Polinomio de Kauffman

En la teoría de nudos , el polinomio de Kauffman es un polinomio de nudo de 2 variables debido a Louis Kauffman . ^[1] Se define inicialmente en un diagrama de enlace como

${\displaystyle F(K)(a,z)=a^{-w(K)}L(K)\,}$,

donde es la torsión del diagrama de enlace y es un polinomio en a y z definido en los diagramas de enlace por las siguientes propiedades: ${\displaystyle w(K)}$ ${\displaystyle L(K)}$

• ${\displaystyle L(O)=1}$(O es el nudo).
• ${\displaystyle L(s_{r})=aL(s),\qquad L(s_{\ell })=a^{-1}L(s).}$
• L no cambia bajo los movimientos Reidemeister tipo II y III .

Aquí hay una hebra y (resp. ) es la misma hebra con un rizo hacia la derecha (resp. hacia la izquierda) agregado (usando un movimiento Reidemeister tipo I). ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s_{r}}$ ${\displaystyle s_{\ell }}$

Además, L debe satisfacer la relación de madeja de Kauffman :

Las imágenes representan el polinomio L de los diagramas que difieren dentro de un disco como se muestra, pero son idénticos en el exterior.

Kauffman demostró que L existe y es un invariante isotópico regular de enlaces no orientados. De ello se deduce fácilmente que F es un invariante isotópico ambiental de enlaces orientados.

El polinomio de Jones es un caso especial del polinomio de Kauffman, ya que el polinomio L se especializa en el polinomio de corchetes . El polinomio de Kauffman está relacionado con las teorías de calibración de Chern-Simons para SO(N) de la misma manera que el polinomio HOMFLY está relacionado con las teorías de calibración de Chern-Simons para SU(N). ^[2]

Referencias

1. Kauffman, Louis (1990). "Un invariante de isotopía regular" (PDF) . Transacciones de la American Mathematical Society . 318 (2): 417–471. doi : 10.1090/S0002-9947-1990-0958895-7 . MR  0958895.
2. Witten, Edward (1989). "Teoría cuántica de campos y el polinomio de Jones". Communications in Mathematical Physics . 121 (3): 351–399. doi :10.1007/BF01217730. MR  0990772.

Lectura adicional

• Kauffman, Louis (1987). On Knots (Sobre nudos ). Anales de estudios matemáticos. Vol. 115. Princeton, NJ: Princeton University Press . ISBN. 0-691-08435-1.Sr. 0907872  .

Enlaces externos

• Polinomio de Kauffman, Enciclopedia de Matemáticas
• "El polinomio de Kauffman", Atlas de nudos .