2}),\,}$, donde # denota la suma del nudo ; por lo tanto, el polinomio HOMFLY de un nudo compuesto es el producto de los polinomios HOMFLY de sus componentes.

${\displaystyle P_{K}(\ell ,m)=P_{{\text{Mirror Image}}(K)}(\ell ^{-1},m),\,}$, por lo que el polinomio HOMFLY se puede utilizar a menudo para distinguir entre dos nudos de diferente quiralidad . Sin embargo, existen pares quirales de nudos que tienen el mismo polinomio HOMFLY, por ejemplo, los nudos 9 ₄₂ y 10 ₇₁ junto con sus respectivas imágenes especulares. ^[3]

El polinomio de Jones, V ( t ), y el polinomio de Alexander, se pueden calcular en términos del polinomio HOMFLY (la versión en las variables y ) de la siguiente manera: ${\displaystyle \Delta (t)\,}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle V(t)=P(\alpha =t^{-1},z=t^{1/2}-t^{-1/2}),\,}$

${\displaystyle \Delta (t)=P(\alpha =1,z=t^{1/2}-t^{-1/2}),\,}$

Referencias

1. Freyd, P.; Yetter, D.; Hoste, J.; Lickorish, WBR; Millett, K.; Ocneanu, A. (1985). "Un nuevo invariante polinomial de nudos y enlaces". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 12 (2): 239–246. doi : 10.1090/S0273-0979-1985-15361-3 .
2. Józef H. Przytycki; .Paweł Traczyk (1987). "Invariantes de enlaces de tipo Conway". Kobe J. Matemáticas . 4 : 115-139. arXiv : 1610.06679 .
3. Ramadevi, P.; Govindarajan, TR; Kaul, RK (1994). "Quiralidad de los nudos 942 y 1071 y teoría de Chern-Simons". Modern Physics Letters A . 09 (34): 3205–3217. arXiv : hep-th/9401095 . Código Bibliográfico :1994MPLA....9.3205R. doi :10.1142/S0217732394003026. S2CID  119143024.

Lectura adicional

• Kauffman, LH , "Teoría formal de nudos", Princeton University Press, 1983.
• Lickorish, WBR "Introducción a la teoría de nudos". Springer. ISBN 0-387-98254-X . 

Enlaces externos

• "Polinomio de Jones-Conway", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Polinomio de HOMFLY". MathWorld .
• "El polinomio HOMFLY-PT", The Knot Atlas .